《矩阵理论—知识点详解》第六章 广义逆矩阵（6.3）自反广义逆矩阵

3自反广义逆矩阵 定义1设A∈Cm,如果有G∈CMm,使得 AGA=A GAG=G 同时成立则称G为4的自反广义逆矩阵 例1设A=(a1,a2,…,axn)∈Cm,且 0j≠i 则A为的自反广义逆矩阵

返回 3 自反广义逆矩阵 定义1 同时成立,则称G为A的自反广义逆矩阵. 设 AC mn ,如果有GC nm ,使 得 AGA= A, GAG = G 例 1 1 2 ( , , , ) m r A C   r  设 ，且 =  H ( , 1,2, , ) i j r =  i j = 1 0 j i j i =  . H 则 为 的自反广义逆矩阵 A A

例2A=dig(1,a2,…,an) 则G=dig(a1,a2,…,an)是的自反广义逆, 2×0 其中1001=0 定理1任何矩阵都有自反广妫矩阵 证(1)A=0,则41=0一结论成立

返回 定理1 任何矩阵都有自反广义逆矩阵. 证 (1) 0 0 1 = = − A ，则Ar 结论成立 1 2 ( , , , ) G diag a a a A n − − − 则 是 的自反广义逆, = 1 2 ( , , , ) 例 2 A diag a a a = n 1 0 0 0 i i i i a a a a − −     =  其中 =

(2)A≠0→rk(4)=r>0→ 00 E X G=o Y X

返回 rank(A) = r  0 Q E A P r       = 0 0 0 (2) A  0 −1 −1       = P Y YX E X G Q r

定义2A{1,2}={4的所有自反广义逆矩哟集合 定理2设X,Y∈Cmm均为A∈Cm的广义逆 矩阵则 ZE XAY 是4的自反广义逆矩阵 证:X,Y均为4的广义逆矩阵→AXA=A AYA=A) AZA=AXAYA=AYA=A ZAZ= XAYAXAY= XAXAY= XAY=Z

返回 定义2 A{1,2} = {A的所有自反广义逆矩阵的集合}. 定理2 设X,Y C nm 均 为AC mn 的广义逆 是A的自反广义逆矩阵. 矩阵,则 Z = XAY 证: X,Y均为A的广义逆矩阵 AXA = A AYA= A AZA= AXAYA= AYA= A ZAZ= XAYAXAY = XAXAY= XAY= Z

定理3A∈Cm,A是4的广义逆矩阵则4是 A的自反广义逆矩阵的要条件是 rank (a)=rank(a) 证:必要性:A是的自反广义逆矩阵一 AA A=A AAA=A rank(A)=rank(AA A)s rank(a) =rnk(AAA)≤rnk(4)→ rank(a)=rank(A)

返回 证:必要性：A − 是A的自反广义逆矩阵 − − − − AA A = A A AA = A rank(A) rank(AA A) − = ( ) −  rank A 定理3 A的自反广义逆矩阵的充要条件是 ( ) ( ) − rank A = rank A AC mn , A − 是A的广义逆矩阵,则A − 是 ( ) − − = rank A AA  rank(A) ( ) ( ) − rank A = rank A

充分性AA=A,且runk(4)=rmk(4 →rnk(4)=mnk(AA)≤rnk(A ≤rnk(A)=rnk(4)一 rank(A" A)=rank(A)R(AA)CR(A ) R(AA=R(A 存在X∈Cmm A=AAX→A=AAA= AAAX A =AXA→X为4的广义逆矩阵

返回 ( ) ( ) − − 充分性：AA A = A， 且rank A = rank A rank(A) rank(AA A) − = rank(A A) −  ( ) −  rank A = rank(A) ( ) ( ) − − R A A  R A n m X C  存在  ( ) ( ) − − rank A A = rank A ( ) ( ) − − R A A = R A A A AX − − = A AA A − = AA AX A − = = AX A X为A的广义逆矩阵

定理4设A∈Cm,X∈C1Nm,则下列任意两个 等式成立都可推得第三个等式成立 1)rank(A)=rank(X); (2)AXA=A (3)XAX=X

返回 定理 4 m n n m A C X C   设 ， ，则下列任意两个   等式成立都可推得第三个等式成立. (1) ( ) ( ); rank A rank X = (2) AXA A = (3) XAX X =

证(1)2(2)→(3):(2)AMA=A→X=A (1)rmnk(A)=rnk(X)X是的自反广义逆矩阵 XAX=X 定理5设A∈Cm则 X=(44),Y=A(AA) 都是4的自反广义逆矩阵 证A∈Cm→R(A4)=R(414)彐D∈Cmxm

返回 证 (1),(2)  (3): (2) AXA A = X A  = − (1) ( ) ( ) rank A rank X = X A 是 的自反广义逆矩阵 XAX X = ( ) , ( ) H H H H X A A A Y A AA − − = = 定理 5 m n A C  设 ，则  都是 的自反广义逆矩阵 A . 证 ( ) ( ) H H  R A R A A = m n A C   n m D C   

H =AhAD→A=D H 4H AXA=A(AA)AA=D A A(A A)A A DAA=A→X是的广义逆矩阵 rank(x)=rank(A A)A rank(AH HA=( HA(A A)AA=AAXA→ rank(X)srank(A =rank(AA)=rank(A AXA) ≤Pk(X)→ran(A)=runk(X)=runk(A H X是4自反广义逆矩阵

返回 H H A A AD = ( ) H H AXA A A A A A − = H H   A D A A = ( ) H H H H D A A A A A A − = H H = = D A A A  X A 是 的广义逆矩阵 ( ) [( ) ] H H rank X rank A A A− = ( ) H  rank A ( ) H H H H A A A A A A A A − = ( ) ( ) H rank X rank A  ( ) H = rank A A ( ) H = rank A AXA  rank X( ) ( ) ( ) ( ) H rank A rank X rank A = = H = A AXA X A 是 的自反广义逆矩阵

定理6A4和414都是幂等矩阵 证(A4)2=Ar44=A41 AA是幂等矩阵

返回 定理 6 1 1 . AA A A r r − − 和 都是幂等矩阵 证 1 2 1 1 ( ) AA AA AA r r r − − − = 1 AAr − =  1 . AAr − 是幂等矩阵