广州大学：《数学分析》课程教学资源（PPT课件讲稿，第三版）第十章 定积分的应用（10.4）微元法旋转曲面面积

§4旋转曲面面积 一、微元法 定积分∫(x)x是和式的极限mnC/()△x,如果所研究的 问题总可以按“分割、近似求和与取极限”三个步骤能归结为求这 种和式的极限,那么,应用定积分就可以求出问题的结果。为了使 定积分的应用问题能简便地回归到求定积分[f(x)x上来,我们往往 采用以下介绍的方法一微元法 何谓微元法? 个待求的量Q若要用定积分表示出来,它必须要具备两个特性

1 §4 旋转曲面面积 0 1 ( ) lim ( ) , ( ) b n i i T a i b a f x dx f x f x dx Q  → =     定积分 是和式的极限 如果所研究的 问题总可以按“分割、近似求和与取极限”三个步骤能归结为求这 种和式的极限，那么，应用定积分就可以求出问题的结果。为了使 定积分的应用问题能简便地回归到求定积分 上来，我们往往 采用以下介绍的方法—微元法。 何谓微元法？ 一个待求的量 若要用定积分表示出来，它必须要具备两个特性： 一、微元法

1)、Q是一个与其变量x的变化区间[a,b]有关的量; 2)、Q对于a,b具有代数的可加性,即 Q=∑△Q 其中△Q是[an,b的子区间[x,x+Ax所对应的部分量。如果△Q的近似表达 式是:△Q≈f(x)dhx=dQ, 则要计算的量Q=∑AQ==「f(x)减 只要把定积分计算出来,就是该问题所求的结果(所求量Q的最终值) 这种方法称为微元法,其特点是直观、简单、方便。在应用定积分解 决实际问题时经常被使用 使用微元法的关键就是正确给出ΔO的近似表达式,即

2 1 [ , ] 2 [ , ] [ , ] [ , ] ( ) , ( ) . ( b b a a Q x a b Q a b Q Q Q a b x x x Q Q f x dx dQ Q Q dQ f x dx Q =   +     = =  = =     ）、 是一个与其变量 的变化区间 有关的量； ）、 对于 具有代数的可加性，即 其中 是 的子区间 所对应的部分量。如果 的近似表达 式是： 则要计算的量 只要把定积分计算出来，就是该问题所求的结果 所求量 的最终值） 这种方法称为微元法，其特点是直观、简单、方便。在应用定积分解 决实际 Q 问题时经常被使用。 使用微元法的关键就是正确给出 的近似表达式，即

△Q≈f(x)=Q分△Q=f(x)Ax+o(△x),若不能保证 △Q=f(x)Ax+o(△x),则△Q就不能用f(x)Ax作为近似表达式,否则用 “微元法”将导致错误的结果。要严格检验:ΔQ-∫(x)Δτ是否为Δx的 高阶无穷小,往往不是一件容易的事,因此对ΔQ≈f(x)Ax的合理性要 特别小心 对于前面所学过的平面图形面积公式、立体体积公式和弧长公式 都可以用微元法得到。 二、旋转曲面的面积 1)、设平面光滑曲线C由直角坐标方程y=f(x),x∈[a,b],(不妨 设f(x)≥0)给出,则曲线C绕x轴旋转一周所得旋转曲面面积为 S=2r 5(V1+(x)]'do

3 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 Q f x dx dQ Q f x x o x Q f x x o x Q f x x Q f x x x Q f x x   =   =  +   =  +     −      若不能保证： ，则 就不能用 作为近似表达式，否则用 “微元法”将导致错误的结果。要严格检验： 是否为 的 高阶无穷小，往往不是一件容易的事，因此对 的合理性要 特别小心。 对于前面所学过的平面图形面积公式、立体体积公式和弧长公式 都可以用微元法得到。 二、旋转曲面的面积 ）、设   2 ( ), [ , ], ( ) 0 2 ( ) 1 ( ) . b a C y f x x a b f x C x S f x f x dx  =   = +   平面光滑曲线 由直角坐标方程 （不妨 设 ）给出，则曲线 绕 轴旋转一周所得旋转曲面面积为：

证明(如图,用微元法导出公式) △Sy=f(x) 2)、若平面光滑曲线(由参数方程:x=x(),y=y(1),t∈[a

4 . 证明（如图，用微元法导出公式） y x a b S y=f(x) x x x +  o 2 ( ) ( ), [ , ], ）、若平面光滑曲线由参数方程： ， C x x t y y t t = =   

给出,且:y(1)≥0,则曲线C绕x轴旋转一周所得旋转曲面面积为 S=2n yoVIx(]+[y(]dt 3)、若平面光滑曲线C由极坐标方程:r=r(O),b∈[α,B([a,β [0,z],r(的)≥0),则曲线C绕极轴旋转一周所得旋转曲面面积为: s=2z」 e)sineN(o)+(o)do y 例1计算圆x2+y2=R2在x1,x2]c[-R,R] 上的弧段绕x轴旋转一周所得旋球带的面积 例2计算由星形线:x=acos3t,y=asin3t 绕x轴旋转一周所得旋转曲面的面积 星形线

5         2 2 2 2 ( ) 0 2 ( ) ( ) ( ) . 3 ( ), [ , ] ([ , ] [0, ], ( ) 0 ), 2 ( )sin ( ) ( ) y t C x S y t x t y t dt C r r r C S r r r d                     = +   =    = +    给出，且： ，则曲线 绕 轴旋转一周所得旋转曲面面积为： ）、若平面光滑曲线 由极坐标方程： 则曲线 绕极轴旋转一周所得旋转曲面面积为： 2 2 2 1 2 3 3 1 [ , ] [ , ] 2 cos , sin x y R x x R R x x a t y a t x + =  − = = 例 计算圆 在 上的弧段绕 轴旋转一周所得旋球带的面积。 例 计算由星形线： 绕 轴旋转一周所得旋转曲面的面积。 6 4 2 -2 -4 -6 -5 5 C x y o 星形线