《量子力学》课程教学资源（习题解答）第一章 量子理论基础

第一章量子理论基础 1.设一电子为电势差V所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一个光子，求当这光 子相应的光波波长分别为5000A(可见光)，1A(x射线)以及0.001A(y射线)时， 加速电子所需的电势差是多少？ 解电子在电势差r加速下，得到的能量是，mU=业这个能量全部转化为一个光 子的能量，即 mu=ev-hv=he y=c-663x104x3x10-124×10 1.6×10-19.1 (伏) 2(A) 当2=5000A时 =2.48(伏) 元3=1A时 3=1.24×10(伏) 元=0.001A时 V3=1.24×107(伏) 2.利用普朗克的能量分布函数证明辐射的总能量和绝对温度的四次方成正比，并求比例系 数。 解普朗克公式为 单位体积辐射的总能量为U=八小=3油广h c3 o emisr1 u-第}r* 其中 (★★) (★)式表明，辐射的总能量U和绝对温度T的四次方成正比。这个公式就是斯式蕃 一一玻耳兹曼公式。其中G是比例常数，可求出如下： 因为0-e=e70+e+e+=e 1 湾2 1 用分部积分法求后一积分，有

第一章 量子理论基础 1．设一电子为电势差 V 所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一个光子，求当这光 子相应的光波波长分别为 5000  A （可见光），1  A （x 射线）以及 0.001  A （  射线）时， 加速电子所需的电势差是多少？ [解] 电子在电势差 V 加速下，得到的能量是 m = eV 2 2 1  这个能量全部转化为一个光 子的能量，即    hc m = eV = h = 2 2 1 ( ) 1.24 10 1.6 10 6.63 10 3 10 4 19 34 8  A e hc V     =       = = − − （伏） 当  1 = 5000 A 时， V1 = 2.48 （伏）  2 = 1A 时 4 V2 =1.2410 （伏）  3 = 0.001A 时 7 V3 = 1.2410 （伏） 2．利用普朗克的能量分布函数证明辐射的总能量和绝对温度的四次方成正比，并求比例系 数。 [解] 普朗克公式为 1 8 3 / 3 − =  v hv kT e dv c hv d    单位体积辐射的总能量为     − = = 0 0 / 3 3 1 3 v hv T e v dv c h U dv    令 kT hv y = ，则 4 4 0 3 3 3 4 1 8 T T e y dy h c k U y   =         − =   （★） 其中   − = 0 3 3 3 4 1 8 y e y dy h c  k  （★★） （★）式表明，辐射的总能量 U 和绝对温度 T 的四次方成正比。这个公式就是斯忒蕃 ——玻耳兹曼公式。其中  是比例常数，可求出如下： 因为 (1 ) (1 ) 1 1 = − 1 = + + 2 + − − y − y − − y − y − y y e e e e e e   = − = n 1 ny e y e dy e y dy n ny  y     = −        = − 0 1 3 0 3 1 令 x = ny ，上式成为 x e dx e n y dy x n  y    −  =  = − 0 3 1 4 0 3 1 1 用分部积分法求后一积分，有

。xres=-xeb+03xe=-3reb+3j。2xe =-6xeb+6。edk=6e6=6 又因无穷级数 因此，比例常数 o一浩-语-7%家原度 3.求与下列各粒子相关的德布罗意波长： (1)能量为100电子伏的自由电子： (2)能量为0.1电子伏的自由中子： (3)能量为0.1电子伏，质量为1克的质点： (4)温度T=1k时，具有动能E=号kT(k为玻耳兹曼常数)的氯原子。 闹德布男意公式为A一合因为上运整子使星很小，做可用非相对论公式E一易 代入德布罗意公式得入2 (1)E=100er=1.6×100尔格，4=9×10克 h 6.63x10- 842452x901610-123x10厘米1291 (2)E2=0.1eV=1.6×10-1尔格，凸，=18404=1840×9×10-克 3=0.92A (3)E,=0.1eV=1.6×10尔格，43=1克 六=1.17×102A (4)E,=7=号x1,38×10-6×1=204×10-6尔格，4=4×1.6×10克 元=12.6A 4.利用玻尔—裳末菲的量子化条件求： (1)一维谐振子的能量： (2)在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。 解1(1)方法一：量子化条件「dg=h,一维谐振子的能量为 D21

     −   − −  − − = − + = − + 0 0 0 2 2 0 0 3 3 x e dx x e 3x e dx 3x e 3 2x e dx x x x x x 6 6 6 0 6 0 = − 0 + = − =   −  − −  x x x x e e dx e 又因无穷级数   = = 1 4 4 90 1 n n  。 故   =  = 0 − 3 4 4 90 15 6 1   y e y dy 因此，比例常数   − = =  − = 0 15 3 3 3 5 4 3 3 4 7.56 10 15 8 1 8 h c k e y dy h c k y    尔格/厘米 3·度 4 3．求与下列各粒子相关的德布罗意波长： （1）能量为 100 电子伏的自由电子； （2）能量为 0.1 电子伏的自由中子； （3）能量为 0.1 电子伏，质量为 1 克的质点； （4）温度 T =1k 时，具有动能 E kT 2 3 = （k 为玻耳兹曼常数）的氦原子。 [解]德布罗意公式为 p h  = 。因为上述粒子能量都很小，故可用非相对论公式 2 2 p E = 代入德布罗意公式得 E h   2 = （1） 10 1 100 1.6 10− E = eV =  尔格， 28 1 9 10−  =  克 8 28 10 27 1 1 1 1.23 10 2 9 10 1.6 10 6.63 10 2 − − − − =        = − E h   厘米=1.23  A （2） 13 2 0.1 1.6 10− E = eV =  尔格， 28 2 1840 1 1840 9 10−  =  =   克   2 = 0.92 A （3） 13 3 0.1 1.6 10− E = eV =  尔格， 3 =1 克  A 12 3 1.17 10−   =  （4） 16 16 4 1.38 10 1 2.04 10 2 3 2 3 − − E = k T =    =  尔格， 24 4 4 1.66 10−  =   克   4 =12.6 A 4．利用玻尔——索末菲的量子化条件求： （1）一维谐振子的能量； （2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。 [解] （1）方法一：量子化条件  pdq = nh ，一维谐振子的能量为 2 2 2 2 1 2 q p E   = +

可化为 a' 上式表明，在相平面中，其轨迹为一椭圆。两半轴分别为 a=2uE, 2E b=uo 这个椭圆的面积为 fpdg=mb=πV2E· 2g2延=h uO 0 V 故 E=nhy 上式表明，一维诰振子的能量是量子化的。 方法二：一维谐振子的方程为 9+q=0 其解为 q=Asin(@t+6) dq=Aocos(ot+6)dt p=uq=Aoucos(@t+8) fp内=uFwfcos(o1+δdi=,T=2=h 3N 面B-乐5o行.o++wfmo1+ 21 (2)设磁场方向垂直于电子运动方向，电子受到的洛仑兹力作为它作圆周运动的向心 力，于是有 w=R.故R= eH 这时因为没有考虑量子化，因此R是连续的。应用玻耳一索末菲量子化条件 pdq=nh 这时，把电子作圆周运动的半径转过的角度作为广义坐标，则对应的广义动量为角动量 .nou fPdouude=2muR-2mHR c nhcnhc R=2mH-明 种力一名可奖电子轨道的可使半径是不莲续的 讨论：①由本题的结果看出，玻尔一索末菲轨道量子化条件和普朗克能量量子化的要求是

可化为 ( ) 1 2 2 2 2 2 2 2 =         +   E q E p 上式表明，在相平面中，其轨迹为一椭圆。两半轴分别为 a = 2E ， 2 2  E b = 这个椭圆的面积为 nh v E E E pdq = ab = E  = = =        2 2 2 2 故 E = nhv 上式表明，一维谐振子的能量是量子化的。 方法二：一维谐振子的方程为 0 2 q  + q = 其解为 q = Asin( t +  ) dq = Acos( t +  )dt 而 p = q  = A cos( t +  ) nh v A T A pdq A t dt T  = + = = =   2 2 cos ( ) 2 2 2 2 0 2 2 2         而 sin ( ) 2 1 2 cos ( ) 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2           + + + = + = A t A t q p E = A = nhv 2 2 2 1  （2）设磁场方向垂直于电子运动方向，电子受到的洛仑兹力作为它作圆周运动的向心 力，于是有 R H c e 2   =  。 故 eH c R   = 。 这时因为没有考虑量子化，因此 R 是连续的。应用玻耳—索末菲量子化条件  pdq = nh 这时，把电子作圆周运动的半径转过的角度  作为广义坐标，则对应的广义动量为角动量          R R R H P  = =        =   =     2 2 2 2 1    = = = =         2 0 2 2 2 R nh c eH P d R d R eH n c eH nhc R   = = 2 其中 2 h  = 。 可见电子轨道的可能半径是不连续的。 讨论：①由本题的结果看出，玻尔—索末菲轨道量子化条件和普朗克能量量子化的要求是

一致的。 ②求解本题的(1)时，利用方法（一）在计算上比方法（二）简单，但方法（一）只在 比较简单的情况，例如能直接看出相空间等能面的形状时才能应用。而方法（二）虽 然比较麻烦，但更有一般性。 ③本短所得的诺表子能量。与由量子为学得出的能量三。-（口+》加相比权我们发现 由玻尔一索末菲量子化条件不能得出零点能B。=)加。但能级间的间隔则完全相同。 前一事实说明玻尔理论的不彻底性，它是经典力学加上量子化，它所得出的结果与由 微观世界所遵从的规律一一量子力学得出的结果有偏离就不足为奇了，这也说明旧量 子论必须由量子力学来代替

一致的。 ②求解本题的（1）时，利用方法（一）在计算上比方法（二）简单，但方法（一）只在 比较简单的情况，例如能直接看出相空间等能面的形状时才能应用。而方法（二）虽 然比较麻烦，但更有一般性。 ③本题所得的谐振子能量，与由量子力学得出的能量 E n hv n       = + 2 1 相比较，我们发现 由玻尔—索末菲量子化条件不能得出零点能 E hv 2 1 0 = 。但能级间的间隔则完全相同。 前一事实说明玻尔理论的不彻底性，它是经典力学加上量子化，它所得出的结果与由 微观世界所遵从的规律——量子力学得出的结果有偏离就不足为奇了，这也说明旧量 子论必须由量子力学来代替