同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第十二章 微分方程（12.4）一阶线性

第四节 第十二章 一阶线性微分方程 阶线性微分方程 二、伯努利方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一阶线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四节 一、一阶线性微分方程 二、伯努利方程 第十二章

阶线性微分方程 阶线性微分方程标准形式:9+P(x)y=Qx) ax 若Q(x)=0,称为齐次方程; 若Qx)年0,称为非齐次方程 d 1.解齐次方程+P(x)y=0 dx 分离变量 dy==P(x)dx 两边积分得ny=P(xdx+nC 故通解为 Ce-jp(dx 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式: ( ) ( ) d d P x y Q x x y + = 若 Q(x)  0, ( ) 0 d d + P x y = x y 若 Q(x)  0, 称为非齐次方程 . 1. 解齐次方程 分离变量 两边积分得 ln y = − P(x)dx + ln C 故通解为 P x x y Ce − ( )d = 称为齐次方程 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.解非齐次方程 d_d +P(xy=o() 用常数变易法作变换yx)=()eP(x)dx则 le P(- P(ue IPc)d +Plame jP(x)dx Q() d 即 dr(es p(x)dx 两端积分得=」ox) J P(x)dx dx+C 故原方程的通解y=e P(x)dx Q(xe P(x)dx dx+c 即y=c2Px)dx+ehrx)dr Q()e ∫P(x)dx 齐次方程通解 非齐次方程特解 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

对应齐次方程通解 P x x y Ce − ( )d = 齐次方程通解 非齐次方程特解  − P x x Ce ( )d 2. 解非齐次方程 ( ) ( ) d d P x y Q x x y + = 用常数变易法: ( ) ( ) , − ( )d = P x x y x u x e 则  −  P x x u e ( )d + P(x)  − P x x u e ( )d = Q(x) 故原方程的通解 e Q x e x P x x P x x ( ) d ( )d ( )d    − +     = +    − y e Q x e x C P x x P x x ( ) d ( )d ( )d 即 y = 即 作变换  − − P x x P x u e ( )d ( ) u Q x e x C P x x = +   ( ) d ( )d 两端积分得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

dy 2 例1解方程 =(x+1 dx x+1 dy 2 dy 2dx 解:先解 0,即 dx x+1 x+1 积分得ny=2lnx+1+lnC|,即y=C(x+1)2 用常数变易法求特解令y=(x)(x+1)2,则 y=l'(x+1)2+2l(x+1) 代入非齐次方程得l′=(x+1)2 解得 (x+1)2+C 故原方程通解为y=(x+1)22(x+1)2+C 3 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 解方程 解: 先解 0 , 1 2 d d = + − x y x y 即 1 d 2d + = x x y y 积分得 即 2 y = C(x +1) 用常数变易法求特解. 令 ( ) ( 1) , 2 y = u x  x + 则 ( 1) 2 ( 1) 2 y  = u   x + + u  x + 代入非齐次方程得 解得 u = x + 2 +C 3 ( 1) 3 2 故原方程通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

dx X 例2.求方程 dy=0的通解 xy Ly vy 解:注意xy同号,当x>0时,=2dx,故方程可 X 变形为2 d/x√x2 4y-y==7|这是以为变量功为 由一阶线性方程通解公式,得 d d e2y[∫-e2dx+lnC dy+In C y 所求通解为yeV=C(C≠0) 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2. 求方程 的通解 . 解: 注意 x, y 同号, 2d , d 0 , x x x 当x  时 = y P y 2 1 ( ) = − y Q y 1 ( ) = − 由一阶线性方程通解公式 , 得 x = e  e y 1 −  故方程可 变形为 d 0 d 2 3 =   −   + y y x x y y x −   y 1 dy + ln C  所求通解为 y e = C (C  0) y x 这是以 x 为因变量, y为 自变量的一阶线性方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.有一电路如图所示,其中电源R 电动势为E=En,sinO,电阻R和电 L K 感L都是常量,求电流i() E 解:列方程.由回路电压定律: 在闭合回路中,所有支路上的电压降为0 已知经过电阻R的电压降为Ri d 经过L的电压降为L dt 因此有E-L-Ri=0,即 dire sino t d t dt L 初始条件i1=0=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0 例3. 有一电路如图所示, 电阻 R 和电 ∼ L E R K 解: 列方程 . 已知经过电阻 R 的电压降为R i 经过 L的电压降为 t i L d d 因此有 0 , d d − − Ri = t i E L 即 L E t i L R t i m sin d d + = 初始条件: 0 i t = 0 = 由回路电压定律: 其中电源 感 L 都是常量, 求电流 机动 目录 上页 下页 返回 结束

dir e sin o t R dt L 1=0=0 L K 解方程 利用一阶线性方程解的公式可得 i(t)=eL 8「5ie“C R R R22(Rsinot-aLcosot)+Ce L 由初始条件:i1=0得C=oLE必 R+021 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

∼ L E R K 解方程: L E t i L R t i m sin d d + = 0 i t = 0 =     = +    − y e Q x e x C P x x P x x ( ) d ( )d ( )d 由初始条件: 0 i t=0 = 得 +C 利用一阶线性方程解的公式可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

因此所求电流函数为 R O LE K R2+02L E R2 2(Rsin@t-OLcosar 解的意义:令q= arctan士,则 R O LE 个<× E sin(at-) R+ R2+2L 暂态电流 稳态电流 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

t L R m e R L LE i t − + = 2 2 2 ( )   ( sin cos ) 2 2 2 R t L t R L Em     − + + t L R m e R L LE i t − + = 2 2 2 ( )   sin( ) 2 2 2    − + + t R L Em 暂态电流 稳态电流 令 arctan ,则 R  L  = ∼ L E R K 因此所求电流函数为 解的意义: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、伯努利( Bernoulli)方程 伯努利方程的标准形式 d +P(x)y=Q(x)y(n≠0,1) X 解法:以y除方程两边得 d +P(x)y=o(x)))) dx d d 令z=y",则;=(1-m)y dx dx dz +(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)(线性方程) d 求出此方程通解后,换回原变量即得伯努利方程的通解 HIGH EDUCATION PRESS 08 伯努利目录 下页返回结束

二、伯努利 ( Bernoulli )方程 伯努利方程的标准形式: ( ) ( ) d d 1 P x y Q x x y y n n + = − − 令 , 1 n z y − = x y n y x z n d d (1 ) d d − 则 = − (1 ) ( ) (1 ) ( ) d d n P x z n Q x x z + − = − 求出此方程通解后, 除方程两边 , 得 换回原变量即得伯努利方程的通解. 解法: (线性方程) 伯努利 目录 上页 下页 返回 结束

d 例4.求方程 a(lnx)y2的通解 dx 解:令z=y,则方程变形为 d: a Inx dx 其通解为z=e[(ahnx) e x dx+C] xIc nx 将z=y-代入,得原方程通解 yx[c-o(Inx)=1 2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例4. 求方程 的通解. 解: 令 , −1 z = y 则方程变形为 a x x z x z ln d d − = − 其通解为 z = e 将 −1 z = y x x d 1    (−a ln x)e x x d 1  − dx +C    2 (ln ) 2 x a = x C − 代入, 得原方程通解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束