《矩阵理论—知识点详解》第五章 矩阵分析（5.2）矩阵函数

2矩阵函数

2 矩阵函数

、矩阵函数的定义 定义设幂级数∑ckz收敛半径为,且当 =0 zr时幂级数收敛于(z,即 ∫(x)=∑Ckx,|zkr =0 如果A∈C满足r(4)<r,则称收敛的矩阵幂级 数∑ak4的和为矩阵函数记为(4)即 =0

定义 设幂级数  收敛半径为r,且当  k=0 k k c z f z c z z r k k =  k   = ( ) , | | 0 如 果AC nn 满 足r(A)  r,则称收敛的矩阵幂级 数 的和为矩阵函数,记 为 ( ),即 0 a A f A k k  k  = |z| r时,幂级数收敛于f (z),即 一、矩阵函数的定义

f(4)=∑k4, k=0 把f(4)的方阵换为4t,t为参数则得到 f(4t)=∑ck(An)k =0 常用的矩阵函数: ()e4=∑1∧k,A∈C n =0 ! k (2)sinA=∑ (-1) 2/+1 ∈Cxn k=0(2k+1)!

常用的矩阵函数： ( ) , 0 =   k= k f A ck A n n k A k A A C k e   = =  ,  ! 1 (1) 0 n n k k k A A C k A   = +   + − = , (2 1)! ( 1) (2) sin 0 2 1 把 f (A)的方阵A换为At, t为参数,则得到 ( ) ( ) . 0 =   k= k f At ck At

(3)cosA=∑ (-1)A2k,A ∈Cn×n k=0(2k)! k (4)(E-A)=∑A,r(4)<1 =0 k (5)m(E+A=∑ + A+H,r(A4)<1 k=0k+1 二、矩阵函数值的计算 l、利用相似对角化: 设PAP=dig(1,12,…,n)=D

(4) ( ) , ( ) 1 0 1 − =    = − E A A r A k k , ( ) 1 1 ( 1) (5) ln( ) 0 1   + − + =  = + A r A k E A k k k 二、矩阵函数值的计算 1、利用相似对角化: P AP = diag n = D − ( , , , ) 1 2 1 设     n n k k k A A C k A   =   − = , (2 )! ( 1) (3) cos 0 2

f(A)=∑k4=∑ck(PDP)P|∑cD4p1 =0 k=0 =0 ∑CkA1 k =0 =PI P ∑CkA k=0 f(n1) P ∫(n)

=   =0 ( ) k k f A ck A =   = − 0 1 ( ) k k ck PDP 1 0 −  =         = P c D P k k k 1 0 0 1 −  =  =                   = P c c P k k k n k k k    1 1 ( ) ( ) −           = P f f P n  

同理 f(At)=Diag(f(it),f(nt),,,f(nt)) 例1 设A=-3-50,求e4 3-61 解:1)det(E-4)=(+2)x-1)2 2 3

同理 ( ) ( ( ), ( ), , ( )). 1 2 f At Pdiag f t f t f t =    n 例1 , . 3 6 1 3 5 0 4 6 0 At 设 A 求e           − − = − − 解 : 2 1) det(E − A) = ( + 2)( −1) 1 = −2,2 = 3 = 1

2)对应的特征向量 A1=-2:51=(-1,1,1) a2=13=1:2=(-2,0)1,3=(0.,1)→ l-2 001

2)对应的特征向量：T 2 : ( 1,1,1) 1 = − 1 = − T T 1: ( 2,1,0) , (0,0,1) 2 = 3 =  2 = −  3 =           − − = 1 0 1 1 1 0 1 2 0 P

2t 2t 2e-2e -2t 0 nt ze t 2e lt et 0 2r-c12e--2e 2、 Jordan标准形法:

            − − − − − − = − − − − − − t t t t t t t t t t t t t e e e e e e e e e e e e e 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 1 2 − −             = P e e e e P t t t At 2、Jordan 标准形法:

设PAP=J=dig(J1,/2,…,J) f(z)=∑ak k=1 k 1k-1 12k-(m;-1) k/i ∑ak ckai-i

=   =1 ( ) k k Ji ak Ji f ( , , , ) 1 2 1 s P AP = J = diag J J  J 设 −                =  = − − − − − 1 1 1 1 1 1 ( 1) k k i k k i k i k m i m k k k i k i k C C C a i i         

f(1;)f(41) f(41) f(4;) ( (m2-2) f(1) f(A)=ΣaPP=P∑akJ k=0 =0

                  − − = − − ( ) ( ) ( 2)! 1 ( ) ( ) ( 1)! 1 ( ) 1! 1 ( ) ( 2) ' ( 1) i i m i i i m i i i f f m f f m f f i i           =   = − 0 1 ( ) k k f A ak PJ P 1 0 −  =         = P a J P k k k