同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第十一章 无穷级数（11.3）幂级数

第三节 第十一章 幂级数 函数项级数的概念 幂级数及其收敛性 幂级数的运算 HIGH EDUCATION PRESS 0 机动目录上下返回结束

第三节 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 幂级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一章

函数项级数的概念 设un(x)(n=1,2,…)为定义在区间I上的函数,称 ∑un(x)=1(x)+2(x)+…+un(x)+ 为定义在区间I上的函数项级数 对x0∈I,若常数项级数∑ln(x)收敛,称x为其收 n=1 敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域 若常数项级数∑n(xo)发散,称x0为其发散点,所有 发散点的全体称为其发散域 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下返回结束

一、 函数项级数的概念 设         1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n u x u x u x  u x  为定义在区间 I 上的函数项级数 . 对 I , x0  若常数项级数   1 0 ( ) n n u x 敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ; 若常数项级数   1 0 ( ) n n u x 为定义在区间 I 上的函数, 称 收敛, 发散 , 所有 0 称 x 为其收 0 称x 为其发散点, u (x) (n 1,2,) n 发散点的全体称为其发散域 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

在收敛域上,函数项级数的和是x的函数S(x),称它 为级数的和函数,并写成 (x)=∑ln 若用Sn(x)表示函数项级数前n项的和,即 Sn(x)=∑uk(x) 令余项rn(x)=S(x)-Sn(x) 则在收敛域上有 lim Sn(x)=s(x), lim rn(x)=0 n→>00 n→00 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下返回结束

S(x) , 为级数的和函数 , 并写成 ( ) ( ) 1 S x u x n  n    若用 S (x) n ( ) ( ) 1 S x u x n k n  k   令余项 r (x) S(x) S (x) n   n 则在收敛域上有 lim S (x) S(x) , n n   lim ( )  0  r x n n 表示函数项级数前 n 项的和, 即 在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例如,等比级数∑x=1+x+x2+…+x+ n=0 它的收敛域是(-1,1),当x∈(-1,1)时,有和函数 ∑ y1 0 X 它的发散域是(-∞,-1]及[1,+∞),或写作x|21 又如级数∑2(x≠0),当x|=1时收敛 n=0 n 但当0 所以级数的收敛域仅为x|=1 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下返回结束

例如, 等比级数 它的收敛域是 (1,1 ) , ( , 1 ] 及 [1， ）,         n n n x x x x 2 0 1 x x n n      1 1 0 它的发散域是 或写作 x 1. 又如, 级数 ( 0) , 0 2       x n x x n n n lim ( )  ,  u x n n 级数发散 ; 所以级数的收敛域仅为 x 1. 当x(1,1)时, 有和函数 当 x 1时收敛, 但当0  x  1时, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、幂级数及其收敛性 形如∑an(x-x0)"=a0+a1(x-x0)+a2(x-x)2+ 0 +an(x-x0)+… 的函数项级数称为幂级数,其中数列an(n=01,…)称 为幂级数的系数 下面着重讨论x=0的情形,即 0a1x+a2x-+…+anx+ 例如,幂级数∑x x|<1即是此种情形 n=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下返回结束

二、幂级数及其收敛性 形如     0 0 ( ) n n n a x x       2 0 1 0 2 0 a a (x x ) a (x x ) 的函数项级数称为幂级数, 其中数列 a (n  0,1,) n 下面着重讨论 0 x0    n0 n n a x  a0  a1x  a2 x 2  an x n  例如, 幂级数 , 1 1 1 0       x x x n n 为幂级数的系数 . 即是此种情形. 的情形, 即  an (x  x0 )n  称 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理1.(Abe定理)若幂级数∑anxn n=0 在x=xo点收敛,则对满足不等式xx0的一切x,该幂级数也发散 证:设∑anx收敛,则必有 lim anx=0,于是存在 n=0 n→>0 常数M>0,使anx≤M(n=1,2…) 收敛发散 发散 收O敛 发散x 学 HIGH EDUCATION PRESS 阿贝尔目录上贞下页返回结束

发 散 收 o 敛 发 散 x 收敛 发散 定理 1. ( Abel定理 ) 若幂级数   n0 n n a x , 在x  x0 点收敛 则对满足不等式 0 x  x 的一切 x 幂级数都绝对收敛. 反之, 若当 0 x  x 0 x  x 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 证: 设  0 0 n n n a x lim 0, 0   n n n 收敛, 则必有 a x ( 1, 2, ) an x0 n  M n   于是存在 常数 M > 0, 使 阿贝尔 目录 上页 下页 返回 结束

X X 0 ≤M 当xx0且使级数收敛,则由前 面的证明可知,级数在点x0也应收敛,与所设矛盾, 故假设不真.所以若当x=x0时幂级数发散,则对一切 满足不等式x|>|xo的x,原幂级数也发散.证毕 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下返回结束

当 时, 0 x  x   n0 0 n x x M 收敛,     n 0 n n a x 故原幂级数绝对收敛 . 也收敛, 反之, 若当 0 x  x 时该幂级数发散 ,下面用反证法证之. 假设有一点 1 x 1 0 x  x 0 x 满足不等式 0 x  x 所以若当 0 x  x 满足 且使级数收敛 , 面的证明可知, 级数在点 故假设不真. 的 x , 原幂级数也发散 . 时幂级数发散 , 则对一切 则由前 也应收敛, 与所设矛盾, n n n n n n x x a x a x 0  0 n n n x x a x 0 0   n x x M 0  证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束

由Abel定理可以看出,∑an1x"的收敛域是以原点为 中心的区间 n=0 用±R表示幂级数收敛与发散的分界点,则 R=0时,幂级数仅在x=0收敛; R=∞时,幂级数在(-∞,+∞)收敛; 0<R<∞,幂级数在(一R,R)收敛;在[一R,R] 外发散;在x=±R可能收敛也可能发散 R称为收敛半径,(-R,R)称为收敛区间 (一R,R)加上收敛的端点称为收敛域 收敛发散 发散 O 发散 学 HIGH EDUCATION PRESS 0 机动目录上下返回结束

幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ; 由Abel 定理可以看出,   n0 n n a x 中心的区间. 用±R 表示幂级数收敛与发散的分界点, 的收敛域是以原点为 则 R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ; R =  时, 0  R   , 幂级数在 (－R , R ) 收敛 ; (－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域. R 称为收敛半径 ， 在[－R , R ] 外发散; 在 x  R 可能收敛也可能发散 . (－R , R ) 称为收敛区间. 发 散 收 o 敛 发 散 x 收敛 发散 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理2.若∑anx的系数满足img+1|=p,则 0 n→>0C 1)当p≠0时,R= 2)当p=0时,R=∞ 3)当p=∞时,R=0 证:limn+1 lim an+l[x=px n→0 n→oa 1)若≠0,则根据比值审敛法可知 当p|x11,即x|>时,原级数发散 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下返回结束

x a a a x a x n n n n n n n n        1 1 1 lim lim 定理2. 若   n0 n n a x 的系数满足 lim , 1     n n n a a ; 1  R  R   ; R  0 . 证: 1) 若 ≠0, 则根据比值审敛法可知: 当 x 1, 原级数收敛; 当 x 1, 原级数发散.   x 即  1 x  时, 1) 当 ≠0 时, 2) 当 ＝0 时, 3) 当 ＝∞时, 即 时, 则  1 x  机动 目录 上页 下页 返回 结束

因此级数的收敛半径R=1 2)若ρ=0,则根据比值审敛法可知,对任意x原级数 绝对收敛,因此R=∞; 3)若p=∞,则对除x=0以外的一切x原级发散 因此R=0 说明:据此定理 ∑anx的收敛半径为R=1im 0 n→>oa n+1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下返回结束

2) 若  0, 则根据比值审敛法可知, 绝对收敛 , R   ; 3) 若  ,则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 , R  0 . 对任意 x 原级数 因此 因此   n0 n n a x 的收敛半径为 说明:据此定理 1 lim    n n n a a R 因此级数的收敛半径 . 1  R  机动 目录 上页 下页 返回 结束