同济大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第一章 行列式（1.7）克拉默法则

行列式 第七节克拉默法则 、克拉默法则 二、重要定理 三、小结思考题

非齐次与齐次线性方程组的概念 1x1+a12x2+…+anxn=b 设线性方程组{4+a2x2+… 十 ann 11+an2x2+…+amxn 工工工 若常数项1,b2,…,b不全为零,则称此方程组为非 齐次线性方程组;若常数项b,b,…,b全为零 此时称方程组为齐次线性方程组 上页

       + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 设线性方程组 , , , , 若常数项b1 b2  bn不全为零 则称此方程组为非 齐次线性方程组; , , , , 若常数项b1 b2  bn 全为零 此时称方程组为齐次线性方程组. 非齐次与齐次线性方程组的概念

王一、克拉默法则 王如果线性方程组 111+ X,+∴+ 122 Inn =b, 生a1x+1x2+…+…,=b ···.·· 。···· 工工工 anIx+an2x2+..+amxn= b 411 12 n 的系数行列式不等于零,即D=22 0≠0 2 上页

一、克拉默法则 如果线性方程组 (1) 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1        + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     的系数行列式不等于零，即 n n nn n n a a a a a a a a a D     1 2 21 22 2 11 12 1 =  0

压那么线性方程组)有解,并且解是唯一的,解 可以表为 D D D D x1=x,x2=,3= ,= D D D D 王其中D是把系数行列式D中第/列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式,即 工工工 b 1,j+1 D.= b nI n,-1 n ,+1 上页

. D D , , x D D , x D D , x D D x n = = =  n = 2 3 2 2 1 1 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即 Dj D j n n n , j n n , j nn , j , j n j a a b a a a a b a a D      1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 − + − + = 那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解 可以表为 (1)

证明 庄用D中第列元素的代数余子式4,4,…,4 王依次乘方程组)n个方程得 生+a+…+,x)A=A (x+2+…+4x)4=b 。。。。。。·。。。。。。·。。。。。。·。·· (amx+amx,++ax, a=b,A 在把个方程依次相加,得 上页

证明 ( ) ( ) ( )       + + + = + + + = + + + = n n nn n nj n nj n n j j n n j j a x a x a x A b A a x a x a x A b A a x a x a x A b A     1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 2 2 11 1 12 2 1 1 1 1 依次乘方程组( )的 个方程 得 用 中第 列元素的代数余子式 1 , , , , 1 2 n D j A j A j  Anj 在把 n 个方程依次相加，得

k1kx1+…+ ∑q4x+…+ knak k=1 k=1 k=1 ∑b4 k=1 由代数余子式的性质可知,上式中x的系数等于D, 而其余x(≠)系数均为;又等式右端为D 于是Dx1=D/G=1,2,…,n (2) 当D≠0时,方程组(2)有唯一的一个解 D D 1=,X2 D O,x3=B2,…,x= D D 上页

, 1 1 1 1 1 1     = = = = =        + +       + +      n k k k j n n k j k n k j n k k j k j n k k k j b A a A x  a A x  a A x 由代数余子式的性质可知, Dx D ( j 1,2, ,n). j = j =  . D D , , x D D , x D D , x D D x n = = =  n = 2 3 2 2 1 1 x D, 上式中 j的系数等于 而其余x (i j)的系数均为0; i  . 又等式右端为Dj 于是 (2) 当 D  0 时,方程组 (2) 有唯一的一个解

由于方程组(2)与方程组(1)等价,故 D DD D 1D’2 D n DD 也是方程组的(1)解 上页

由于方程组 (2) 与方程组 (1) 等价, 故 . D D , , x D D , x D D , x D D x n = = =  n = 2 3 2 2 1 1 也是方程组的 (1) 解

王二、重要定理 定理1如果线性方程组1)的系数行列式D≠0, 则(1)—定有解,且解是唯一的 午定理2如果线性方程组()无解或有两个不同的 工工工 解,则它的系数行列式必为零 上页

二、重要定理 定理1 如果线性方程组 的系数行列式 则 一定有解,且解是唯一的 . (1) (1) D  0, 定理2 如果线性方程组 无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零. (1)

上齐次线性方程组的相关定理 a,x,+a,y,++a,x=0 Janx+a2x2+…+a1x=0 (2) ax, tax n2 n 2+…+ ax=0 定理如果齐次线性方程组(2)的系数行列式 牛D≠0则齐次线性方程组()没有非零解 上页

齐次线性方程组的相关定理 (2) 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1        + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     定理 如果齐次线性方程组 的系数行列式 D  0 则齐次线性方程组 没有非零解. (2) (2)

生定理如果齐次线性方程组()有非零解,则它 的系数行列式必为零 系数行列式D=0 ′1x+a1x2+…+a1nxn=0 ,1x1+a 2 22~2 +…+a2xn=0 n a,fa 11 n,x+…+a 2 2 n =0 n 有非零解 上页

定理 如果齐次线性方程组 (2) 有非零解,则它 的系数行列式必为零.        + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 n n nn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     有非零解. 系数行列式 D = 0