同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第十一章 无穷级数（11.6）一致收敛

第六节 第十一章 数顶級的一致收敛性 及一敌收敛数的基本性质 函数项级数的一致收敛性 二、一致收敛级数的基本性质 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

函数项级数的一致收敛性 *第六节 一、函数项级数的一致收敛性 及一致收敛级数的基本性质 二、一致收敛级数的基本性质 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一章

函数项级数的一致收敛性 幂级数在收敛域内的性质类似于多项式,但一般函数 项级数则不一定有这么好的特点 例如,级数 3 x+(x--x)+(x-x-)+∴+(x-x 每项在[0,1上都连续,其前n项之和为Sn(x)=x 和函数S(x)= lim s(x) 0<x<1 n→0 X 该和函数在x=1间断 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、函数项级数的一致收敛性 幂级数在收敛域内的性质类似于多项式, 但一般函数 项级数则不一定有这么好的特点. 例如, 级数 x + (x 2 − x) + (x 3 − x 2 ) ++ (x n − x n−1 ) + 每项在 [0,1] 上都连续, 其前 n 项之和为 ( ) , n n S x = x 和函数 = = → S(x) lim S (x) n n 0, 0  x 1 1, x =1 该和函数在 x＝1 间断. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

sinx sin 2-x sinn x 又如,函数项级数 因为对任意x都有: sinn x 所以它的收敛域为(-∞,+∞),但逐项求导后的级数 cOsx+C0s22x+……+cosn2x+ 其一般项不趋于0,所以对任意x都发散 问题:对什么样的函数项级数才有 逐项连续 和函数连续 逐项求导=和函数求导;逐项积分=和函数积分 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

因为对任意 x 都有: ( 1,2, ) sin 1 2 2 2  n =  n n n x 所以它的收敛域为 (－∞, +∞) , 但逐项求导后的级数 cos x + cos 2 2 x ++ cos n 2 x + 其一般项不趋于0, 所以对任意 x 都发散 . 又如, 函数项级数 问题: 对什么样的函数项级数才有: 逐项连续 和函数连续; 逐项求导 = 和函数求导; 逐项积分 = 和函数积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义设S)为∑n(x)在区间/上的和函数若对 任意给定的E>0都有一个只依赖于B的自然数N,使 当n>N时对区间Ⅰ上的一切x都有 In(x)=S(x)Sn(x)<e 则称该级数在区间上一致收敛于和函数S(x) 显然,在区间I上 ∑un(x)-致收敛于和函数S(x) 部分和序列Sn(x)-致收敛于S(x) 余项rn(x)-致收鲛于0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定义. 设 S(x) 为 ( ) 1 u x n  n  = 若对 都有一个只依赖于 的自然数 N , 使 当n > N 时, 对区间 I 上的一切 x 都有 r (x) = S(x) − S (x)   n n 则称该级数在区间 I 上一致收敛于和函数S(x) . 在区间 I 上的和函数, 任意给定的  > 0, 显然, 在区间 I 上 ( ) 1 u x n  n  = 一致收敛于和函数S(x) 部分和序列 S (x) n 一致收敛于S(x) 余项 r (x) n 一致收敛于 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束

几何解释:(如图) VE>0.,3N∈Z,当n>N时,S(x)-Sn1(x)<E表示 曲线y=Sn(x)总位于曲线y=S(x)-E与y=S(x)+E 之间 y=S(x)+8 S(x y=S(x)-8 x HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

几何解释 : (如图) y = S(x) + y = S(x) − I x y = S(x)   0,   , + N  Z 当n > N 时, S(x) − Sn (x)   表示 曲线 总位于曲线 y = S(x) −与y = S(x) + y S (x) = n y S (x) = n 之间. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.研究级数 (x+1)(x+2)(x+2)(x+3)(x+n)(x+n+1) 在区间[0,+∞)上的收敛性 解 (x+k)(x+k+1)x+kx+k+1 (k=1,2,… x+1x+2x+2x+3 x+n x+n+1 x+1x+n+1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 研究级数  + + + + + + + + + + + ( )( 1) 1 ( 2)( 3) 1 ( 1)( 2) 1 x x x x x n x n 在区间 [0, +∞) 上的收敛性. 解: 1 1 1 ( )( 1) 1 + + − + = x + k x + k + x k x k  (k =1,2, ) + + − + + + − +  = ) 3 1 2 1 ) ( 2 1 1 1 ( ) ( x x x x S x n ) 1 1 1 ( + + − + + x n x n 1 1 1 1 + + − + = x x n 机动 目录 上页 下页 返回 结束

S(x)=lim Sn(x)=lim( n→0 n->ox+1x+n+1x+1 (0≤x0,取自然数N=[1-1]则当n>N时有 rn(x)<E(0≤x<+∞) 这说明级数在[0,+∞)上一致收敛于S(x) x+1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

S(x) lim S (x) n n→ = ) 1 1 1 1 lim ( + + − + = n→ x x n 1 1 + = x (0  x  +) 余项的绝对值: r (x) S(x) S (x) n = − n 1 1 + + = x n 1 1 +  n (0  x  +) 因此, 任给  > 0, 取自然数  1, 1 = −  N 则当n > N 时有 r (x)  (0  x  +) n  这说明级数在 [0, +∞) 上一致收敛于 . 1 1 ( ) + = x S x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.证明级数 x+(x x)+(x-x)+…+(hx 在,1上不一致收敛 证:Sn(x)=x+(x2-x)+…+(x 「0,0≤xE因此级数在0,1上不 致收敛 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2. 证明级数 x + (x 2 − x) + (x 3 − x 2 ) ++ (x n − x n−1 ) + 在 [0,1] 上不一致收敛 . 证: n n n n S x = x + x − x + + x − x = x − ( ) ( ) ( ) 2  1 S(x) = 0, 0  x 1 1, x =1 rn (x) = S(x) − Sn (x) = , 0  x 1 n − x 0, x =1 取正数 , 2 1   对无论多么大的正数 N , ( ) , 1 1 2 1 0 + = N 取 x [0,1], x0  ( ) , 2 1 1 0 =   + r x 而 N 因此级数在 [0, 1] 上不 一致收敛 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

0,0≤x0,欲使 因此取N=「11,只要n>N Inr Inr 必有n(x)<r”<E即级数在[0,r]上—致收敛 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

y o x 说明: 1 n =1 n n S (x) = x S(x) = 0, 0  x 1 1, x =1 n = 2 n = 4 n =10 n = 30 (1,1) S(x) 对任意正数 r 0, 欲使   , n r 只要 , ln ln r n   因此取 , ln ln     = r N  只要 n  N, ( )    , n n 必有 r x r 即级数在 [ 0, r ] 上一致收敛 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

用一致收敛定义判别级数的—致收敛性时,需求出 Sn(x)及S(x),这往往比较困难下面介绍一个较方便的 判别法 维尔斯特拉斯( Weierstrass判别法 若函数项级数∑n(x)在区间上满足 (x)≤an(n=1,2,) 2)正项级数∑an收敛 1= 则函数项级数∑un(x)在区间/上一致收敛 HIGH EDUCATION PRESS 简介目录上页下页返回结束

维尔斯特拉斯(Weierstrass) 判别法 用一致收敛定义判别级数的一致收敛性时, 需求出 S (x) S(x), n 及 这往往比较困难. 下面介绍一个较方便的 判别法. 若函数项级数 ( ) 1 u x n n   = 在区间 I 上满足: 1) u (x)  a (n =1, 2, ); n n 2) , 1 正项级数 n 收敛 n  a  = 则函数项级数 ( ) 1 u x n n   = 在区间 I 上一致收敛 . 简介 目录 上页 下页 返回 结束