同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第十二章 微分方程习题课（一）

习题课(一) 第十二章 阶微分方程的 解法及应用 一阶微分方程求解 解微分方程应用问题 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一阶微分方程的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 习题课 (一) 一、一阶微分方程求解 二、解微分方程应用问题 解法及应用 第十二章

一阶微分方程求解 1.一阶标准类型方程求解 四个标准类型:可分离变量方程,齐次方程 线性方程,全微分方程 关键:辨别方程类型,掌握求解步骤 2.一阶非标准类型方程求解 (1)变量代换法——代换自变量 代换因变量 代换某组合式 ()积分因子法——选积分因子,解全微分方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、一阶微分方程求解 1. 一阶标准类型方程求解 关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解 (1) 变量代换法 —— 代换自变量 代换因变量 代换某组合式 (2) 积分因子法 —— 选积分因子, 解全微分方程 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1求下列方程的通解 1)y x=0,(2)x (3)y (4)y 6x+3xy X 3x2y+2 提示:(1)因ey+x=eyex,故为分离变量方程 e y dy=e d 通解 e+c HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 求下列方程的通解 0; 1 (1) 3 2  + = y +x e y y 提示: (1) , 3 3 y x y x e = e e 因 + 故为分离变量方程: 通解 (2) ; 2 2 xy  = x − y + y ; 2 1 (3) 2 x y y −  = . 3 2 6 3 (4) 2 3 3 2 x y y x xy y + +  = − y e y e x y x d d 3 2 − = − e e C y x = + − 3 3 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(2)xy 2+y 方程两边同除以x即为齐次方程,令y=lx化为分 离变量方程 x>0时,y=1-(y)2+y-x=1-n x<0时,y 2,y X (3)y 2x 调换自变量与因变量的地位,他为dx2x d 用线性方程通解公式求解 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

方程两边同除以 x 即为齐次方程 , xy  = x − y + y 2 2 (2) x  0时， 2 xu  = 1− u 2 xu  = − 1− u ( ) x y x y y  = − + 2 1 ( ) x y x y y  = − − + 2 1 令 y = u x ,化为分 离变量方程. 调换自变量与因变量的地位 , 2 2 1 (3) x y y −  = 2 , d d 2 x y y x − = − 用线性方程通解公式求解 . 化为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

6x+3xy y+2y 方法1这是一个齐次方程.令=y X 方法2化为微分形式 (6x3+3xy2)dx+(3x2y+2y2)dy=0 aP 6xy ox 故这是一个全微分方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

2 3 3 2 3 2 6 3 (4) x y y x xy y + +  = − 方法 1 这是一个齐次方程 . 方法 2 化为微分形式 (6 3 )d (3 2 )d 0 3 2 2 3 x + xy x + x y + y y = 故这是一个全微分方程 . x y 令 u = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x Q xy y P   = =    6

例2.求下列方程的通解: D)xy+y=y(Inx+In y) (2)2xInx dy+y(Inx-1dx=o 6x+3 (3)y 3x-+y 2xy-2 (4)y2(x-3y)dx+(1-3xy2)dy=0 提示:(1)原方程化为(xy)=yln(xy) d u 令 u=xy, 得 lnu(分离变量方程) dx (2)将方程改写为 d1 贝努里方程)令 dx 2xInx x HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2. 求下列方程的通解: (1) xy  + y = y (ln x + ln y ) 提示: (1) 令 u = x y , 得 (2) 将方程改写为 (2) 2 ln d ( ln 1)d 0 2 x x y + y y x − x = xy y x y x y 2 2 3 6 3 (3) 2 2 − + − +  = (4) ( 3 )d (1 3 )d 0 2 2 y x − y x + − xy y = u x u x u ln d d = x y y x x x y 2 ln 2 1 d d 3 − = − (贝努里方程) −2 令 z = y (分离变量方程) 原方程化为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3x2+y2-6x+3 (3)y 2xy-2y 化方程为d3(x-1)2+y2 dx 2y(x-1) 令t=x-1,则 dy dy dt dy dx dt dx dt dy 3t+y (齐次方程) dt 2t 令y=t 可分离变量方程求解 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

令 y = u t xy y x y x y 2 2 3 6 3 (3) 2 2 − + − +  = 2 ( 1) 3( 1) d d 2 2 − − + = y x x y x y (齐次方程) t y t y t y 2 3 d d 2 2 + = 令 t = x – 1 , 则 t y x t t y x y d d d d d d d d = = 可分离变量方程求解 化方程为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(4)y(x-3y)dx+(1-3xy2)dy=0 变方程为 y xartay-312 y(dx+xdy)=o 两边乘积分因子=y xdx +y dy-3 ydx +xdy)=o 用凑微分法得通解: 2y-3xy=C HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

(4) ( 3 )d (1 3 )d 0 2 2 y x − y x + − xy y = 变方程为 y xdx dy 2 + 两边乘积分因子 −2  = y d d 3( d d ) 0 2 + − + = − x x y y y x x y 用凑微分法得通解: x −y − xy = C − 3 2 1 2 1 3 ( d d ) 0 2 − y y x + x y = 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(-∞,+0) 内满足以下条件:f(x)=g(x),g(x)=f(x)2且f(0)=0, f(x)+g(x)=2e (1)求F(x)所满足的一阶微分方程 (2)求出F(x)的表达式 (03考研) 解:(1)∵F(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x) g2(x)+f2(x =[g(x)+f(x)]-2f(x)g(x) (2e2)2-2F(x) 所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程 学 HIGH EDUCATION PRESS ●.0.8 们动白手

例3. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设F(x)＝f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(－∞,+∞) 内满足以下条件: f (x) = g(x), g (x) = f (x), 且 f (0) = 0, (1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ; (2) 求出F(x) 的表达式 . (03考研) 解: (1)  F(x) = f (x)g(x) + f (x)g (x) ( ) ( ) 2 2 = g x + f x [ ( ) ( )] 2 ( ) ( ) 2 = g x + f x − f x g x (2 ) 2 ( ) 2 e F x x = − 所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程: ( ) ( ) 2 . x f x + g x = e

F(x)+2F(x)=4e2x (2)由一阶线性微分方程解的公式得 2dx x F(x) e dx+c 2[4e4dx+C] x e+ce 将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式,得C=-1 于是 F(x=e xX HIGH EDUCATION PRESS ●.O.8 们动白手

机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 由一阶线性微分方程解的公式得 F x e  e e x C  x x x =  +    − ( ) 4 d 2d 2 2d e  e x C  x x = +  − 4 d 2 4 将 F(0) = f (0)g(0) = 0 代入上式，得 C = −1 于是 x x F x e e 2 2 ( ) − = − x F x F x e 2 ( ) + 2 ( ) = 4 x x e Ce 2 −2 = +