《矩阵理论—知识点详解》第五章 矩阵分析（5.3）矩阵的微分和积分

5.3矩阵的微分和积分 §1.函数矩阵的微分积分 定义1.矩阵A=(an(O)mn称为函数矩阵如果 an()是以变量的函数 定义2.如果an(t)在t∈[a,b上连续,可微,可积则称 矩阵A=(an(t)在a,b上连续,可微,可积 规定: A"()=(an'(t) nxn ∫4()d=Ja1)m) →

5.3 矩阵的微分和积分 §1.函数矩阵的微分积分 1. ( ( )) ( ) ij m n ij A a t a t t =  定义 矩阵 称为函数矩阵,如果 是以变量 的函数. . ( ) [ , ] , , , ( ( )) [ , ] , , ij ij m n a t t a b A a t a b   = 定义2 如果 在 上连续 可微 可积 则称 矩阵 在 上连续 可微 可积. '( ) ( '( )) ( ) ( ( ) ) ij m n b b ij a a A t a t A t dt a t dt =  =   规定:

例:求函数矩阵 t sint 4 的导数 cost e Int a 1 cost 0 2t 解 (t) -sint e alna →

2 : sin 4 ( ) . cos ln t t t t t A t t e t a   =     例 求函数矩阵 的导数 1 cos 0 2 : ( ) 1 sin ln t t t t d A t dt t e a a t     =   −   解

性质:设4(t),B(t)∈Cm"是两个可微函数,则 (1)(4(t)+B(t))=A(t)+B(t) dt dt (2)(4(O)B()=4()B(O)+A()B(O (3)a(a)0()=a()4()+a()t4(o) →

( ), ( ) , m n A t B t C  性质:设 是两个可微函数 则  (1) ( ( ) ( )) ( ) ( ) d d d A t B t A t B t dt dt dt + = + (2) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) d d d A t B t A t B t A t B t dt dt dt =  + (3) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) d d d a t A t a t A t a t A t dt dt dt =  +

性质2:设A∈C"是常数矩阵则 d 44=Ae4=e44 dt (2)cos(tA)=-Asin(tA)=-sin(tA)A 3) d dt sin(tA)= Acos(tA)= cos(tA)A: →

, n n A C  性质2:设 是常数矩阵 则  (1) ; d tA tA tA e Ae e A dt = = (2) cos( ) sin( ) sin( ) ; d tA A tA tA A dt = − = − (3) sin( ) cos( ) cos( ) ; d tA A tA tA A dt = =

性质3:设4(),B(1)∈CmN"在a,b上可积则 b b b (1)(A(0)+B())dt= A(t)dt+ B(t)dt b b (2)JA()dt=。A()dr; (3)∫°(4(O)B)d=∫m4o)dn,Bs b (AB(r))dt=A B(r)dt →

( ), ( ) [ , ] , m n A t B t C a b  性质3:设 在 上可积 则  (1) ( ( ) ( )) ( ) ( ) b b b a a a A t B t dt A t dt B t dt  =     (2) ( ) ( ) ; b b a a   A t dt A t dt =   (3) ( ( ) ) ( ) ; ( ( )) ( ) . b b a a b b a a A t B dt A t dt B AB t dt A B t dt =  =    

二数量函数对矩阵变量的导数 定义:设X=(x)∈Cm",f(X)是以X为 自变量的mn元函数且都存在则 ∫对X的导数为 a df ax11 dX a dml →

二 数量函数对矩阵变量的导数 . : ( ) , ( ) , m n ij ij X x C f X X f m n x f X  =    定义 设 是以 为 自变量的 元函数,且 都存在 则 对 的导数为 11 1 1 . n m mn f f x x df dX f f x x           =            

例2设x=(x1;…,xn),f(x)=x2x,求可,4 dxdx 解:f(x)=xx=∑x2, i=1 of=2x;,i=1,2,…,n df =2x dx =2(x1,x2y…,Xn), d!厂 =2x=2(x1,x2,…,xn) d →

2. ( , , ) , ( ) , , . 1 T T n T df df x x x f x x x dx dx 例 设 求 = = 2 1 : ( ) , n T i i f x x x x = 解 = =  2 , 1,2, , . i i f x i n x  = =  1 2 1 2 2 2( , , , ) , 2 2( , , , ). T n T T n df x x x x dx df x x x x dx = = = =

例3设4=(an)m为常数矩阵,f(X)=t(AX,求女 dX 解:f(X)=(AX)=∑∑anxn 三j 9 j j af =A4 dX a nxn A=的 =()=I dX ax →

3. ( ) , ( ) ( ), . ij n n df A a f X tr AX dX 例 设 为常数矩阵 求 = =  1 1 : ( ) ( ) n n ij ji i j f X tr AX a x = = 解 = =   , ji ji f a x  =  ( ) ( ) . T ji n n ij df f a A dX x   = = =  , ij ij f a x  =  A I = ( ) . ij df f I dX x  = = 

三矩阵值函数对矩阵变量的导数 def:设X=(x)∈Cm",f;(X)是mm元函数 i=1,…·,r5J =1,…,S;F(X)=(f;(X))∈C 则F(X)对矩阵X的导数为 F OF 11 ax dF In 其中 of dX Is OF OF OF 1 af a

三 矩阵值函数对矩阵变量的导数 . ( ) , ( ) 1, , ; 1, , ; ( ) ( ( )) m n st ij r s ij def X x C f X mn i r j s F X f X C   =  = = =  :设 是 元函数 11 1 1 ( ) , n m mn F X X F F x x dF dX F F x x           =             则 对矩阵 的导数为 11 1 1 , s ij ij ij r rs ij ij f f x x F x f f x x            =                其中

例:设x=(x1,…,xn)是向量变量,求 T dxdx ax 01 0 解 d ax 00 axu 10 01 ax 00

1 : ( , , ) , , ? T n T T x x x dx dx dx dx 例 设 是向量变量 求 = 1 1 0 0 0 1 0 : 0 0 1 T T T n x x dx dx x x             = =                     解 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 T n dx x x dx x x         = =              