同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第十章 曲线积分与曲面积分习题课

习题倮 第十章 线面积分的计算 曲线积分的计算法 二、曲面积分的计算法 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

习题课 一、 曲线积分的计算法 二、曲面积分的计算法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 线面积分的计算 第十章

曲线积分的计算法 1.基本方法 曲线积分第类(对弧长) 第二类(对坐标)转化→定积分 用参数方程 (1)统积分变量用直角坐标方程 用极坐标方程 第一类:下小上大 (2)确定积分上下限 第二类:下始上终 练习题:P184题3(1),(3),(6) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、曲线积分的计算法 1. 基本方法 曲线积分 第一类 ( 对弧长 ) 第二类 ( 对坐标 ) (1) 统一积分变量 转化 定积分 用参数方程 用直角坐标方程 用极坐标方程 (2) 确定积分上下限 第一类: 下小上大 第二类: 下始上终 练习题: P184 题 3 (1), (3), (6) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

解答提示:P1843(1) 计算』,x2+yd其中为圆周x2+y2=ar 提示:利用极坐标,L:r=acos( ≤b≤-) 2 ds +r'lda=ade 原式 ax as a cos0ad0=2 说明:若用参数方程计算,则 x=a(+cost) L (0≤t≤2丌)o y=asin d s +idt=d 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

解答提示: 计算 其中L为圆周 提示: 利用极坐标 , d d 2 2 s = r + r  原式 = ax s L d  说明: 若用参数方程计算, o a x y r  = ad t 则 d s x y d t 2 2 =  +  机动 目录 上页 下页 返回 结束 P184 3 (1)

P1843(3)计算|,(2a-y)dx+xdy,其中L为摆线 r=a(t-sint), y=adl-cost) 上对应t从0到2π的一段弧 提示:(2a-y)dx+xdy=a(1+cost)a(1-Cost)dt (t-sint)· asintd t a t sintdt 原式 tsin t 0 a2[ t cos t-sin t 2丌a HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

P184 3(3). 计算 其中L为摆线 上对应 t 从 0 到 2 的一段弧. 提示:   = 2 0 2 原式 a tsin td t   2 0 2 = a − t cost − sint 机动 目录 上页 下页 返回 结束

P|8436计算xya,其中由平面y=截球面 ×=2=1所得,从=轴正向看沿逆时针方向 示:因在r上有x2+2y2=1,故 x=cos t I:y=sint(0≤t≤2z) sint X 2丌 原式=220 costsin- td t cos t(1-cos- t)dt 1x31x)√2z 22422 16 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

z o y x 1 P184 3(6). 计算 其中由平面 y = z 截球面 提示: 因在 上有 故 原式 =       =  −   2 2 1 4 3 2 2 1 2   从 z 轴正向看沿逆时针方向. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.基本技巧 (1)利用对称性及重心公式简化计算 (2)利用积分与路径无关的等价条件; (3)利用格林公式(注意加辅助线的技巧) (4)利用斯托克斯公式 (5)利用两类曲线积分的联系公式 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

(1) 利用对称性及重心公式简化计算 ; (2) 利用积分与路径无关的等价条件; (3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ; (5) 利用两类曲线积分的联系公式 . 2. 基本技巧 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例.计算1/=(x2+y+2)d其中为曲线 x-+ x+v+z=0 解:利用轮换对称性,有 y x ds ds d 利用重心公式知yds=yd=0(的重心在原点 (x2+y2+22)ds 3JT ds== a 3 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 计算 其中 为曲线 解: 利用轮换对称性 , 有 x ds y ds z ds 2 2 2    = = 利用重心公式知 I (x y z )ds 3 2 2 2 2  = + +  3 3 4 =  a z o y x  (的重心在原点) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2计算=(x2-y)dx+(y2-xy,其中L是沿逆 时针方向以原点为中心,a为半径的上半圆周 解法1令P=x2-y,Q=y2-x,则 O aP 这说明积分与路径无关,故 x"-y)dr+(32x)dy B O AB dx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2. 计算 其中L 是沿逆 时针方向以原点为中心, C o y B A x L 解法1 令 , , 2 2 P = x − y Q = y − x 则 这说明积分与路径无关, 故 I x y x y x y AB( )d ( )d 2 2 = − + −   − = a a x d x 2 a 为半径的上半圆周. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

解法2添加辅助线段BA,它与L所围区域为D,则 L+Ba )dx+(12 x) y Ba (x-y)dx+(y-x)d D ∫dxdy-x2d B (利用格林公式) 思考: (1)若L改为顺时针方向如何计算下述积分 1=|,(x2-3y)dx+(y2-x)dy 2)若L同例2,如何计算下述积分 y+y)dx+2-x)dy HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

解法2 BA, 它与L所围区域为D, C o y B A x L  =  D 0 d xd y x y x y x y BA( )d ( )d 2 2 − − + −  x x a a d 2 − − D (利用格林公式) 思考: (2) 若 L 同例2 , 如何计算下述积分:  = − + − L I (x y )d x ( y x)d y 2 2 2 2 + y  = − + − L I (x y)d x ( y x)d y 2 2 1 3 3 3 2 = − a (1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:  + = − + − L BA I (x y)d x ( y x)d y 2 2 添加辅助线段 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

思考题解答: ()1=(x2-3y)dx+(2-x)dy D L+AB JAB B 2l dxdy+ C-元 D (2)2=「,(x2-y+y2)dx+(y2-x)d J (x2-y)dx+(2-xdy+yd L:x= a cos t,y= asin t,t:0→>丌 sin'tdt C 1=-2a 3 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

思考题解答:  = − + − L I (x y)d x ( y x)d y 2 2 (1) 1 3   = − L+AB AB  = − D 2 d xd y ) 3 2 ( 2 = a a −  = − + − L I (x y )d x ( y x)d y 2 2 2 2 (2) + y  = − + − L (x y)d x (y x)dy 2 2  + L y dx 2 a sin t d t 3 0 3  −  L : x = acost, y = asint, 3 3 2 = − a 3 = −2a t : 0 → 3 3 2 + a = I C o y B A x L D 机动 目录 上页 下页 返回 结束