同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第九章 重积分（9.4）重积分的应用

第四节 第九章 重积分的应用 立体体积 二、曲面的面积 三、物体的质心 四、物体的转动惯量 五、物体的引力 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第四节 一、立体体积 二、曲面的面积 三、物体的质心 四、物体的转动惯量 五、物体的引力 机动 目录 上页 下页 返回 结束 重积分的应用 第九章

1.能用重积分解决的实际问题的特点 所求量息分布在有界闭域上的整体量 对区域具有可加性 2.用重积分解决问题的方法 用微元分析法(元素法) 从定积分定义出发建立积分式 3.解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

1. 能用重积分解决的实际问题的特点 所求量是 对区域具有可加性 • 从定积分定义出发 建立积分式 • 用微元分析法 (元素法) 分布在有界闭域上的整体量 3. 解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便 2. 用重积分解决问题的方法 机动 目录 上页 下页 返回 结束

立体体积 曲顶柱体的顶为连续曲面z=f(x,y)(x,y)∈D 则其体积为 V=f(x,y)dxdy 占有空间有界城Ω的立体的体积为 fxdd Q HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、立体体积 • 曲顶柱体的顶为连续曲面 则其体积为  = D V f (x, y)dxdy • 占有空间有界域  的立体的体积为  V = dxdydz 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1求曲面S1:z=x2+y2+1任点的切平面与曲面 S2:z=x2+y2所围立体的体积 解:曲面S在点(x0,y0,20)的切平面方程为 2x0x+210y+1-x2,2 它与曲面z=x2+y2的交线在xOy面上的投影为 (x-x0)2+(y-y0)2=1(记所围域为D) [2 x0x+2y0y+1-x0-y dxd D D1-(x=x)2+(y-102)dxd Ax-xo=rcos 0, y-yo=rsin o - Lr2.rdrde-z-dof'r'dr- D 学 HIGH EDUCATION PRESS 98 机动目录上页下页返回结束

任一点的切平面与曲面 所围立体的体积 V . 解: 曲面 S1 的切平面方程为 2 0 2 2 0 2 0 1 0 z = x x + y y + − x − y 它与曲面 的交线在 xoy 面上的投影为 ( ) ( ) 1 2 0 2 x − x0 + y − y = V   x y D d d   = 2 2 − x − y 2 0 2 2 0 2 0 1 0 x x + y y + − x − y   x y D 1 d d  = − ( ) 2 0 2 0 (x − x ) + ( y − y ) =  − 令 x − x0 = r cos , y − y0 = rsin 2  = (记所围域为D ) 在点   D r r d r d  2 例1. 求曲面 =  − d r d r 1 0 3 2 0     机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2求半径为a的球面与半页角为a的 内接锥面所围成的立体的体积 2 解:在球坐标系下空间立体所占区域为 M 0<r≤2acos g2:0≤≤a 0<6<2丌 则立体体积为 dv=r sin od odo drl a cos dxdydz=l do sin do d 1 6a ra 4兀a coSsin o d o (1-cos a) 3 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

x o y z 2a 例2. 求半径为a 的球面与半顶角为 的 内接锥面所围成的立体的体积. 解: 在球坐标系下空间立体所占区域为  : 则立体体积为  V = dxdydz  2 cos 0 2 d a r r      cos sin d 3 16 0 3 3  = a (1 cos ) 3 4 4 3   = − a 0  r  2a cos 0   0   2     0 sin d  =   2 0 d dv r sin d d dr 2 =      r M 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、曲面的面积 设光滑曲面S:z=f(x,y),(x,y)∈D M 则面积A可看成曲面上各点M(x,y,z) 处小切平面的面积dA无限积累而成 设它在D上的投影为dσ,则 d do= coS yd A cosy 1+f2(xy)+f2(x d A da=1+f(x,y)+fV(x,y) do M、do (称为面积元素) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

 M d A z d n 二、曲面的面积 x y z S o 设光滑曲面 则面积 A 可看成曲面上各点 M (x, y,z) 处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d , d = cos d A 1 ( , ) ( , ) 1 cos 2 2 f x y f x y + x + y  = d 1 ( , ) ( , ) d 2 2 A f x y f x y = + x + y (称为面积元素) 则   M n  d 机动 目录 上页 下页 返回 结束

故有曲面面积公式 D√1+2(xy)+(xy)d 即 0z az 1+ +(-)dxd D ax 若光滑曲面方程为x=g(y2),(y)∈Dy,则有 1+ Cx、2,/Ox d ydz D y2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

故有曲面面积公式 1 ( , ) ( , ) d 2 2  = + + D x y A f x y f x y x y y z x z A D 1 ( ) ( ) d d 2 2    +   = + 若光滑曲面方程为 ( , ) , ( , ) , Dy z x = g y z y z  则有 Dy z 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束

若光滑曲面方程为y=h(=,x),(,x)∈Dx,则有 A=JD 1+( ay dzdx 若光滑曲面方程为隐式F(x,y,z)=0,且F2≠0,则 F az (x,y)∈D ax F a F F-+F,.+F A dxd y D F HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

z x x y z y A 1 ( ) ( ) d d 2 2   +   = +  若光滑曲面方程为 ( , ) , ( , ) , Dz x y = h z x z x  若光滑曲面方程为隐式 则 则有 x y z y z x x y D F F y z F F x z = −    = −   , , ( , )   A = Dx y Dz x z x y z F F F F 2 2 2 + + 且 dxd y 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.计算双曲抛物面z=xy被柱面x2+y2=R2所截 出的面积A 解:曲面在xy面上投影为D:x2+y2≤R2,则 A dxd D ∫Jn 1+x+ydxd R dO、1+r2rdr 0 z[(1+R2)2-1)] HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例3. 计算双曲抛物面 被柱面 所截 解: 曲面在 xoy 面上投影为 : , 2 2 2 D x + y  R 则 A z z x y D x y 1 d d 2 2  = + + x y x y D 1 d d 2 2  = + + r r r R d 1 d 0 2 2 0   = +   [(1 ) 1)] 3 2 2 3 2 =  + R − 出的面积 A . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4.计算半径为a的球的表面积 解:方法1利用球坐标方程 asin(od e 设球面方程为r=a d 球面面积元素为 asing da=a sin dodo ad o S2c2兀 丌 A 0 de sin d g 0 =4a 方法2利用直角坐标方程.(见书P09) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例4. 计算半径为 a 的球的表面积. 解: 设球面方程为 r = a 球面面积元素为 d sin d d 2 A = a    =      0 2 0 2 A a d sin d 2 = 4 a asin ad 方法2 利用直角坐标方程. (见书 P109) 方法1 利用球坐标方程.   a x y z o d asind 机动 目录 上页 下页 返回 结束