同济大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第一章 行列式（1.6）行列式按行（列）展开

行列式 第六节行列式按行(列)展开 、余子式与代数余子式 三、行列式按行(列)展开法则 三、小结思考题

生一、余子式与代数余子式 例如 1a12a13 =a1222+12221+ 53 342132 21 22 3 142332-124213-413f223 31 32 33 = 11(223~a 2332 )+a12(a2a31-a24a3) +a13(a21a2-a2a1) 22 23 21 23 21 23 12 a 13 32 33 31 33 31 33 王页下贡

1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 1 3 2 2 3 1, 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 a a a a a a a a a a a a a a a a a a − − − = + + 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 例如 ( ) = a11 a22a33 − a23a32 ( ) + a12 a23a31 − a21a33 ( ) + a13 a21a32 − a22a31 3 1 3 3 2 1 2 3 1 3 3 1 3 3 2 1 2 3 1 2 3 2 3 3 2 2 2 3 1 1 a a a a a a a a a a a a a a = a − + 一、余子式与代数余子式

在n阶行列式中,把元素an所在的第i行和第j 列划去后,留下来的n-1阶行列式叫做元素n 的余子式,记作Mn 记4=(-1)+Mn,叫做元素an的代数余子式 例如a1a 12 13 14 1 11 12 14 D 21 M 23 31 32 34 31 32 34 42 44 43 42=(-1)2 2+3 M 23=-M 23° 上页

在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作 n aij i j n −1 aij M . ij 记 ( ) ij， i j Aij M + = − 1 叫做元素 aij 的代数余子式． 例如 41 42 43 44 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a a a a a D = 41 42 44 31 32 34 11 12 14 23 a a a a a a a a a M = ( ) 23 2 3 A23 1 M + = − . = −M23

f1…2…113…4 2122 2123 24 D= 23 24 33 345 31 ,Mn2=31a 32 33 34 41 41…2…143…4 44 A2=(n)2Mn=-M1 12 11 12 3 44 21 22235 A4=(-1)+M4=M4 144° 131 2 33 行列式的每个元素分别对应着一个余子式和 个代数余子式 上页

, 41 42 43 44 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a a a a a D = , 41 43 44 31 33 34 21 23 24 12 a a a a a a a a a M = ( ) 12 1 2 A12 1 M + = − . = −M12 , 31 32 33 21 22 23 11 12 13 44 a a a a a a a a a M = ( 1) . 44 44 4 4 A44 = − M = M + 个代数余子式. 行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一

引理 个n阶行列式,如果其中第i行所有 元素除4外都为零,那末这行列式等于n与它的 代数余子式的乘积,即D=a4 11 12 u131 3 4 例如D=a212a23a24 00 33 0 41a42a43 44 12 14 3+3 3321a 22a 24 41 42 44 上页

引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有 元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的 代数余子式的乘积，即 D = aijA．ij n i ij a ij a 41 42 43 44 33 21 22 23 24 11 12 13 14 0 0 0 a a a a a a a a a a a a a D = ( 1) . 41 42 44 21 22 24 11 12 14 33 3 3 a a a a a a a a a a + = − 例如

证当位于第一行第一列时, 0 0 D 21 22 nI an2 n 即有D=a1M 又41=(pM1=Mn 从而D=a141 在证一般情形,此时 上页

证 当 ij 位于第一行第一列时, a n n nn n a a a a a a a D       1 2 21 22 2 11 0 0 = 即有 . D = a11M11 又 ( ) 11 1 1 A11 1 M + = − , = M11 从而 . D = a11A11 在证一般情形, 此时

11 In D=0 0 把D的第依次与第-1行,第i-2行,第行对调, 0 0 得D=(-1)n1 1-1,n 1 nn 上页

n nj nn ij j n a a a a a a a D             1 11 1 1 = 0 0 把D的第i行依次与第i −1行,第i − 2行,第1行对调, 得 ( ) n nj nn i i j i n ij i a a a a a a a D             1 1,1 1, 1, 1 0 0 1 − − − − = − ij a ij a

再把D的第列依次与第-1列,第j-2列,第1列 对调,得 0 0 D= 1)·(-1) n n,j-1 上页

, 1 , 2 , 1 对调 再把D的第j列依次与第j − 列 第j − 列 第 列 得 ( ) ( ) nj n j nn i j i j i n ij i j a a a a a a a D             , 1 1, 1, 1 1, 1 1 0 0 1 1 − − − − − − − = −  − ij a

0 0 1) 十 …I-/Im∵ n 0 0 1) i-1,j-1 n n n 上

( ) nj n j nn i j i j i n ij i j a a a a a a a             , 1 1, 1, 1 1, 2 0 0 1 − − − − − + − = − ( ) nj n j nn i j i j i n ij i j a a a a a a a             , 1 1, 1, 1 1, 0 0 1 − − − − − + = − ij a ij a

0 0 元素an在行列式 11…a1Lm中的 j-1 余子式仍然是a1在 n D=0 …0中的余子式M n 上页

n nj nn ij j n a a a a a a a D             1 11 1 1 = 0 0 中的余子式 . Mij 余子式仍然是 在 元素 在行列式 中的 ij nj n j nn i j i j i n ij ij a a a a a a a a a             , 1 1, 1, 1 1, 0 0 − − − − − ij a ij a