同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第九章 重积分习题课

习题保 第九章 重积分的计算及应用 重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

习题课 一、 重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九章 重积分的 计算 及应用

重积分计算的基本方法 累次积分法 1.选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面(线闱成 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离. 2.选择易计算的积分序 积分域分块要少,累次积分易算为妙 3.掌握确定积分限的方法 图示法 列不等:(从内到外面、线、点 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、重积分计算的基本方法 1. 选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面(线)围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离. 2. 选择易计算的积分序 积分域分块要少, 累次积分易算为妙 . 图示法 列不等式法 (从内到外: 面、线、点) 3. 掌握确定积分限的方法 —— 累次积分法 机动 目录 上页 下页 返回 结束

练习 P1242(3);6;7(1),(3) 补充题 计算积分「(x+y)dlo,其中D由y2=2x D x+y=4,x+y=12所围成 解答提示:(接下页) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

练习 计算积分 其中D 由 所围成. P124 2 (3) ; 6; 7 (1), (3) 补充题: 解答提示: (接下页) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

P1242(3)计算二重积分 R2-x2-y2dσ, D 其中D为圆周x2+y2=Rx所围成的闭区域 提示:利用极坐标 Osr< Rcos e rcos e D z<6<x R 原式= ∫d6 rcos 6 R-r-dr R312(1-sin30)dO R3 3 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

2 (3). 计算二重积分 其中D 为圆周 所围成的闭区域. 提示: 利用极坐标 r = Rcos 原式  = − 2 0 3 3 (1 sin )d 3 2  R   y D R x o    D : 0  r  Rcos 2 2   −   机动 目录 上页 下页 返回 结束 P124

P1246.把积分2(xy,)d化为三次积分 其中由曲面=x2+y2,y=x2及平面y=1,z=0 所围成的闭区域 提示:积分域为 0≤z≤x-+y y 1<x<1 x℃ 原式=」xjay∫(xyA 0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

6. 把积分 化为三次积分, 其中由曲面 提示: 积分域为  : 原式  + 2 2 0 ( , , )d x y f x y z z 及平面  1 2 d x y  − = 1 1 dx 所围成的闭区域 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P124

P247()计算积分。2ddyd,其中9是两个球 x+y×2R及x2+y2+z2≤2Rz D (R>0)的公共部分 R 提示:由于被积函数缺x,y 利用“先二后一”计算方便 R 原式 d dxdy+ Jr22d-oJJo, dxdy R 丌(2R2z-z2)dz+ 丌(R2-2)dz 0 59 丌R 480 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

D1z D 2 z 7 (1) .计算积分 其中是两个球 ( R > 0 )的公共部分. 提示: 由于被积函数缺 x , y , 原式 = D z x y 1 d d z Rz z z R (2 )d 2 0 2 2  =  − 利用“先二后一” 计算方便 . z z R d 2 0 2  D z x y 2 z z d d R R d 2 2  + z R z z R R ( )d 2 2 2 2  +  − 5 480 59 =  R R z y x o 2 R 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P124

P247(3计算三重积分 ∫ +z)dv,其中Ω是由 xO平面上曲线y2=2x绕x轴旋转而成的曲面与平面 C=所围成的闭区域 X=x 提示:利用柱坐标{y= rcos e z=sine y X X c2:{0≤r≤√10 0<6<2丌 0 250 原式 d dr, d 0 3 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

7 (3).计算三重积分 其中是由 xoy平面上曲线 所围成的闭区域 . 提示: 利用柱坐标   sin cos z r y r x x = = = 原式  5 2 2 d r x 绕 x 轴旋转而成的曲面与平面 5 2 2 1 r  x  0  r  10 0   2 r dr 10 0 3   =   2 0 d  3 250 =  : z x y o 5 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P124

补充题计算积分∫D(x+y)d,其中D由y2=2x, x+y=4,x+y=12所围成 2. 提示:如图所示D=D2\D1,2 f(x,y)=x+y在D2内有定义且 D X 连续所以 SOo(x+y)do=j D,(r+y)do Di (x +do dy 2 (x+y)dx-C2dy2(x+y)dx 11 =543 15 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

补充题. 计算积分 其中D 由 所围成 . 提示:如图所示 y 2x 2 = 4 2 − 4 − 6 o y x \ , D = D2 D1 f (x, y) = x + y在D2内有定义且 + = D (x y)d  + 2 ( )d D x y   − + 1 ( )d D x y  连续, 所以  − + y y x y x 12 2 2 ( )d − = 4 6 dy  − + y y x y x 4 2 2 ( )d − − 2 4 dy 15 11 == 543 D1 D2 D 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、重积分计算的基本技巧 1.交换积分顺序的方法 2利用对称性或重心公式简化计算 分块积分法 3.消去被积函数绝对值符号 利用对称性 4利用重积分换元公式 练习题 P1231(总习题九);P1244,7(2),9 解答提示:(接下页) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、重积分计算的基本技巧 分块积分法 利用对称性 1. 交换积分顺序的方法 2. 利用对称性或重心公式简化计算 3. 消去被积函数绝对值符号 练习题 4. 利用重积分换元公式 P123 1 (总习题九) ; P124 4, 7(2), 9 解答提示: (接下页) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

P1244.证明 ryema-xf(x)dx l e (a-Jlen(a-x) f(idx y 提示:左端积分区域如图, a D 交换积分顺序即可证得 y=x O P1247(2)求r2+y2++)dv,其中9是 x2+y2+z2+1 由球面x2+y2+z2=1所围成的闭区域 提示:被积函数在对称域Ω上关于z为奇函数,利用 对称性可知原式为0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

   − − = − a m a x y m a x a y e f x x a x e f x x 0 ( ) 0 ( ) 0 d ( )d ( ) ( )d 证明: 提示: 左端积分区域如图, D o y x y = x a 交换积分顺序即可证得. P124 4. 7(2). d , 1 ln( 1) 2 2 2 2 2 2 v x y z z x y z  + + + + + + 求 其中是 1 2 2 2 x + y + z = 所围成的闭区域 . 提示: 被积函数在对称域 上关于 z 为奇函数 , 利用 对称性可知原式为 0. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由球面 P124