《矩阵理论—知识点详解》第二章 向量与矩阵的范数（2.2）阵的范数

§2矩阵的范数 定义1设4∈P,若映射‖·‖:P"→R 满足 (1)正定性‖A|≥0,当且仅当4=0时,‖A|=0; (2)齐次性‖a4|=4|!4l,A∈R,vA∈P"; (3)三角不等式‖4+B|s‖A‖+‖B4,B∈P 则称映射‖‖为p"上的矩阵范数

§2 矩阵的范数 定义 1 A P P R 设  mn ，若映射||  ||： mn → 满足 则称映射|| || 为 上的矩阵范数. m n p   ( ) || A || , A || A || ; 1 0 0 0 正定性 当且仅当 时，  = = (2) || || | ||| ||, , ; m n A A R A P  齐次性  =      (3) || || || || || ||, , . m n A B A B A B P  三角不等式 +  +  

例1设A∈PmBN,则 Amn=∑∑|arl n lAIm2=∑∑ar2)2 j=1i=1 I AlIm=ma:x{a;B1≤ism1sj≤m

例 1 设 A P mn ，则  = = = n j m i A m ai j 1 1 || || | | 1 2 1 1 1 2 || || ( | | ) 2  = = = n j m i A m ai j A ai j i m j n i j m =      || || max{| |} 1 1

定义2设‖·a:Px→R,‖lb:P→R, ·l:P""→>R是矩阵范数,如果 AB a ll‖Blb 则称矩阵范数·a,‖·|lb和|l相容 如果 AB|sNA‖1·‖B‖ 则称‖·是自相容矩阵范数

定义 2 || || : P R, || || : P R, l n b m l 设  a  →   → ||  ||c : P mn → R是矩阵范数，如果 AB c A a B b || || || ||  || || 则称矩阵范数|| || ,|| || 和|| || 相容. a b c    如果 || AB|||| A||  || B || 则称||  ||是自相容矩阵范数

例2‖Am2=max4a;B1sism1sjsn L,J 是不相容的矩阵范数 22 例如A=B →AB ‖AB|m=2‖Alm2‖Bme=1 例3‖·m和·m,是相容的矩阵范数

例 3 || || || || .  m1 和  m2 是相容的矩阵范数 例 2 A ai j i m j n i j m =      || || max{| |} 1 1 , 是不相容的矩阵范数. 例如   = 2 2 2 2 AB || || = 2 m  AB  || || || || = 1 m  m  A B   = = 1 1 1 1 A B

证设A∈P B∈P×mn 1)ⅢABm1=∑∑1∑ aikbk j=1i=1k=1 ∑∑∑|aik l。丨b,: i=1k=1 ∑∑∑|aik|°|bk; k=1i=1j=1 ∑C|ak||bD k=1L=1

证 m l l n A P B P   设  ,    = = = = n j m i l k AB m ai kbkj 1 1 1 1) || || | | 1  = = =  • n j m i l k ai k bkj 1 1 1 | | | | ( | | | |) 1 1 1    = = = = • l k m i n j ai k bkj    = = = = • l k m i n j aik bk j 1 1 1 | | | |

≤EC∑a;k|∑|b k=1i=1k=1 ∑∑|akD(∑∑|bkD i=1k=1 =‖lm‖!B‖ 2)‖AB‖m2=(∑∑|∑ aikbk;)2 j=1i=1k=1

( | | | |) 1 1 1 1    = = = =  • l k m i n j kj l k ai k b ( | |) ( | |) 1 1 1 1   = = = = = • m i l k n j kj l k ai k b 1 1 = || A||m • || B||m 2 1 1 1 1 2 2) || || ( | | ) 2    = = = = n j m i l k A B m aikbk j

y ∑(∑|aik|-|bD22 j=1i=1k=1 ≤C∑|aik2)(∑|bk72)2 j=1i=1k=1 k=1 {∑(∑|b2)I∑(∑|ak2)}2 j=1k=1 i=1k=1 ik 以|bk i=1k=1 k=lj lAl ‖!B

2 1 1 1 1 2 [(| | | |) ] = = =  • n j m i l k ai k bkj 2 1 1 2 1 1 1 2 [(| | ) (| | )] = = = =  • l k kj n j m i l k ai k b 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 (| | ) (| | ) = = = =  • l k n j kj m i l k ai k b 2 2 = || A||m • || B||m 2 1 1 1 1 2 1 2 {  (  | | ) [( | | )]} = = = = = • n j m i l k ik l k bk j a

定理3设4∈PmM (1)若A=(a1,a2,…,an),则 AAm2=∑a;n2 其中,a;12=aan (2)‖Am2=m(44)=∑4(44) (3)对任意的酉矩陬八、V∈P,有 lA=lU AVm=llUAv

定理 3 , n n A P  设  (1) 若A = (a1 ,a2 ,  ,an ), 则  = = = n i A F A m ai 1 2 2 2 2 || || || || || || 2 || || . 2 2 i H 其中，ai = ai a  = = = n i H i H A m t r A A A A 1 2 (2) || || ( ) ( ) 2  (3) 对任意的酉矩阵U、V  P nn ，有 2 2 2 2 2 2 || || || || || ||m H m H A m = U AV = UAV

证(3)‖Amsr(4HA)=t(A4) tr(AVv A=traV(Av) tr(Al)Av=tr(AAv) r(四4UU"AD trI(UHAD(UHAD) FlU Av m

证 (3) || || ( ) 2 2 A tr A A H m = ( ) H = tr AA ( ) H H = tr AVV A [ ( ) ] H = tr AV AV tr[(AV) AV] H = tr(V A AV) H H = tr(V A UU AV) H H H = tr[(U AV) (U AV)] H H H = 2 2 || ||m H = U AV

推论1设A∈P,对任意的酉矩陬、V∈P", 有 I A lm2=l UA llm=l AV lm2 -ll UAV llmy

推论 1 , n n A P  设  对任意的酉矩阵U、V  P nn ， 有 2 2 2 2 || A||m =||UA||m =|| AV ||m =||UAV ||m