湖南大学：《复变函数与积分变换》第二章 解析函数（王文祥）

第一节解析薦數的概念 第二节解析画数和调和画数的哭系 第三节等函数

第一节 解析函数的概念 第二节 解析函数和调和函数的关系 第三节 初等函数

Q一、复变函数的导数与微分 二、解析函数的概念 三、函数解析的充要条件 Q小结与思考 BACK

一、复变函数的导数与微分 二、解析函数的概念 三、函数解析的充要条件 小结与思考

复变函数的导数与微分 1.导数与微分的定义 设函数=f(z在点某邻域内有定义z+△z 仍是该邻域内的点,令△w=f(x+△z)-f(z).若 极限 imn△H=limf(n+△z)-f(n △少0△z△z→0 存在有限的值A,则称f(z)在可导 d 极限值4称为f(x)在点动的导数记作f(z)或 dz

一、 复变函数的导数与微分 1.导数与微分的定义 ( ) . 则称 f z 在z0可导记 作 或 ． 0 d d ( )0 z z z w f z =  设函数w = f (z)在点z0某邻域内有定义， 仍是该邻域内的点， z + z 0 ( ) ( ). 0 0 令w = f z + z − f z 若 z f z z f z z w z z  +  − =    →  → ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 极限 存在有限的值A， ( ) , 极限值A称为 f z 在点z0的导数

在定义中应注意: z+Az→0(即△z→>0的方式是任意的 即n+以任意方式趋我时比值(+A2)-( 都趋于同一个数 f(zo)=lim f(+Ax)-f(z)△w Az→0 由定义,若函数=f(x)在可导,则 △MP=f(zn)△z+o(△z)(△z→0) 称h=f(z)Az=f(z)d为(z)在点x的微分 此时也称函数=f(z)在点z可微 显然,函数w=f(z)在可导与在可微是等价的

在定义中应注意: ( 0) . z0 + z → z0 即z → 的方式是任意的 . ( ) ( ) , 0 0 0 0 都趋于同一个数 即 以任意方式趋于 时 比 值 z f z z f z z z z  +  − +  0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim . z f z z f z w f z z z  → +  −   = =   由定义，若函数w = f (z)在z0 可导， w = f (z0 )z + o(z) (z → 0)． ( ) ( ) ( ) . 称dw = f  z0 z = f  z0 dz为f z 在点z0的微分 ( ) . 函 数w = f z 在 z0可导与在z0可微是等价的 ( ) . 此时也称函数w = f z 在点z0 可微 显然， 则

例1求f()=的导数 解yz∈C∵limf(2+A2)-(3) △z→>0 △ z+△z = Az→0 AZ =lim(2x+△z)=2x Az→0 ∫(x)=x2在z平面上处处可导 2

例1 ( ) . 求f z = z 2的导数 0 ( ) ( ) lim z f z z f z z C  → z +  −    解 z z z z z  +  − =  → 2 2 0 ( ) limlim(2 ) 0 z z z = +   → = 2z. (z ) 2z 2 =  2  = f z z z ( ) . 在 平面上处处可导

例2讨论f(z)=Im的可导性 解=(2+△3)-f(3)=Imx+A)-mz △ △ Imz+Im△- Imz In△ △z Im(△x+iy) △ △x+i△ △x+i△ 当A沿实轴方向4y=0趋于哺时

例2 讨论f (z) =Im z的可导性. z f z z f z z f  +  − =   ( ) ( ) 解 z z z z  +  − = Im( ) Im z z z z  +  − = Im Im Im z z   = Im x i y x i y  +   +  = Im( ) , x i y y  +   = 当z沿实轴方向(y = 0)趋于0时

iA=mim∫(z+△x)-∫(x)li、M+0, △ △x->0△7△x>0 △x→0 △y=0 当△沿虚轴方向(Δx=0)趋于0时, △ f(z+△z)-f(x) △ >0△△z->0 如0△x+iνi 当A沿不同的方向趋子时,极限值不同所以 极限lm不存在 △2>0△z 故f(z)=Imz在复平面上处处不可导

z f z z f z z f z z  +  − =    →  → ( ) ( ) lim lim 0 0 lim 0, 0 0 =  +   =  =  → x i y y y x 当z沿虚轴方向 (x = 0)趋于0时, z f z z f z z f z z  +  − =    →  → ( ) ( ) lim lim 0 0 , 1 lim 0 0 x i y i y x y =  +   =  =  → 当z沿不同的方向趋于0时,极限值不同, 故f (z) =Im z在复平面上处处不可导. 极 限 不存在． z f z    →0 lim 所以

2可导与连续的关系 函数f(z)在处可导则在处一定连续,但 函数f(x)在处连续不一定在处可导 例由上例结论, 函数(z)=Imz在复平面上处处不可导 而f(x)=Imz=复平面上处处连续 说明:在复变函数中,处处连续但处处不可导的函 数很多,而在实变函数中,要构造一个这样的函数 非常困难

例 2.可导与连续的关系 函数 f (z) 在 z0 处可导则在z0 处一定连续, 但 函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导. 说明：在复变函数中，处处连续但处处不可导的函 数很多，而在实变函数中，要构造一个这样的函数 非常困难． 由上例结论， 函数f (z) =Imz在复平面上处处不可导. 而 f (z) =Imz = y在复平面上处处连续．

3求导法则 由于复变函数中导数的定义与一元实变函 数中导数的定义在形式上完全一致,并且复变函 数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因而 实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广 到复变函数中来,且证明方法也是相同的 求导公式与法则: (1)(c)=0,其中c为复常数 (2)(z")=nzn,其中n为正整数

3.求导法则 由于复变函数中导数的定义与一元实变函 数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函 数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而 实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广 到复变函数中来, 且证明方法也是相同的. 求导公式与法则: (1) (c) = 0, 其中c为复常数.  (2) ( ) , . z n  = nzn−1 其中n为正整数

(3)[f(x)±g(z)]=f(z)±g(z) (4)[f(z)g(=f(2g(x)+f()g(z) (5) f(z) f()(z)-f(z)8(z) (g(z)≠0 g(z) g2(z) (6){g(z)}=f(v)g(z.其中w=g(z) (7)f(z)= 其中w=f(z)与z=q(w)是 o(w) 两个互为反函数的单值函数,且g(v)≠0

(3)  f (z) g(z) = f (z)  g(z).   (4)  f (z)g(z) = f (z)g(z) + f (z)g(z).  . ( ( ) 0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (5) 2   −  =        g z g z f z g z f z g z g z f z (6) f[g(z)] = f (w)g(z). w = g(z)  其 中 , ( ) 0 , ( ) ( ) ( ) 1 (7) ( )   = =   = w w f z z w w f z    两个互为反函数的单值函数 且 其中 与 是