同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第十章 曲线积分与曲面积分（10.5）对坐标曲面积分

第五节 第十章 对坐标的曲面积分 有向曲面及曲面元素的投影 对坐标的曲面积分的概念与性质 对坐标的曲面积分的计算法 四、两类曲面积分的联系 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第五节 一、有向曲面及曲面元素的投影 二、 对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法 四、两类曲面积分的联系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对坐标的曲面积分 第十章

有向曲面及曲面元素的投影 双侧曲面 曲面分类 曲面分内侧和 单侧曲面 外侧 莫比乌斯带 曲面分左侧和曲面分上侧和 (单侧曲面的典型) 右侧 下侧 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、有向曲面及曲面元素的投影 • 曲面分类 双侧曲面 单侧曲面 莫比乌斯带 曲面分上侧和 下侧 曲面分内侧和 外侧 曲面分左侧和 (单侧曲面的典型) 右侧 机动 目录 上页 下页 返回 结束

指定了侧的曲面叫有向曲面,其方向用法向量指向 表示 方向余弦|cosa COS B|cosy|封闭曲面 侧的规公/>0为前侧|>0为右侧>0为上侧外侧 0时 (△S)xy=1-(△0)xy,当cy时 类似可规定 0 当c0y=0的(△S)=,(S) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

其方向用法向量指向 方向余弦 cos cos  cos  > 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 < 0 为下侧 外侧 内侧 • 设  为有向曲面, ( ) , S xy S (S) xy = 侧的规定 • 指定了侧的曲面叫有向曲面, 表示 : 其面元 在 xoy 面上的投影记为 的面积为 则规定 ( ) ,  xy ( ) , −  xy 0 , 当cos  0时 当cos  0时 当cos  0时 类似可规定 S yz S zx ( ) , ( ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、对坐标的曲面积分的概念与性质 1.引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场为 v=(P(x,v,),2(x,y, z),R(x,y, z)) 求单位时间流过有向曲面∑的流量Φ 分析:若∑是面积为S的平面 法向量:n=(cosa,cosB,cosy) 流速为常向量: 则流量 Φ=S·v(cos S HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、 对坐标的曲面积分的概念与性质 1. 引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为 求单位时间流过有向曲面  的流量 . S  分析: 若  是面积为S 的平面, 则流量 法向量: 流速为常向量: n v 机动 目录 上页 下页 返回 结束

对一般的有向曲面∑,对稳定流动的不可压缩流体的 速度场ν=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 用“大化小,常代变,近似和,取极限” 进行分析可得Φ=im2n2n;AS 设n=( coSC1,cosB12Cos),则 a=lim >lP(Si, i, Si)cos a; +o(si, ni, 5i)cos B, +R(si, ni, Si)coS y as P(5,m,)△S)2+(5,,)AS)x +R(,m,9)△S)x] HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

 对一般的有向曲面 , 用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”  = n i 1 0 lim →  = 0 lim → =   = n i 1  P i i  i i ( , , )cos R i i i i + ( , , )cos 0 lim → =   = n i 1 Q i i  i i + ( , , )cos Si 对稳定流动的不可压缩流体的 速度场 进行分析可得 ni i v i ni Si v   (cos , cos , cos ) ni i i i 设 =     , 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2定义.设∑为光滑的有向曲面,在∑上定义了一个 向量场A=(P(x,y,z),Q(x,y,z,R(x,y,z),若对Σ的任 意分割和在局部面元上任意取点,下列极限都存在 im∑P(51,n,s)AS)y2 +,h,)AS)=x+R(5125AS)xy] 则称此极限为向量场A在有向曲面上对坐标的曲面积 分,或第二类曲面积分.记作 ∫ Prydz+addx+ Rdx dy d PQ,R叫做被积函数;Σ叫做积分曲面 R HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

设  为光滑的有向曲面, 在  上定义了一个 意分割和在局部面元上任意取点,  = n i 1 Q i i i Si zx + ( , , )( ) 分,  Pdy d z + Qd z d x + Rdxdy 记作 P, Q, R 叫做被积函数;  叫做积分曲面. 或第二类曲面积分. 下列极限都存在 向量场 A = (P(x, y,z), Q(x, y,z), R(x, y,z)), 若对 的任 则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积 2. 定义. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

Pdyd称为P在有向曲面上对y的曲面积分 ! oded称为Q在有向曲面∑上对=x的曲面积分; ∫ Rdxdy称为R在有向曲面∑上对xy的曲面积分 引例中,流过有向曲面∑的流体的流量为 4= Pdydz+odzdx+rdx dy 若记∑正侧的单位法向量为n=(cosa,cosB,cosy) 7 ds=nds=(d ydz, dzdx, dxd y) A=(P(x,y,=),Q(x,y,z),R(x,y,z)) 则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

引例中, 流过有向曲面  的流体的流量为  Pd y d z 称为Q 在有向曲面上对 z, x 的曲面积分;  Rd xd y 称为R 在有向曲面上对 x, y 的曲面积分. 称为P 在有向曲面上对 y, z 的曲面积分;   = Pdy d z + Qd z d x + Rdxdy 若记  正侧的单位法向量为 令 n = (cos , cos  , cos ) d S = nd S = (d yd z, d zd x, d xd y) A = (P(x, y,z),Q(x, y,z),R(x, y,z)) 则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

Pdydz+odzdx+rdxdy =LAndS=LAdS 3性质 (1)若∑=∪∑;且∑;之间无公共内点则 IddS=>』,AdS (2)用Σ表示Σ的反向曲面,则 A·dS HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

3. 性质 (1) 若 之间无公共内点, 则 (2) 用 ˉ 表示  的反向曲面, 则  Ad S   i A d S  Pd y d z + Qd z d x + Rd xd y  = A nd S  = Ad S 机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、对坐标的曲面积分的计算法 定理:设光滑曲面Σ:z=2(x,y),(x,y)∈D3y取上侧 R(x,y,z)是∑上的连续函数则 RO x,y,dxd R(,y,(x,y))dxd D y 证:R(x,y,2)dxdy=im∑R(51,2)(AS)y ∑取上侧,(AS)y=(A)xy ;=z(5,nh) im∑R(5,mn,2(5,n)(△G) In R(x,y, z(x, y))dxd y D HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

三、对坐标的曲面积分的计算法 定理: 设光滑曲面 取上侧, 是  上的连续函数, 则  R(x, y,z)d xd y ( , , )  = D x y R x y z(x, y) d xd y 证: 0 lim → =   = n i 1 i xy (S ) i xy ∵ 取上侧 = ( ) , ( , ) i i i  = z   0 lim → =   = n i 1 ( , , ) R i i i xy ( ) R x y z x,y x y Dxy ( , , ( ))d d  =  R(x, y,z)d xd y 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明:如果积分曲面Σ取下侧,则 JR(, , 2)dxdy=- R(x, y,2(x, y)dxd 若Σ:x=x(y,z),(y,2)∈Dyz,则有 P(x, 3, a)dyds=D P(x(,2),2,2)dydz (前正后负) 若∑:y=y(z,x),(z,x)∈D2x,则有 ,O(x, y, 2)dzdx=+ o(x, y(,x),z )dzdx (右正左负) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

• 若 则有  P(x, y,z)d ydz P( , y,z) Dyz  =  x(y,z) d y d z • 若 则有  Q(x, y,z)d z d x ( , , z )  =  Dzx Q x y(z, x) d z d x (前正后负) (右正左负) 说明: 如果积分曲面  取下侧, 则  R(x, y,z)d xd y ( , , )  = − Dxy R x y z(x, y) d xd y 机动 目录 上页 下页 返回 结束