湖南大学：《复变函数与积分变换》第五章 留数及其应用（王文祥）

复变函数与积分变换 第五章 留数及其应用

复变函数与积分变换

§51孤立奇点 Q一、孤立奇点的概念 Q二、函数的零点与极点的关系 Q三、函数在无穷远点的性态

§5.1 孤立奇点 一、孤立奇点的概念 二、函数的零点与极点的关系 三、函数在无穷远点的性态

、孤立奇点的概念 定义如果函数f(z)在不解析,但f(z)在 的某去心邻域0<z-zk<6内处处解析,则称 z.f(z)的孤立奇点 例1z=0是函数e,x的孤立奇点 z=-1是函数 z+1 的孤立奇点 注意:孤立奇点一定是奇点,但奇点不一定是孤 立奇点

一、孤立奇点的概念 如果函数 f (z)在z0 不解析， 例1 z = 0 是函数 z z e z sin , 1 的孤立奇点. z = −1 是函数 1 1 z + 的孤立奇点. 注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤 立奇点. 定义 的某去心邻域0  z − z0   内处处解析， 0 但 f (z)在 z z0 为 f (z)的孤立奇点． 则称

2 例2指出函数f(x)=1在点z=0的奇点特性 SIn 解函数的奇点为 z=0,z 纭(k=土1,土2,…) k1 因为lim=0, 即在z=0的不论怎样小的去心邻域内,总有f(z) 的奇点存在,所以z=0不是孤立奇点

例2 指出函数 在点 z = 0 z z f z 1 sin ( ) 2 = 的奇点特性. 解  = = k z z 1 0, (k = 1, 2, ) 因为 0， 1 lim = k→ k 即在 z = 0 的不论怎样小的去心邻域内, 的奇点存在, 函数的奇点为 总有 f (z) 所以 z = 0 不是孤立奇点

孤立奇点的分类 依据∫(x)在其孤立奇点0的某去心邻域内的 洛朗级数的情况可将孤立奇点分为三类: 1.可去奇点;2.极点;3.本性奇点 可去奇点 1)定义如果洛朗级数中不含x-的负幂项, 那么孤立奇点称为∫(z)的可去奇点

孤立奇点的分类 依据 f (z) 在其孤立奇点 0 z 的某去心邻域内的 洛朗级数的情况可将孤立奇点分为三类: 1．可去奇点 1．可去奇点; 2．极点; 3．本性奇点. 如果洛朗级数中不含 z − z0 的负幂项, 0 那么孤立奇点 z 称为 f (z) 的可去奇点. 1) 定义

说明:(1)z若是f(x孤立奇点 f(z)=c+c1(z-xo)+…+cn(z-z0)"+ (0<z-z0<8) 其和函数F(z)为在如解析的函数 (2)无论∫(z)在是否有定义,补充定义 f(x)=c,则函数∫(xz)在如解析 f(z0)=limf()f()=F(a),2#Zo 09 0

其和函数 F(z) 为在 0 z 解析的函数.    =  = 0 0 0 , ( ), ( ) c z z F z z z f z 说明: (1) ( ) , z0若是f z 的孤立奇点 ( ) ( ) ( ) . f z = c0 + c1 z − z0 ++ cn z − z0 n + ( 0 ) 0  z − z   ( ) lim ( ) 0 0 f z f z z→z = ( ) , 0 0 f z = c (2) 无论 在 是否有定义, f (z) 0 z 补充定义 则函数 在 0 f (z) z 解析

2)可去奇点的判定 定理若乙是f(z)的孤立奇点则以下三个条件等价: (1)f(z)在点的洛朗级数无负幂项 (2)limf(z)=c(≠0),c0为复常数; z→z (3)f(z)在乙n的某去心邻域内有界 证(1)→(2) 由(1),f(z)=cn+c(z-zn)+…(00 (2)→(3)根据函数极限的性质,是显然的

2) 可去奇点的判定 (1) ( ) f z 在z0点的洛朗级数无负幂项； (2) lim ( ) 0 ( ), 0 为复常数； 0 f z c c z z =   → (3) ( ) f z 在z0的某去心邻域内有界． 定理 ( ) , 若z0是f z 的孤立奇点 则以下三个条件等价： 证 (1) (2) (1) ( ) ( ) (0 ) , 由 ，f z = c0 + c1 z − z0 +  z − z0  R lim ( ) ( ), . 0 0 0 于 是 f z c c 为复常数 z z =   → (2) (3) 根据函数极限的性质，是显然的．

(3)→() 由(3),设在的去心邻域00,得Cn=0.即()成立

(3) (1) (3), 0 , ( ) 由 设在z0的去心邻域  z − z0  内 f z  M． ( ) ( ) ( ) , 0  0 +  =−  = − n n n f z 在z 点的洛朗级数f z c z z ,( 0, 1, 2, ) ( ) ( ) 2 1 1 0 =    − =  + d n z f i cn C n     其中C为圆周：z − z 0 = r,(r   ,且r可任意小)．     d z f i cn C n+ − = 1 0 ( ) ( ) 2 1 r r M n 2 2 1 1      + n r M = (n = 0,1,2, ) 当n  0时，令r →0，得cn = 0．即(1)成立．

由定理可得可去奇点的判定方法: (1)由定义判断:如果∫(z)在x的洛朗级数无负 幂项,则列为∫(x)的可去奇点 (2)判断极限Imf(x):若极限存在且为有限值, 则0为∫(x)的可去奇点 (3)由有界性判断: n为(z可去奇点台f(z)在的一个邻域内有界

由定理可得可去奇点的判定方法： (1) 由定义判断: 如果 f (z) 在 z0 的洛朗级数无负 0 幂项，则 z 为 f (z) 的可去奇点. (2) 判断极限 lim ( ): 0 f z z→z 若极限存在且为有限值, 则 0 z 为 f (z) 的可去奇点. (3) 由有界性判断： z0为f (z)的可去奇点 f (z)在z0的一个邻域内有界．

例3 SIn z 1--z2+-z 中不含负幂项, 3!5 z=0是乙的可去奇点 如果补充定义: z=0时, SIn z 那末 SInz 在z=0解析 注:lim==1 z→0

如果补充定义: z = 0 时, 1, sin = z z 那末 z sin z 在 z = 0 解析. 例3 = − 2 + 4 − 5! 1 3! 1 1 sin z z z z 中不含负幂项, z = 0 是 z sin z 的可去奇点 . 1 sin lim 0 = → z z 注： z