湖南大学：《复变函数与积分变换》第一章 复数与复变函数（王文祥）

第节复数 第二节复数的三角形式 第三节复平面上的点集 第四节无穷大与复球面 第五节复变函数

第一节 复数 第四节 无穷大与复球面 第二节 复数的三角形式 第五节 复变函数 第三节 复平面上的点集

一、复数的概念 Q二、复数的四则运算 Q三、复平面 Q小结与思考 BACK

一、复数的概念 二、复数的四则运算 三、复平面 小结与思考

、复数的概念 1.虚数单位 实例:方程x2=-1在实数集中无解 为了解方程的需要引入一个新数,称为虚数 单位 对虚数单位的规定 1: (2)i可以与实数在一起按同样的法则进行四则运算

一、复数的概念 1. 虚数单位: . , , 单 位 为了解方程的需要引入一个新数i 称为虚数 : 1 . 实例 方程 x 2 = − 在实数集中无解 对虚数单位的规定: (1) 1; 2 i = − (2) i 可以与实数在一起按同 样的法则进行四则运算

i:虚数单位 2.复数的代数形式的定义 对于x,y∈R,称z=x+y减或z=x+i为复数 实部(Rea) 虚部( Imaginal 记做:Rez=x 记做:Im=y 当x=0,y≠0时,乙=i称为纯虚数 当y=0时,z=x+0=x为实数 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复 数称为共轭复数.记作z 即若z=x+j,则z=x

2. 复数的代数形式的定义: 对于 x, yR,称z = x + yi或z = x + i y为复数. 当 x = 0, y  0时, z = iy 称为纯虚数; 当y = 0时, z = x + 0i = x为实数. i:虚数单位 虚部(Imaginary) 记做：Imz=y 实部（Real） 记做：Rez=x 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复 数称为共轭复数. 即 若z = x + i y, 则z = x − i y. 记作 z

两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别 相等.即 设z1=x1+仍 152 x、十 29 x1=22分x1=x2,V1=y2 特别地,复数z等于0当且仅当它的实部和 虚部同时等于0 说明两个数如果都是实数可以比较它们的大 小,如果不全是实数,就不能比较大小,即 复数不能比较大小!!

两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别 相等. 特别地，复数 z 等于0当且仅当它的实部和 虚部同时等于0. 说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的大 小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 即 复数不能比较大小!!! , . 1 2 1 2 1 2 z = z  x = x y = y , , 1 1 1 2 2 2 设z = x + iy z = x + iy 即 则

二、复数的四则运算 设两复数孔1=x1+1,z2=x2+2, 1.两复数的和差:1±2=(x1土x2)+i(y1土y2) 2两复数的积:zz=(x1x2-n2)+i(x2y1+x1y2 3.两复数的商:=x+2+x 2 x,十 x2+y2 复数的减法运算是加法运算的逆运算 >复数的除法运算是乘法运算的逆运算 >复数的四则运算与实数的四则运算保持一致

二、复数的四则运算 , , 1 1 1 2 2 2 设两复数 z = x + iy z = x + iy 1. 两复数的和差: ( ) ( ). 1 2 1 2 1 2 z  z = x  x + i y  y 2. 两复数的积: ( ) ( ). 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 z z = x x − y y + i x y + x y 3. 两复数的商: . 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 x y x y x y i x y x x y y z z + − + + + = ➢ 复数的减法运算是加法运算的逆运算 ➢ 复数的除法运算是乘法运算的逆运算 ➢ 复数的四则运算与实数的四则运算保持一致

共轭复数的性质: (1)z±a2=1土2;不1·z2=1·z2 (2)z=z; (3)Z.=(Rez)+(Imz) (4)2+Z=2Rez, z-z=2ilmz

共轭复数的性质: (1) ; 1 2 1 2 z  z = z  z ; 1 2 1 2 z z = z z ; 2 1 2 1 z z z z  =      (2) z = z; (3) (Re ) (Im ) ; 2 2 z z = z + z (4) z + z = 2Rez, z − z = 2iImz

复平面 复数z=x+l与有序实数对x,y)成一一对应 因此一个建立了直角坐标豹平面可以用来表示 复数,通常把横轴叫实轴或轴,纵轴(除原点外) 叫虚轴或轴这种用来表示复数的骊叫复平面 复数的向量表示法 复数z=x+j可以用复平 面上的点(x,y)表示 z=rtly z=(,y) 复数乙=x+i可以用复平 面上的点向量az表示

三、复平面 . . , , , ( , ) . 叫虚轴或 轴 这种用来表示复数的平面叫复平面 复 数 通常把横轴叫实轴或 轴 纵轴（除原点外） 因 此 一个建立了直角坐标系的平面可以用来表示 复 数 与有序实数对 成一一对 应 y x z = x + iy x y 面上的点( , )表示. 复数 可以用复平 x y z = x + iy z = (x, y) x y x y o z = x + iy 面上的点 表 示. 复 数 可以用复平 oz z x i y 向量 = + 复数的向量表示法

对共轭复数z和z在复平面 rZ=xtly 内的位置是关于实轴对称的 Z=x-ly 两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法 运算一致 z1+ 2 1

x y o 1 z 2 z 1 2 z + z x y o 1 z 2 z 1 2 z − z 2 − z 两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法 运算一致. 内的位置是关于实轴对称 的. 一对共轭复数z 和 z 在复平面 x y o  z = x + iy  z = x − iy

小结与思考 本课学习了复数的有关概念、性质及其运 算.重点掌握复数的运算,它是本节课的重点 思考题 复数为什么不能比较大小?

小结与思考 本课学习了复数的有关概念、性质及其运 算. 重点掌握复数的运算, 它是本节课的重点. 思考题 复数为什么不能比较大小？