《矩阵理论—知识点详解》第二章 向量与矩阵的范数（2.1）向量的范数

第二章 向量与矩阵的范数

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1向量的范数 定义1设映射C→R满足: (1)正定性0,当且仅当x=0时,=0; (2)齐次性xx∈r,x∈Cn; (3)三角不等式x+y+y,x,y∈Cn. 则称映射为n上向量x的范数. 向量范数的性质: (1)0=0 (2)x≠0时,x=1 返回

返回 1 向量的范数 (1)|| 0||= 0； 向量范数的性质： 定义1 则称映射|| || 为C 上向量x的范数. n  (1)正定性 || x || 0,当且仅当x = 0时，|| x ||= 0; 设映射||  ||: C n → R满足： (2) || || | ||| ||, , ; n 齐次性 x =  x   R xC (3) || || || || || ||, , . n 三角不等式 x + y  x + y  x yC || 1; || || 1 (2)  0 || x = x x 时

(3)对任意x∈C",有‖-xl-x‖ (4)对任意x,y∈C",有|!x‖-‖yx-y‖ 证‖x‖=‖(x-y)+y|‖x-y+yll xl1-y|‖x-yl(1)—‖x-y|y-xl‖ 坐yll-l‖xl‖l-‖y伦-‖x-y(2) (1)(2)C川x-yllx-y 例1设x=(x1,x2,…,xn)∈C,则 (1)xl1=∑x; 1-范数

返回 证 || x || || ( x y ) y || || x y || | y | = − +  − + | | (3) x C || x || || x ||; n 对任意  ，有 − = (4) x, y C ||| x || || y || | || x y || . n 对任意  ，有 −  − || x || || y || || x y || −  − (1) || x y || || y x | −=− |  − || y || || x || || x || || y || −  − − || x y || (2) (1),(2) ||| x || || y ||| || | −  −x y | 例 1 1 2 ( ) n n 设 ，则 x x , x , , x C =  1 1 (1) n i i || x || | x | = =  1−范数

(2)x2=(x 2-范数 63)‖ll= max x; 无穷范数 X=x,x ),y=(,y2,…,yn) Ix"y=xiv,+x2y,+.+xny ≤(|x1P2+|x2P2 …十x (|y1}2+|y2|2 =‖xlyl x+y2=(x+y)"(x+y)

返回 1 (3) i i n || x || max | x |    = 证 1 2 1 2 ( ) ( ) T T n n x x , x , , x y y , y , , y = = ， 2 2 1 2 1 2 H n n | x y | | x y x y x y | = + + + 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 ( ) ( ) n n | x | | x | | x | | y | | y | | y |  + + +  + + + 2 2 2 2 =|| x || || y || 2 2 ( ) ( ) H || x y || x y x y + = + + 2 1 2 2 1 (2) ( ) n / i i || x || | x | = =  2 −范数 无穷范数

H =r xfr yty y y 1和+=1,则恒有不等式 ν≤-u+ q

返回 H H H H  + + + | x x | | x y | | y x | | y y | 2 2 2 2 2 2  + + || x || || x || || y || || y || 2 2 2 2 = + ( ) || x || || y || 2 2 2 || x y || || x || | || +  + | y 引理1 若 和 是非负实数， 和 是正实数，且 u v p q 1 1 p q, 1 1 p q 满足条件 和 ，则恒有不等式  + = 1 1 p q uv u v p q  + H H H H = + + + x x x y y x y y

证wD≤「u2ba「" v/p-dv=+ vandy 0 +(-+ ly,(q/p)+1 L P P P 定义‖xn=②xP)1≤n<∞〈p-范数 i=1

返回 证 1 1/( 1) 0 0 u v p p uv u du v dv − −  +   −1 = p v u o v u / 0 1 v p q p u v dv p = +  1 1 ( / ) 1 ( 1) p q p q u v p p − + = + + 1 1 p q u v p q = + 定义 1 / 1 || || ( | | ) 1 n p p p i i x x p = =     p −范数

定理1( Holder不等式)若p,q>1,且-+-=1, p q 则对C任意向量x=(x1,x2…,xn),y=(y1,y2 yn)都有 ∑x1y1s以|xP)"∑|yP) i=1 证u Lx y I lxll‖ylg Idyll P 1|x;P,1|y l≤i≤n P|xl|q‖yl

返回 .. 定理 不等式 1 (H older ) 1 1 p q, 1 1 p q 若 ，且 ，  + = 1 2 1 2 ( , , , ) , ( , , , ) n T n T n C x x x x y y y y 则对 任意向量 = = 都有 1/ 1/ 1 1 1 | | | | ( | | ) ( | | ) n n n p p q q i i i i i i i x y x y = = =      证 | | | | , || || || || i i p q x y u v x y = = | || | || || || || i i p q x y x y 1 1 | | | | 1 || || || || p q i i p q p q x y i n p x q y  +  

x;‖ly; is1 l x lull y llg pllxlp isl ∑|xP+-,∑马門 q‖y 9 I=I +=1c ∑x11|C|x)∑)y 例2设x=(x1,x2…,xn)∈C",则 lxl,=C∑x1P)y1sp< 是C"上的向量范数,称为 Holder范数

返回 1 1 1 1 | | | | || || || || n n p q p q i i p q i i x y p x q y = =  +   1 | || | || || || || n i i i p q x y = x y  1 1 1 p q = + =1/ 1/ 1 1 1 | | | | ( | | ) ( | | ) n n n p p q q i i i i i i i x y x y = = =      例 2 1 / 1 || || ( | | ) 1 n p p p i i x x p = =     1 2 ( , , , ) n n 设 ，则 x x x x C =  Holder . .. 是C n上的向量范数，称为 范数

证 ∑(x1|+1P1D ∑x1x1|+1yD21+21x1|+1y1D21 ≤C|xP)"(x|+1y1Dy +C∑P)"z0x|+1y1D)y i=1 i=1

返回 证 1 1 1 1 1 (| | | |) | | (| | | |) | | (| | | |) n p i i i n n p p i i i i i i i i x y x x y y x y = − − = = + = + + +    1/ ( 1) 1/ 1 1 ( | | ) [ (| | | |) ] n n p p p q q i i i i i x x y − = =  +   1/ ( 1) 1/ 1 1 ( | | ) [ (| | | |) ] n n p p p q q i i i i i y x y − = = + +  

∑| ∑|yP)" ∑x1 +|p,p-1)qy1q(p-1)q=p ∑qx|+1y1D}=∑|)+(∑ P i=1 ∑(x+y2DP]≤∑(x1+1y1DPy x+yll≤‖ x‖ P

返回 1/ 1/ 1 1 [( | | ) ( | | ) ] n n p p p p i i i y y = = = +  ( 1) 1/ 1 [ (| | | |) ] n p q q i i i x y − =  +  1/ 1/ 1/ 1 1 1 [ (| | | |) ] [( | | ) ( | | ) ] n n n p p p p p p i i i i i i i x y y y = = =    + = + ( p −1)q = p p n i p i i p n i p i i x y x y 1/ 1 1/ 1 [(| |) ] [(| | | |) ] = = +  + || || || || || || p p p x y x y +  +