同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第十二章 微分方程（12.12）常系数线性微分方程组解法举例

*第十二节 第十一章 常糸数线性微分方程组 解法举例 解方程组 消/代入法 算子法 高阶方程求解 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

常系数线性微分方程组 机动 目录 上页 下页 返回 结束 *第十二节 解法举例 解方程组 高阶方程求解 消元 代入法 算子法 第十一章

常系数线性微分方程组解法步骤 第一步用消元法消去其他未知函数,得到只含一个 函数的高阶方程 第二步求出此高阶方程的未知函数 第三步把求出的函数代入原方程组,一般通过求导 得其它未知函数 注意:-阶线性方程组的通解中 任意常数的个数=未知函数个数 如果通过积分求其它未知函数,则需要讨论任意常数 的关系 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

常系数线性微分方程组解法步骤: 第一步 用消元法消去其他未知函数 , 得到只含一个 函数的高阶方程 ; 第二步 求出此高阶方程的未知函数 ; 第三步 把求出的函数代入原方程组 , 注意: 一阶线性方程组的通解中, 任意常数的个数 = 未知函数个数 一般通过求导 得其它未知函数 . 如果通过积分求其它未知函数 , 则需要讨论任意常数 的关系. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

d 3y-2 ① 例1.解微分方程组d2 y d Ir d 解:由②得y z 2 dx d 代入①,化简得 d z 2--+2=0 d d 特征方程:r2-2r+1=0 通解:=(C1+C2x)e 将④代入③得y=(2C1+C2+2C2x)ex⑤ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 解微分方程组 y z x y 3 2 d d = − y z x z = 2 − d d ① ② 解: 由②得  z  x z y = + d d 2 1 ③ 代入①, 化简得 0 d d 2 d d 2 2 − + z = x z x z 特征方程: 2 1 0 2 r − r + = 通解: x z (C C x)e = 1 + 2 ④ 将④代入③, 得 x y (2C C 2C x)e 2 1 = 1 + 2 + 2 ⑤ 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(C1+C2x)e 原方程通解 y=(2C1+C2+2C2x)e 注意 1)不能由①式求y,因为那将引入新的任意常数 而它们与C1,C2是不独立的(它们受Q式制约 2)由通解表达式可见,其中任意常数间有确定的关系, 因此y的表达式中,2C1+C2不能用另一任意常数 3代替,系数也不能去掉 3)若求方程组满足初始条件yx=0=y0,=x=0=20 的特解只需代入通解确定C,C2即可 学 HIGH EDUCATION PRESS ●08 机动目录上页下页返回结束

原方程通解: x z (C C x)e = 1 + 2 x y (2C C 2C x)e 2 1 = 1 + 2 + 2 注意: 而它们与C1 ,C2是不独立的 1) 不能由①式求 y, 因为那将引入新的任意常数, (它们受②式制约). 因此 y的表达式中, 2C1 +C2不能用另一任意常数 , . 2 1 C3代替 系数 也不能去掉 3) 若求方程组满足初始条件 0 0 0 0 y y , z z x x = = = = 的特解, 只需代入通解确定 1 2 C ,C 即可. 2) 由通解表达式可见, 其中任意常数间有确定的关系, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

d- x d X三e 例2.解微分方程组 dt d dx +x+y=0 dt d 解:记D=,则方程组可表为 dt 「(D2-1x+Dy=e⑥用代数方法 Dx+(D2+1)y=0⑦消元自作 根据解线性方程组的克莱姆法则,有 D2-1D D DD2+1 D 0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2. 解微分方程组 t x e t y t x + − = d d d d 2 2 0 d d d d 2 2 + + y = t x t y 解: , d d t 记 D = 则方程组可表为 t (D −1)x + D y = e 2 ( 1) 0 2 D x + D + y = ⑥ ⑦ 用代数方法 消元自作 根据解线性方程组的克莱姆法则, 有 1 1 2 2 + − D D D D y = 0 1 2 D D e t − 机动 目录 上页 下页 返回 结束

即 (D+-D2-1)y= 其特征方程:r4-n2-1=0 1+√5 5-1 特征根:n1.2=± r3;4=土 2 2 记 记 ±a +iB 令y*=Ae,代入⑧可得A=1,故得⑧的通解 at y +C3 cos Bt+C4 sin Bt+e⑨ 求x:⑦xD-⑥得x+D3y at e a e B(C3 sin Bt-C4 cos Bt)-2e (10 ⑨,⑩联立即为原方程的通解 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

即 t (D − D −1)y = −e 4 2 其特征方程: 1 0 4 2 r − r − = 特征根: 2 1 5 1,2 + r =  2 5 1 3,4 − r =  i 记  记  i ⑧ , t y = Ae 令  代入⑧可得 A＝1, 故得⑧的通解: ⑨ 求 x : ⑦×D－⑥得 t x + D y = −e 3 t  x = −D y − e 3 ⑩ ⑨,⑩联立即为原方程的通解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

作业 P226(*习题12-12) 1(3)(6);2(2),(4) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

作业 P226 (*习题 12-12) 1 (3),(6); 2 (2), (4) 机动 目录 上页 下页 返回 结束