《量子力学》课程教学资源（习题解答）第四章 态和力学量的表象

第四章习题解答 4.1求在动量表象中角动量L的矩阵元和？的矩阵元。 解：m-,0Lwr=(2动eroa-项e”d -3e”0m-pd, p-r=px+py+p=, y品1.见=是e-n =-品e1B==g 此四个关系式代入（亿，）p中： G=z-品-B品 p,)e dr 多%n =录R品p-的 m-∫，h=（3动e”n-e产dr =（e0a-,X0啦-克，加产r -j原-品 2.rdr =或P小限-项 -(p,p =最-n 0}8p-)

1 第四章习题解答 4.1.求在动量表象中角动量 Lx 的矩阵元和 2 Lx 的矩阵元。 解： * 3 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ 2 i i p r p r L r L r d r e yp zp e d x p p p x z y     −     = = −   1 3 ( ) ( ) 2 i i p r p r z y e yp zp e d  −    = −  ， x y z p r p x p y p z  = + + , ( ) [ ] i p r y y i e p  = −    ， ( ) [ ] i p r z z p i e p z   = − =  ( ) [ ] i p r Z z i e p   = −  ， ( ) [ ] i p r y y p i e p y   = − =  ， 此四个关系式代入 ( ) L x p p  中： 1 3 ( ) ( ) ( )( ) 2 i i p r p r x p p z y y z L e i p p e d p p   −       = − −     −     −   = −   e d p p p i p p p r i z y y z       （ ） 3 ) 2 1 ( )( )( ( ) ( p p ) p p p i p y z z y −    −   =     L  =    x L  d x p p p x p    2 * 2 ( ) ( ) 1 3 2 ( ) ( ) ˆ ˆ 2 i i p r p r z y e yp zp e d  −    = −   −   = − −   e yp zp yp zp e d p r i z y z y p r i        ) ( ˆ ˆ )( ˆ ˆ ) 2 1 ( 3  −     −   = −   e d p p p e yp zp i p p r i y z z z y y p r i         ) ( ˆ ˆ )( )( ) 2 1 ( 3  −   −   −   =   e yp zp e d p p p i p p r i z y p r i y z z y         ) ( ˆ ˆ ) 2 1 ( )( )( 3  −     −   = −   e d p p p p p p r i y z z y       （ ） 2 2 3 ) 2 1 ( ) ( ( ) ( ) 2 2 p p p p p p y z z y −    −   = −     #

4.2求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。 a xm=u (x)xu (xx, 能量：E。=hn 24a2 当时对无：-会m受达=号 a e一心片如w+c(份事职分迪 当m幸n时，无-名(en小x(6m侣达 .-2sin asin B=cos(a+B)-cos(a-B), 故上式： co m-. a a 12 a a -m+n7 co+年 a +sinn刘 a =-]112amm 儿m-m+」7mn[-刂 p=∫(m).(d=-2 sind a a a a sin (n in (m- a a 当m=n时，pam=0 当m≠n时， 2

2 4.2 求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。 解:坐标表象中,无限深势阱能量本征函数为基矢 x a n a u x n  sin 2 ( ) = ， * ( ) ( ) mm n n x u x xu x dx =  ， 能量： 2 2 2 2 2 a n En    = 当ｍ=n 时，对角元： 2 sin 2 0 2 a xdx a m x a x a mm = =   2 1 cos cos sin ( ) u u nudu nu nu c n n = + +  分部积分法 当 m  n 时， 0 2 (sin ) (sin ) a mn m n x x x x dx a a a   =    − = + − − 2sin sin cos( ) cos( )       ， 故上式： 0 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) cos cos 1 ( ) ( ) [ cos sin ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ cos sin ] ( ) ( ) 1 1 4 ( 1) 1 ( 1) ( ) ( ) ( ) a a a m n m n m n x x x dx a a a a m n ax m n x x a m n a m n a a m n ax m n x x m n a m n a a a mn m n m n m n             −   − + = −      − − = +   − −   + + − +  + +     = − − − = −        − + −  1 m n−   −   * 0 2 0 2 0 2 ( ) ( ) sin sin ˆ 2 sin cos ( ) ( ) sin sin a mn m n a a m d n p u x pu x dx i x xdx a a dx a n m n i x xdx a a a n m n m n i x x dx a a a         = = −  = −    + − = − +         当ｍ=n 时，pmn=0 当 m  n 时

(m cos (n =inh a (m)os a a 1 a2π(m+n)(m-n)J )- =[(-l]_2mh (m2-n)a ∫sinucod=-_cosm+mu-cosm-m业+C 2(m+n）2(m-n)） 4.3在动量表象中求线性谐振子能量（哈密顿算符）的本征函数。 解月-产+0（动量表象中p=px=h亚） dp 定态薛定谔方程为：HC(p,)=EC(p,): 即：易cp小-mir$cn小=cp 1 21 C(p.)=0 两边乘以 2 @aohC(p,)小- 1d2 Cp)=0 uoh 1 uonP=Bp.B= oh= 1 令5= ho ECp,0+-52cp,0=0 跟课本P.39(2.7-4)式比较可知，线性谐振子的能量本征值和本征函数为 E.-(+h.C(p.)-N.H Bpe 式中N为归一化因子，即N.=(,2"2 4.4.求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。 2μ 20x 解：方二12+。μ@2x2=-—+ H=小yx)iy,（达，Hx,-h与y,()均为坐标表象中的表示 dx

3 2 0 2 ( ) ( ) cos cos ( ) ( ) 1 1 ( 1) 1 ] ( ) ( ) a m n n a m n a m n i x x a m n a m n a n a i a m n m n        −   + − = +     + −   = + − −        + − 2 2 2 ( 1) 1 ( ) m n i mn m n a − = − −     − C m n m n u m n m n u mu nudu + − − − + + = −  2( ) cos( ) 2( ) cos( ) sin cos # 4.3 在动量表象中求线性谐振子能量(哈密顿算符) 的本征函数。 解: 1 1 2 2 2 ˆ ˆ 2 2 H p x   = + (动量表象中: p p = , x d x i dp = ) 定态薛定谔方程为: HC p t EC p t ( , ) ( , ) = ， 即： 2 2 2 2 2 1 ( , ) ( , ) ( , ) 2 2 p d C p t C p t EC p t dp   − = . 2 2 2 2 2 1 ( ) ( , ) ( , ) 0 2 2 p d E C p t C p t dp   − − = 两边乘以  2 ，得 2 2 2 2 1 ( ) ( , ) ( , ) 0 1 E p d C p t C p t   dp  − − = 令       1 , 1 = p = p = ,    2E = . ( , ) ( ) ( , ) 0 2 2 2 C p t + − C p t = d d    跟课本 P.39(2.7-4)式比较可知，线性谐振子的能量本征值和本征函数为 1 2 2 1 2 2 ( ) ; ( , ) ( ) n i p E t E n C p t N e H p e n n n    − − = + = 式中 Nn 为归一化因子，即 1/ 2 1/ 2 ) 2 ! ( n Nn n   = # 4.4.求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。 解： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 ˆ 2 1 ˆ x x H p x     +   = + = −  ．  H  = x H x dx pp p p ( ) ˆ ( ) *   , [ ( , ) d H x i dx − 与 ( ) p  x 均为坐标表象中的表示]

ir 、 p-p+ D' 净6 2oa2 *a动 p-pm小-ow。 =D2 1 -p) 6p-p-o pp'-p) 解法2：见井孝功，"量子力学习题解答"P.55-56 2五+2o(24 在动量表象中：H=卫+ '[注（一维时为 人它与 (4}完全不同].Hm=∫C'(p)HCp.C(p)=p-p) dx 4.5设已知在P和L2的共同表象中，算符和i,的矩阵分别为 101 L,= √2h 0-i0) i 0-i 01 2 (0i0J 求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵L和L,对角化。 解：L的久期方程为L,-1=0,1为单位矩阵。 -元 方 0 - h =0→-+方2元=0：→1=0，元2=h,元3=- 2 0 √2 -1 .L的本征值为0，九，-方。的本征方程为： 4

4 2 2 2 2 2 1 1 ( ) 2 2 2 i i px p x H e x e dx pp x    −    = − +      −  − − − = − p  e dx + x e dx i p p x i p p x i ( ) 2 2 ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 ( ) 2             − −     − +  = e dx i p p p p p p x i ( ) 2 2 2 2 2 ( ) 2 1 2 1 ( ) 2         − −     − +  = e dx i p p p p p p x i ( ) 2 2 2 2 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2         ( ) 2 1 ( ) 2 2 2 2 2 2 p p p p p p  −    =   − −     ( ) 2 1 ( ) 2 2 2 2 2 2 p p p p p p  −   =   − −     解法 2：见 井孝功，＂量子力学习题解答＂P.55-56 在动量表象中： ( ) 2 2 2 2 2 1 2 2 x p d H i dp   = + ，［注: 2  (一维时为 2 2 d dx )．它与 2 ( ) d dx 完全不同］． * ( ) ( ) H C p HC p dx pp  =  ．C p p p ( ) ( ') = −  . # 4.5 设已知在 L LZ ˆ ˆ 2和 的共同表象中，算符 Lx Ly ˆ 和ˆ 的矩阵分别为           = 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2  Lx           − − = 0 0 0 0 0 2 2 i i i i Ly  求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵 Lx和Ly 对角化。 解： Lx 的久期方程为 0 L I x − =  , I 为单位矩阵。 0 0 2 0 2 2 0 2 3 2 =  − + = − − −           ;  1 = 0，2 = ，3 = − ∴ Lx ˆ 的本征值为 0，，−  。 Lx ˆ 的本征方程为：

:卧 其中y= 设为L,的本征函数P和L2共同表象中的矩阵 as 当=0时，有 h a2） (0 a a +a 0 →a3=-a,a2=0。 0=0 a 0 -a1 由归一化条件：1=yy。=(a,0,-a0 =2e,f,得a,=方 -a. 2 对应于 L.的本征值0。 010Ya 当2=时，有 101 a =ha; 010a, 5 a=a 5a+a) {a=a. a=a

5           =                     3 2 1 3 2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 a a a a a a   其中           = 3 2 1 a a a  设为 Lx ˆ 的本征函数 L LZ ˆ 2和 ˆ 共同表象中的矩阵 当 1 = 0 时，有           =                     0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 3 2 1 a a a  。 0 0 0 0 2 3 1 2 2 1 3 2  = − =           =           + a a a a a a a ，  。 ∴           − = 1 1 0 0 a a  由归一化条件 ： 2 1 1 1 * 1 * 1 0 0 ( 1 ,0, ) 0 2 a a a a a =           − = = − +   , 得 2 1 a1 = . 0 1 2 1 1 0 0 2 1 1 2            = =           −   −    对应于 Lx ˆ 的本征值 0 。 当 2 =  时，有           =                     3 2 1 3 2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 a a a a a a   . 2 2 1 1 1 3 2 2 3 3 3 1 2 1 2 2 1 ( ) 2 2 1 2 a a a a a a a a a a a a a        =           + =  =           =        . ∴             = 1 1 1 2 a a a  

由归一化条件：1=(ai,√2ai,a) 2a 4a得a= a 归一化的= 对应于的本征值。 当入2=-市时，有： 010人4 a =-2a a;=a 由归一化条件：1=(ai,-√2ai,ai-V2a =4a,得a=2 1 “归一化的四 -2 对应于L的本征值-h。 1 1 由以上结果可知，从心和心z的共同表象变到心，表象的变换矩阵为： (参考：邹鹏程，“量子力学”，北京，高等教有出版社，2003年8月，第 二版p.191p.192的证明)。 6

6 由归一化条件: 2 1 1 1 1 * 1 * 1 * 1 ( 1 , 2 , ) 2 4 a a a a a a a =             = . 得 2 1 a1 = 。 ∴归一化的 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2              = =                 ，对应于 Lx ˆ 的本征值  。 当 2 = − 时，有：           = −                     3 2 1 3 2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 a a a a a a   1 2 1 1 1 3 2 2 3 3 3 1 2 1 2 2 1 ( ) 2 2 1 2 a a a a a a a a a a a a a       −  = −           + = −  = −           − =        ， ∴             − = − 1 1 1 2 a a a   由归一化条件： 2 1 1 1 1 * 1 * 1 * 1 ( 1 , 2 , ) 2 4 a a a a a a a =             = − − ，得 2 1 a1 = 。 ∴归一化的 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2  −             = − = −                ，对应于 Lx ˆ 的本征值−  。 由以上结果可知，从 L LZ ˆ 2和 ˆ 的共同表象变到 Lx ˆ 表象的变换矩阵为： （参考：邹鹏程，“量子力学”，北京，高等教育出版社， 2003 年 8 月，第 二版 p.191~p. 192 的证明）

(1 1 S=[Wownw-n= 0 、1 对角化的矩阵为L=S+L,S 方 1-2 1 0 1 1 0 1 0/ 2 2 = h -21 0 1 1 0 0 1 1 1 2 1 1 9 0 9 2 1 0 「人 2 2 0 0 (00 0 0方 0 0 0 (00- 00)000 也可以直接写出工=0 0 0h0 0 00- 按照与上同样的方法可得，的本征值为0，九，一方。 工，的归一化的本征函数为 1 1 5 0 0 2 1 从亡和iz的共同表象变到乙，表象的变换矩阵为

7  0  111 2 2 2 1 1 0 2 2 1 1 1 2 2 2 S    −         = = −       −    。∴对角化的矩阵为 Lx S Lx S +  =                   − −                             − −  = 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 0 2 1 2 1 2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 0 2 1 2  Lx                   − −                   − − = 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 0 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 0 0 0 2            − =           − =    0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 2 。 也可以直接写出 1 ' 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Lx            = =             − 。 按照与上同样的方法可得 Ly ˆ 的本征值为 0，，−  。 Ly ˆ 的归一化的本征函数为 0 1 2 1 1 0 0 2 1 1 2            = =                 , 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 i  i             = =         −       −   , 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 i  i −             = − = −        −       −   。 从 L LZ ˆ 2和 ˆ 的共同表象变到 Ly ˆ 表象的变换矩阵为

1 0 S=[woyΨ]= 0 →S4= 1-212 !2 互 000 利用S可使i对角化：L:=S+LS= 0方0 00- 4.6.求连续性方程的矩阵表示 解：连续性方程为 ao-v.j a :J-h(wWw*-v+Vv) 24 而口j=hv.Ww*-y*） 2u wyyw -hoiwtwi0 h=w*iw-vwi in()-(w+fv-viv) 写成矩阵形式为 awv)-v'tv-viv h导wv)=yiw-wiw=7-产=0 8

8  0  1 1 1 1 1 0 2 2 2 2 2 1 1 0 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 i i i S S i    + −                 = = −  = − −             − − −         利用 S 可使 Ly ˆ 对角化 :           −  = = +   0 0 0 0 0 0 0 Ly S Ly S # 4.6. 求连续性方程的矩阵表示 解：连续性方程为 J t  = −    ∴ ( * * ) 2      =  −   i J 而 ( * * ) 2        =    −   i J ( * * ) 2 2 2      =  −  i ) ˆ * * ˆ ( 1 T  T i = −  ∴ *) ˆ ˆ ( *     T T t i = −    *) ˆ ˆ ( * ( ) *       T T t i = −    写成矩阵形式为 ) 0 ˆ ( ˆ ( ) ˆ ˆ ( ) * * = − = − =   = −   + + + + + + T T T T t i T T t i               #