同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第十一章 无穷级数（11.2）数项级数及审敛法

第二节 第十一章 常飘项級飘的审敛 、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其申敛法 三、绝对收敛与条件收敛 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 第二节 一、正项级数及其审敛法 常数项级数的审敛法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一章

正项级数及其审敛法 若un≥0,则称∑ln为正项级数 定理1正项级数∑v收敛 部分和序列 (n=1,2,…)有界 让: 若∑1收敛,则{Sn}收敛,故有界 ln≥0,∴部分和数列{S}单调递增, 又已知{Sn}有界,故{Sn}收敛,从而∑也收敛 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、正项级数及其审敛法 若  0, un   n=1 un 定理 1. 正项级数 收敛 部分和序列 有界 . 若 收敛 , ∴部分和数列 又已知 有界, 故 从而 故有界. 则称 为正项级数 . 单调递增, 收敛 , 也收敛. 证: “ ” “ ” 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理2比较审敛法)设∑ln,∑vn是两个正项级数 且存在N∈Z+,对—切n>N,有n≤kvn(常数k>0) 则有 (1)若强级数∑收敛,则弱级数∑n也收敛; (2)若弱级数∑n发散,则强级数∑v也发散 n=1 证:因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨 设对一切n∈Z+,都有ln≤kvn 令Sn和n分别表示弱级数和强级数的部分和,则有 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

都有 定理2 (比较审敛法) 设 且存在 对一切 有 (1) 若强级数 则弱级数 (2) 若弱级数 则强级数 证: 设对一切 则有 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 . 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有 是两个正项级数, (常数 k > 0 ), 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨 机动 目录 上页 下页 返回 结束

s<k (1)若强级数∑v收敛则有a=iman n→00 因此对一切n∈Z+,有 ka 由定理1可知弱级数∑n也收敛 n (2)若弱级数∑vn发散则有 lim s=∞ n→0O 因此imσn=O,这说明强级数∑V也发散 n→0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

(1) 若强级数 则有 因此对一切 有 由定理 1 可知, (2) 若弱级数 则有 因此 这说明强级数 也发散 . 也收敛 . 发散, 收敛, 弱级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.讨论p级数1+ 2P2D+…+n+…(常数p>0) 的敛散性 解:1)若p≤1,因为对一切n∈Z 1 而调和级数∑发散,由比较审敛法可知级数∑ niNe 发散 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 讨论 p 级数 + p + p ++ p + n 1 3 1 2 1 1 (常数 p > 0) 的敛散性. 解: 1) 若 p 1, 因为对一切 而调和级数   =1 1 n n 由比较审敛法可知 p 级数 n 1  发散 . 发散 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2)若P>1,因为当n-1≤x≤n时 故 X P n-1 dx P-1(n-1)P-1n p-1 p-12P np-(n+1) n→0 kP-(k +1)p-1 (n+1) 故强级数收敛,由比较审敛法知p级数收敛 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

p 1, 因为当 , 1 1 p p n x  故  − = n p n p x n n 1 d 1 1  −  n n p x x 1 d 1   − −   − = −1 −1 1 ( 1) 1 1 1 p p p n n 考虑强级数   − −   − −  =  1 1 2 1 ( 1) 1 p p n n n 的部分和  n   + −   = − − =  1 1 1 ( 1) 1 1 p p n k k k n → 故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 . 时, 1 ( 1) 1 1 − + = − p n       + + + −       + −       − −1 −1 −1 −1 −1 ( 1) 1 1 3 1 2 1 2 1 1 p p p p p n n  1 2) 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束

调和级数与p级数是两个常用的比较级数 若存在N∈Z+,对一切n≥N, (1)ln≥,则∑n发散; (2川n(P>1),则∑ln收敛 7=1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 若存在 , + N Z 对一切 n  N , 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2证明级数∑ 证:因为们√m(n+发徵 (n=1,2,…) n (n+ (n+1)2n+1 而级数∑ 1=1发散 n+1 k=2 k 根据比较审敛法可知,所给级数发散 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

证明级数 发散 . 证: 因为 2 ( 1) 1 ( 1) 1 +  n n + n 而级数   = = 2 1 k k 发散 根据比较审敛法可知, 所给级数发散 . 例2. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理3.(比较审敛法的极限形式)设两正项级数 ∑un2∑vn满足1iman=1,则有 12 (1)当00,存在N∈Z+,当n>N时, <8 ≠∞ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定理3. (比较审敛法的极限形式) lim l, v u n n n = → 则有 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 证: 据极限定义, 设两正项级数 满足 (1) 当 0 < l <∞ 时, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(-E)vn≤ln≤(l+E) (n>N) (1)当0N),由定理2知 若∑vn收敛,则∑un也收敛; (3)当1=时,存在N∈Z+,当n>N时,>1,即 12 由定理可知若∑发散,则∑un也发散 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

n n n (l − )v  u  (l + )v 由定理 2 可知   n=1 n v 同时收敛或同时发散 ; (n  N ) (3) 当l = ∞时, 即 n n u v 由定理2可知, 若   n=1 n v 发散 , (1) 当0 < l <∞时, (2) 当l = 0时, 由定理2 知   n=1 n 若 v 收敛 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束