《矩阵理论—知识点详解》第一章 线性代数基础（1.4）特征值与特征向量

4特征值与特征向量 特征值和特征向量的概念 定义1设ACCm,如果存在∈C和非零向 量x∈C",使 Ax=x,则λ叫做A的特征值, x叫做的属于特征值λ的特征向量

返回 4 特征值与特征向量 设 如果存在 和非零向 量 使 n n n A C , C x C ,      定义 1 Ax x, A x A    = 则 叫做 的特征值， 叫做 的属于特征值 的特征向量. 一、特征值和特征向量的概念

A所有特征值的全体,叫做的谱 记为A(A 1E-A=(元-)"…(元-,)叫做特征多项式 ∑n=n,其中,n叫做代数重数 如果rmnk(A2E-A=n-m2, m,叫做的x几何重数

返回 A A 的所有特征值的全体，叫做 的谱 记为( A ) . 1 1 r n n r | E A | ( ) ( )      − = − − =  = 1 r i i i n n , , n 其中 叫做代数重数 如果 ） i i rank( E A n m ,  − = −叫做特征多项式 mi i 叫做的 几何重数

定理1设4CC有r个不同的特征值1,2 ,,其代数重数分别为,n2…,,则必 存在可逆矩阵P∈C",使得 PAP=J=lig(J1(41)…,(4 矩阵J叫做A的Jrlm标准形

返回 定理 1 设 有 个不同的特征值 1 2 n n A C r ,     重数分别为 则必 n , n , ,n , 1 2 r 1 P AP J diag( J ( ), ,J ( )) 1 1   r r − = = 矩阵 叫做 的 标准形。 J A Jordan , , , r 其代数 存在可逆矩阵 使得 n n P C ,  

定义2设AcC,如果存在可逆矩阵 P∈C"",使得 PAP=dlig(A,2…,λ 则矩阵A叫做可对角化矩阵

返回 定义 2 设 n n A C ,   如果存在可逆矩阵 1 P AP diag( , , , )    1 2 r − = 则矩阵 叫做 A 可对角化矩阵. P C ,  n n 使得

定理2设AcC"",则下列命题等价: (1)A是可对角化矩阵; (2)Cn存在由4的特征值向量构成的一组基底。 (3)A的 Jordan标准形中的 Jordan块都是一阶的。 特征值和特征向量的几何性质 定义1设T是线性空间VC的一个线性变换,如果存在 λ∈C和非零向量ξ∈VC),使得T=,则叫做T的特 征值,ξ叫做T的属于特征值的特征向量

返回 定理 2 设 n n A C ,   则下列命题等价： (1) A ; 是可对角化矩阵 (2) C A n 存在由 的特征值向量构成的一组基底。 (3) A 的Jordan标准形中的Jordan块都是一阶的。 (4) 1 2 m n ( i , , ,r ) i i = = 二、特征值和特征向量的几何性质 设 是线性空间 的一个线性变换，如果存在 T V (C ) n 则 叫做 的特  T 特征向量。 ' 定义 1       = C V (C ), T , 和非零向量 使得 n 征值， 叫做 的属于特征值 的   T

、广义特征值问题 设 A\ BCCK,如果存在∈C和非零向量x∈C",使得 Ax=nBx(1-3) 则称为矩阵4B确定的广义特征值,x称为与对应的 广义特征向量

返回 三、广义特征值问题 设 、 如果存在 和非零向量 使得 n n n A B C , C x C ,      Ax Bx =  (1-3) 广义特征向量。 则称 为矩阵 与 确定的  A B 广义特征值，x称为与 对应的 

(1)如果B可逆时,式(1-3)可化为 BAx=x(1-4) 2)当A、B都是 Hermite矩阵,即A=A"、B=B 且B正定时,有 B=B且正定 存在可逆矩阵P 则(1-3)式化为 B=Pap Ax=见Pp记y=,则yx(P)APy=xy9=(P-)yAP1 Q=y—广义特征值λ1,…都是实数 存在标准正交基y1,…y P Vi yi yiJ,=(Px; (Px )=x; P"Px =x Bx Bx:=0

返回 (1) 如果B 可逆时，式(1-3)可化为 1 B Ax x  (1-4) − = (2) 当A、B 都是Hermite矩阵，即 A A B B = = H H 、 且 B 正定时，有 B B= H 且正定 存在可逆矩阵P H B P P = 则(1-3)式化为 H Ax P Px =  y = Px P y = x −1 记 , 则 1 1 ( ) − − Q = P AP 1 1 H ( )H P AP y y  − − = Qy y =  Q Q H = 广义特征值 都是实数 1 n   , n y , , y 存在标准正交基 1  H i j ij y y =  i Pxi y = H H H i j i j i j i j y y ( Px ) ( Px ) x P Px x Bx = = = i j ij x Bx = 

当xB=6称x,x2,…,xn为B共扼向量系 定理6设n×n矩阵A=A",B=BH,且B正定,与B共扼 向量系x,x2,…,x具有以下性质 (1)x1≠0(i=1,2,…,n); (2)x1,x2,…,x,线性无关 (3)4与x满足方程Ax1=A1Bx1; 4)若令X=(x1,x2,…,x,), X BX=E, X AX=diag(n, n,,..., An)

返回 1 2 1 2 1 2 1 2 1 0 1 2 2 3 4 设 矩阵 ，且 正定，与 共扼 向量系 具有以下性质， （ ） （ ） 线性无关 （ ） 与 满足方程 （ ）若令 H H n i n i i i i i n H H n n n A A , B B B B x , x , , x x ( i , , ,n ) ; x , x , , x ; x Ax Bx ; X ( x , x , , x ) , X BX E , X AX diag( , , , )       = =  = = = = = 定理 6 当 ，称 为 1 2 H i j ij n x Bx x , x , , x =  B . 共扼向量系

6欧氏中间和酉血间 定义1在线性空间V(R)上,Va,B,y∈V, 若映射(a,B)满足 1)(正定性)(a,a)≥0;(x,x)=0分x=0, (2)(齐次性)(ka,B)=k(a,6) (3)交换律):(a,B)=(B,a) (4)(分配律):(a+B,y)=(a,y)+(B,y) 则映射(a,B)是V(R)上的内积定义了内积的为 n维欧几里得空间,简称欧氏空间

返回 6 欧氏空间和酉空间 定义 1 V R , , V , n   ,      在线性空间 ( )上， 若映射( )满足 (1)( ) ( ) 0 ( ) 0 0 正定性  , ; x, x x ,  =  = (2)( ) ( ) ( ) 齐次性 k , k ,     = (3)( ):( )=( ) 交换律     , , (4)( ): ( ) ( ) ( ) 分配律        + = + , , , ( ) ( ) n , V R , V n 则映射 是 上的内积 定义了内积的 为   维欧几里得空间, 简称欧氏空间

例:a=(a1,…,an),月=(b1…,b,)∈R",若规定 (a,B)=∑a 则上式定义了一个内积,R"是内积空间 例2:C1a,b表示在,b所有实连续函数的全体,其构成R上的 线性空间,∨f(x,(x)∈[u,b规定 f(), g()=f(x)g(x)dx 证明:CIa,b是欧氏空间

返回 1 1 1: ( ) ( )  = =  T T n n n 例 若规定   a , ,a , b , ,b R , 1 ( ) = =  n i i i  , a bn 则上式定义了一个内积 是内积空间 ,R . 2: [ ] [ ]   C a,b a,b R f ( x ), g( x ) a,b 例 表示在 所有实连续函数的全体, 其构成 上的 线性空间, [ ]规定 ( ( ) ( )) =  b a f x , g x f ( x )g( x )dx 证明 是欧氏空间. : C a,b [ ]