同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第十一章 无穷级数习题课

习题课 第十一章 级数的收敛、求和与展开 一、数项级数的审敛法 二、求幂级数收敛域的方法 三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和付式级数 展开法 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

习题课 级数的收敛、求和与展开 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和付式级数 展开法 一、数项级数的审敛法 二、求幂级数收敛域的方法 第十一章

∑vn(x)求和:(x)(在收敛域内进行) 展开 当x=x0时为数项级数 ∑n(x)当xn(x)=2anx”时为幂级数 Gun(x)=an cos nx+bm sinx (anbn为傅氏系数)时,为傅立叶级数 基本问题:判别敛散;求收敛域 求和函数;级数展开 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

求和 展开 (在收敛域内进行) 基本问题：判别敛散； 求收敛域； 求和函数； 级数展开. 为傅氏系数) 时, 为傅立叶级数. 时为数项级数; 时为幂级数; an bn ( , 机动 目录 上页 下页 返回 结束

数项级数的审敛法 1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2.正项级数审敛法 必要条件1mn=0不满足一发散 满足 比值审敛法lim n+1 部分和极限 1"2 不定比较审敛法 根值审敛法 lim nun=p用它法判别 n→0 积分判别法 1 收敛 发散 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、数项级数的审敛法 1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 正项级数审敛法 必要条件 lim = 0 → n n u 不满足 发 散 满足 比值审敛法 lim n→ un+1 un =  根值审敛法 =  → n n n lim u  1 收 敛 发 散  =1 不定 比较审敛法 用它法判别 积分判别法 部分和极限  1 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3.任意项级数审敛法 概念:∑ln为收敛级数 n-1 若∑ln收敛,称∑n绝对收敛 n=1 若∑n发散,称∑n条件收敛 Leibniz判别法:若ln2ln+1>0,且 lim u=0 则交错级数∑(-1)n收敛,且余项Wln HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

3. 任意项级数审敛法 为收敛级数 Leibniz判别法: 若 且 则交错级数 收敛 , 概念: 且余项 若 收敛 , 称 绝对收敛 若 发散 , 称 条件收敛 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例若级数∑an与∑bn均收敛,且an≤Cn≤bn n=1 n (n=1,2,…),证明级数∑cn收敛 n 证:∵0≤cn-an≤bn-an(m=1,2,…),则由题设 ∑(bn-an)收敛∑(cn-an)收敛 n=1 ∑cn=∑[(cn-an)+an n=1 =∑(cn-an)+∑an收敛 练习题:P2571;2;3;4;5 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 若级数 均收敛 , 且 证明级数 收敛 . 证: n n n n 0  c − a  b − a (n =1, 2 , ), 则由题设 ( ) 1 n n  bn − a  = 收敛 ( ) 1 n n n  c − a  = 收敛 [( ) ] 1 n n n n =  c − a + a  = ( ) 1 n n n =  c − a  =   = + n 1 n a 收敛 练习题: P257 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 机动 目录 上页 下页 返回 结束

解答提示: P257题2.判别下列级数的敛散性 n cos- nz 3)∑ n√n 2 n=1 (5)∑(a>0,s>0) SiNn 提示:(1)∵limn=1,∨E>0,3N,当n>N时,有 n→00 1-E<n<1+E nn n(1+8) 因调和级数发散,据比较判别法,原级数发散 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

解答提示: P257 题2. 判别下列级数的敛散性: 提示: (1) lim =1, → n n  n 1−  1+ n n 因调和级数发散, 据比较判别法, 原级数发散 .   0 , N , 机动 目录 上页 下页 返回 结束

1 利用比值判别法,可知原级数发散 2n n cos nz用比值法,可判断级数∑收敛, n-1 再由比较法可知原级数收敛 10 n n 因n充分大时0,>0)用比值判别法可知 h=1 a1时发散 s>1时收敛 a=1时,与p级数比较可知 s≤1时发散 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

利用比值判别法, 可知原级数发散. 用比值法, 可判断级数 因 n 充分大时 , ln 1 1 10 n n  ∴原级数发散 . : 2 cos (3) 1 3 2   n= n n n  (5) ( 0, 0): 1     = a s n a n s n 用比值判别法可知: 时收敛 ; 时, 与 p 级数比较可知 s 1 时收敛; 时发散. 再由比较法可知原级数收敛 . s 1 a 1 a 1 时发散. a =1 发散, 收敛, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

P257题3设正项级数∑n和∑都收敛证明级数 n-1 n=1 ∑(n+vn)也收敛 n=1 提示:因inan= lim y=0,存在N>0,当n>N时 n→) n→>00 uN) 利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

P257 题3. 设正项级数 和 也收敛 . 提示: 因 lim = lim = 0 , → → n n n n u v 存在 N > 0, 又因 2( ) 2 2 n n  u + v 利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确. 都收敛, 证明级数 当n >N 时 机动 目录 上页 下页 返回 结束

P257题4设级数∑ln收敛,且limn=1,问级数 n→>00LL ∑v是否也收敛?说明理由 提示对正项级数由比较判别法可知∑vn收敛 但对任意项级数却不一定收敛.例如,取 (-1),1 lim n=1+ lim (-1) n→>0LL n→)0 级数∑n收敛,级数∑vn发散 =1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

P257 题4. 设级数 收敛 , 且 是否也收敛？说明理由. 但对任意项级数却不一定收敛 . 问级数 提示: 对正项级数,由比较判别法可知 级数 收敛 , n n n u v → lim 收敛, 级数 发散 . n n n ( 1) 1 lim − = + → =1 例如, 取 n n v n n ( 1) 1 + − = 机动 目录 上页 下页 返回 结束

P257题5讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性: (1)∑(-1) (2)∑(-1)+1S1 1= (3)∑(-)ylnn+1 (4)∑(-ny(n+ n+1 提示:(1)P>1时,绝对收敛 0<p<1时条件收鲛; p≤O时,发散 (2)因各项取绝对值后所得强级数∑n收敛,故 原级数绝对收敛 n=1 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

; 1 (3) ( 1) ln 1   = + − n n n n P257 题5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性: ; sin (2) ( 1) 1 1 1 1   = + + + − n n n n   提示: (1) P >1 时, 绝对收敛 ; 0 < p ≤1 时, 条件收敛 ; p≤0 时, 发散 . (2) 因各项取绝对值后所得强级数 原级数绝对收敛 . 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 , 1 1  1 收敛  = + n n 