同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第十二章 微分方程（12.7）高阶线性

第七节 第十二章 高阶线性微分方程解的结构 二阶线性微分方程举例 二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构 A四、常数变易法 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

机动 目录 上页 下页 返回 结束 高阶线性微分方程解的结构 第七节 二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构 *四、常数变易法 一、二阶线性微分方程举例 第十二章

二阶线性微分方程举例 例1质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态若用手向 下拉物体使它离开平衡位置后放开,物体在弹性力与阻 力作用下作往复运动,阻力的大小与运动速度 成正比,方向相反.建立位移满足的微分方程. 解:取平衡时物体的位置为坐标原点, 建立坐标系如图设时刻t物位移为x() O 1)自由振动情况.物体所受的力有 x 弹性恢复力f=-cx(虎克定律) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 力作用下作往复运动, x x o 解: 阻力的大小与运动速度 下拉物体使它离开平衡位置后放开, 若用手向 物体在弹性力与阻 取平衡时物体的位置为坐标原点, 建立坐标系如图. 设时刻 t 物位移为 x(t). (1) 自由振动情况. 弹性恢复力 物体所受的力有: (虎克定律) 成正比, 方向相反. 建立位移满足的微分方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

du 阻力R=-/dt 据牛顿第二定律得m dr2-cx-/ up d dt 令2n=,k2=C,则得有阻尼自由振动方程 d +2n--+k2x=0 d t d t (2)强迫振动情况若物体在运动过程中还受铅直外力 F= H sin pt作用,令h=,则得强迫振动方程 d +2n+kx=hsin pt d d t HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

据牛顿第二定律得 , 2 m c 2 , k = m n  令 = 则得有阻尼自由振动方程: 0 d d 2 d d 2 2 2 + + k x = t x n t x 阻力 (2) 强迫振动情况. 若物体在运动过程中还受铅直外力 F = H sin pt 作用，令 ， m h H = 则得强迫振动方程: k x h pt t x n t x sin d d 2 d d 2 2 2 + + = 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.设有一个电阻R,自感L电容C和电源E串 联组成的电路,其中R,L,C为常数,E= E. sino, 求电容器两两极板间电压l所满足的微分方程 提示:设电路中电流为(O),极板 R 上的电量为q(0),自感电动势为E1,CL 由电学知 E g Er di +f=qK dt dt 根据回路电压定律: 在闭合回路中,所有支路上的电压降为0 d E-L Ri=o d t HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

求电容器两两极板间电压 0 d d − − − Ri = C q t i E L 例2. 联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 , 所满足的微分方程 . uc 提示: 设电路中电流为 i(t), ∼~ ‖ L E R K C + q − q 上的电量为 q(t) , 自感电动势为 , i EL 由电学知 根据回路电压定律: 设有一个电阻 R , 自感L ,电容 C 和电源 E 串 极板 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0

化为关于u的方程注意 du C,故有 d t LC d uc+RC-C+uc=e snot d d t R 令B= R 2100S E 串联电路的振荡方程 K d=u E d22+2B duc too uC LO m sin o t d t 如果电容器充电后撤去电源(E=0),则得 0+2B d +Oo 1 0 dt HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

L LC R 1 , 2 令  = 0 = t LC E u t u t u m C C C   sin d d 2 d d 2 2 0 2 + + = 串联电路的振荡方程: 如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得 0 d d 2 d d 2 2 0 2 + + C = C C u t u t u   ~ ‖ L E R K C + q − q i 2 2 d d t u LC C t u RC C d d + + uC E t = m sin 机动 目录 上页 下页 返回 结束 化为关于 uc 的方程: 故有

例1例2方程的共性一可归结为同一形式 y"+p(x)y+q(x)y=f(x),为二阶线性微分方程 n阶线性微分方程的一般形式为 J+1(11 +.+an-I(x)y+an(x)y=f(x) ∫f(x)0时称为非齐次方程 0f(x)=0时称为齐次方程 复习:一阶线性方程y+P(x)y=Q(x) 通解:y=C②P(x)dx+a∫Px)dx e(x)eJP(x)dx dx 齐次方程通解Y非齐次方程特解y HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

n 阶线性微分方程的一般形式为 方程的共性 为二阶线性微分方程. 例1 例2 y  + p(x) y  + q(x) y = f (x), — 可归结为同一形式: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) 1 ( ) y a x y a x y a x y f x n n n n + + + −  + = −  时, 称为非齐次方程 ; f (x)  0 时, 称为齐次方程. 复习: 一阶线性方程 y  + P(x)y = Q(x) 通解:    − + e Q x e x P x x P x x ( ) d ( )d ( )d  − = P x x y Ce ( )d 齐次方程通解Y 非齐次方程特解  y f (x)  0 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、线性齐次方程解的结构 定理1.若函数n(x),y2(x)是二阶线性齐次方程 y+P(x)y+o(x)y=o 的两个解,则y=C1y(x)+C2y2(x)(C1C2为任意常数) 也是该方程的解.(叠加原理) 证:将y=C1y1(x)+C2y2(x)代入方程左边得 [C1y1+C2y2]+P(x)[C1y+C2y2] +2(x)[C1y1+ C2y2 AlLy+P(xyi+o(xyl +C2[y2+P(x)y2+Q(x)y2]=0证毕 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

( )[ ] + P x C1 y1  + ( )[ ] + Q x C1 y1 + = 0 证毕 二、线性齐次方程解的结构 ( ), ( ) 1 2 若函数 y x y x 是二阶线性齐次方程 y  + P(x)y  + Q(x) y = 0 的两个解, 也是该方程的解. 证: ( ) ( ) 1 1 2 2 将 y = C y x +C y x 代入方程左边, 得 [ ] C1 y1 + 2 2 C y  2 2 C y  2 2 C y [ ( ) ( ) ] 1 1 1 1 = C y + P x y  + Q x y [ ( ) ( ) ] 2 2 2 2 +C y  + P x y  + Q x y (叠加原理) ( ) ( ) 1 1 2 2 则y = C y x +C y x 定理1. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明: y=C1n1(x)+C2y2(x)不一定是所给二阶方程的通解 例如,y1(x)是某二阶齐次方程的解,则 y2(x)=2y(x)也是齐次方程的解 但是C1y1(x)+C2y2(x)=(C1+2C2)y(x) 并不是通解 为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与 线性无关概念 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

说明: 不一定是所给二阶方程的通解. 例如, 是某二阶齐次方程的解, 也是齐次方程的解 并不是通解 但是 ( ) ( ) 1 1 2 2 y = C y x +C y x 则 为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义:设n(x),y2(x)…,yn(x)是定义在区间I上的 n个函数若存在不全为0的常数k1,k2…,kn使得 k1y1(x)+k2y2(x)+…+knyn(x)≡0,x∈I 则称这n个函数在Ⅰ上线性相关,否则称为线性无关 例如1,c0s2x,sin2x,在(-∞,+)上都有 1-c0s2x-sin2x≡0 故它们在任何区间Ⅰ上都线性相关 又如,1,x,x2若在某区间l上k1+k2x+k2x2=0, 则根据二次多项式至多只有两个零点,可见k1,k2k3 必需全为0,故1,x,x2在任何区间上都线性无关 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定义: ( ), ( ), , ( ) 1 2 y x y x y x 设  n 是定义在区间 I 上的 n 个函数, 使得 则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 例如， 在(− , + )上都有 故它们在任何区间 I 上都线性相关; 又如， 若在某区间 I 上 则根据二次多项式至多只有两个零点 , 必需全为 0 , 可见 在任何区间 I 上都 线性无关. 若存在不全为 0 的常数 机动 目录 上页 下页 返回 结束

两个函数在区间Ⅰ上线性相关与线性无关的充要条件: (x),y2(x)线性相关 存在不全为0的k1,k2使 k1y1(x)+k2y2(x)=0 y(x)=k2(无妨设 (x)k1k1≠0 n1(x),y2(x)线性无关 y ()年常数 可微函数y1,y2线性无关 (x)y2(x) y1(x)y2(x) ≠0(证明略) 思考:若y1(x)y2(x)中有一个恒为0,则n1(x),y2(x) 必线性相关 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件: 线性相关 存在不全为 0 的 使 1 2 2 1 ( ) ( ) k k y x y x  − ( 无妨设 0 ) k1  线性无关 ( ) ( ) 2 1 y x y x 常数 思考: 中有一个恒为 0, 则 必线性 相关 (证明略) 线性无关 机动 目录 上页 下页 返回 结束