《大学物理学》课程作业习题（含解答）第12章作业题

12 -55一打足气的自行车内胎，在t=7.0°C时，轮胎中空气的压强为p=4.0×10°Pa则当温度变为t,=37.0℃时，轮胎内空气的压强P2P，为多少？(设内胎容积不变)分析胎内空气可视为一定量的理想气体，其始末状态均为平衡态，由于气体的体积不变，由理想气体物态方程pV=兴RT可知，压强p与温度T成正比。由此即可求出末态的压强解由分析可知，当T,=273.15+37.0=310.15K，轮胎内空气压强为P,= T,P/T,=4.43×10° Pa可见当温度升高时，轮胎内气体压强变大，因此，夏季外出时自行车的车胎不宜充气太足以免爆胎.12-6有一个体积为1.0×10°㎡2的空气泡由水面下50.0m深的湖底处(温度为4°C)升到湖面上来：若湖面的温度为17.0°C，求气泡到达湖面的体积．（取大气压强为P =1.013x10° Pa)分析将气泡看成是一定量的理想气体，它位于湖底和上升至湖面代表两个不同的平衡状态，利用理想气体物态方程即可求解本题，位于湖底时，气泡内的压强可用公式p=Po+pgh求出，其中p为水的密度（常取p=1.0x10°kg?m)解设气泡在湖底和湖面的状态参量分别为(P1，V，Ti)和(p2,V2，T2)由分析知湖底处压强为PI=P+pgh=Po+pgh，利用理想气体的物态方程-PTT可得空气泡到达湖面的体积为V, = P/TV / p,T =(po +pgh)T,V/ p7 = 6.11×10- ma12-7氧气瓶的容积为3.2×10-m，其中氧气的压强为1.3×107Pa，氧气厂规定压强降到1.0×10°Pa时，就应重新充气，以免经常洗瓶。某小型吹玻璃车间，平均每天用去

12 －5 一打足气的自行车内胎，在 7 0 C o 1 t = . 时，轮胎中空气的压强为 4 0 10 Pa 5 p1 = .  ， 则当温度变为 37 0 C o 2 t = . 时，轮胎内空气的压强 2 p 2 p 为多少？(设内胎容积不变) 分析 胎内空气可视为一定量的理想气体，其始末状态均为平衡态，由于气体的体积不变， 由理想气体物态方程 RT M m pV = 可知，压强p 与温度T 成正比．由此即可求出末态的压 强． 解 由分析可知，当 T2 = 273.15+37.0 = 310.15 K ，轮胎内空气压强为 4 43 10 Pa 5 p2 = T2 p1 / T1 = .  可见当温度升高时，轮胎内气体压强变大，因此，夏季外出时自行车的车胎不宜充气太足， 以免爆胎． 12 －6 有一个体积为 5 3 1.010 m 的空气泡由水面下 50.0 m 深的湖底处(温度为 4 C o )升 到湖面上来．若湖面的温度为 17 0 C o . ，求气泡到达湖面的体积．( 取大气压强为 1 013 10 Pa 5 p0 = .  ) 分析 将气泡看成是一定量的理想气体，它位于湖底和上升至湖面代表两个不同的平衡状 态．利用理想气体物态方程即可求解本题．位于湖底时，气泡内的压强可用公式 p = p0 + gh 求出， 其中ρ为水的密度( 常取 3 3  =1.010 kg m )． 解 设气泡在湖底和湖面的状态参量分别为(p1 ，V1 ，T1 )和(p2 ,V2 ，T2 )．由分析知湖底 处压强为 p1 = p2 + ρgh = p0 + ρgh ，利用理想气体的物态方程 2 2 2 1 1 1 T p V T pV = 可得空气泡到达湖面的体积为 ( ) 5 3 2 1 2 1 / 2 1 0 2 1 / 0 1 6.11 10 m − V = p T V p T = p + ρgh T V p T =  12 －7 氧气瓶的容积为 2 3 3 2 10 m − .  ，其中氧气的压强为 1 3 10 Pa 7 .  ，氧气厂规定压强 降到 1 0 10 Pa 6 .  时，就应重新充气，以免经常洗瓶．某小型吹玻璃车间，平均每天用去

0.40m压强为1.01x105Pa的氧气，问一瓶氧气能用多少天？（设使用过程中温度不变）分析由于使用条件的限制，瓶中氧气不可能完全被使用。为此，可通过两条不同的思路进行分析和求解：（1）从氧气质量的角度来分析。利用理想气体物态方程pV="RT可以分别计算出每天使用氧气的质量m,和可供使用的氧气总质量(即原瓶中氧气的总质量m和需充气时瓶中剩余氧气的质量m之差)，从而可求得使用天数n=(m-m)）/m：(2）从容积角度来分析。利用等温膨胀条件将原瓶中氧气由初态（PI=1.30×10/PaV=3.2×10~m）膨胀到需充气条件下的终态(P,=1.00×10°Pa，V待求)，比较可得P状态下实际使用掉的氧气的体积为V-V·同样将每天使用的氧气由初态（P,=1.01x10°Pa，V,=0.40m）等温压缩到压强为p2的终态，并算出此时的体积V2，由此可得使用天数应为n=(V-V)/V解1根据分析有m = MpV/ / RT ;m = Mp,), / RT;m, = Mp,V, / RT则一瓶氧气可用天数n =(m,-m2)/ m =(p = p2)V// p,Vs = 9.5解2根据分析中所述，由理想气体物态方程得等温膨胀后瓶内氧气在压强为Pz=1.00×10°Pa时的体积为Va=pV/ p每天用去相同状态的氧气容积V=p.V,/ p:则瓶内氧气可用天数为n=(v-V)/V:=(pl-P.)V/p)=9.512-8设想太阳是由氢原子组成的理想气体，其密度可当作是均匀的。若此理想气体的压强为1.35×10*Pa。试估计太阳的温度。（已知氢原子的质量mz=1.67×10-7Pa，太阳

3 0.40 m 压强为 1 01 10 Pa 5 .  的氧气，问一瓶氧气能用多少天？ (设使用过程中温度不变) 分析 由于使用条件的限制，瓶中氧气不可能完全被使用．为此，可通过两条不同的思路进 行分析和求解：(1) 从氧气质量的角度来分析．利用理想气体物态方程 RT M m pV = 可以分 别计算出每天使用氧气的质量 m3 和可供使用的氧气总质量(即原瓶中氧气的总质量 m1 和需 充气时瓶中剩余氧气的质量 m2 之差)，从而可求得使用天数 ( ) n m1 m2 m3 = − / ．(2) 从容积 角 度 来 分 析 ． 利 用 等 温 膨 胀 条 件 将 原 瓶 中 氧 气 由 初 态 ( 1 30 10 Pa 7 p1 = .  , 2 3 1 3 2 10 m − V = .  )膨胀到需充气条件下的终态( 1 00 10 Pa 6 p2 = .  ，V2 待求)，比较可得 2 p 状 态 下 实 际 使用 掉 的 氧气 的 体 积为 V2 −V1 ．同样将每天使用 的 氧 气由 初 态 ( 1 01 10 Pa 5 p3 = .  ， 3 V3 = 0.40 m )等温压缩到压强为p2 的终态，并算出此时的体积V′2 ， 由此可得使用天数应为 ( ) n V2 V1 V2 = − / ． 解1 根据分析有 m1 = Mp1V1 / RT ;m2 = Mp2V2 / RT ;m3 = Mp3V3 / RT 则一瓶氧气可用天数 n = (m1 − m2 )/ m3 = (p1 = p2 )V1 / p3V3 = 9.5 解 2 根 据分 析 中所 述， 由 理想 气体 物态 方 程得 等温 膨胀 后 瓶内 氧气 在压 强 为 1 00 10 Pa 6 p2 = .  时的体积为 V2 p1V1 p2 = / 每天用去相同状态的氧气容积 V2 p3V3 p2  = / 则瓶内氧气可用天数为 n = (V2 −V1 )/V2  = (p1 − p2 )V1 / p3V3 = 9.5 12 －8 设想太阳是由氢原子组成的理想气体，其密度可当作是均匀的．若此理想气体的压 强为 1 35 10 Pa 14 .  ．试估计太阳的温度．(已知氢原子的质量 1 67 10 Pa 27 H − m = .  ，太阳

半径mz=1.67×10-7kg，太阳质量m，=1.99×1030kg）分析本题可直接运用物态方程p=nkT进行计算。解氢原子的数密度可表示为n= m (ma)=ms / mu-gnR)根据题给条件，由p=nkT可得太阳的温度为T = p/ nk = 4rpm,Rg /(3m,k)=1.16×107 K说明实际上太阳结构并非本题中所设想的理想化模型，因此，计算所得的太阳温度与实际的温度相差较大。估算太阳(或星体)表面温度的几种较实用的方法在教材第十五章有所介绍12 -9 一容器内储有氧气，其压强为1.01x10°Pa，温度为27℃，求：(1)气体分子的数密度；(2）氧气的密度：(3）分子的平均平动动能：(4）分子间的平均距离。（设分子间均勾等距排列)分析在题中压强和温度的条件下，氧气可视为理想气体。因此，可由理想气体的物态方程、密度的定义以及分子的平均平动动能与温度的关系等求解.又因可将分子看成是均匀等距排列的，故每个分子占有的体积为V=，由数密度的含意可知V=1/n，即可求出.解(1)单位体积分子数n=p/kT=2.44×10*m(2)氧气的密度P=m/V= pM/RT=1.30 kg.m(3）氧气分子的平均平动动能E, =3kT/2=6.21x10-21 J(4)氧气分子的平均距离d=/n=3.45×10~m通过对本题的求解，我们可以对通常状态下理想气体的分子数密度、平均平动动能、分子间平均距离等物理量的数量级有所了解

半径 1 67 10 kg 27 H − m = .  ，太阳质量 1 99 10 kg 30 mS = .  ) 分析 本题可直接运用物态方程 p = nkT 进行计算． 解 氢原子的数密度可表示为 ( )       = =  3 S H S H π S 3 4 n m / m V mS / m R 根据题给条件，由 p = nkT 可得太阳的温度为 / 4π /(3 ) 1.16 10 K 7 S 3 T = p nk = pmH RS m k =  说明 实际上太阳结构并非本题中所设想的理想化模型，因此，计算所得的太阳温度与实际 的温度相差较大．估算太阳(或星体)表面温度的几种较实用的方法在教材第十五章有所介 绍． 12 －9 一容器内储有氧气，其压强为 1 01 10 Pa 5 .  ，温度为27 ℃，求：(1)气体分子的数 密度；(2) 氧气的密度；(3) 分子的平均平动动能；(4) 分子间的平均距离．(设分子间均匀 等距排列) 分析 在题中压强和温度的条件下，氧气可视为理想气体．因此，可由理想气体的物态方程、 密度的定义以及分子的平均平动动能与温度的关系等求解．又因可将分子看成是均匀等距排 列的，故每个分子占有的体积为 3 V0 = d ，由数密度的含意可知 V0 =1/ n，d 即可求出． 解 (1) 单位体积分子数 25 3 n = p / kT = 2.4410 m (2) 氧气的密度 -3  = m / V = pM / RT =1.30 kg m (3) 氧气分子的平均平动动能 3 2 6 21 10 J 21 k −  = kT / = .  (4) 氧气分子的平均距离 1 3 45 10 m 3 −9 d = / n = .  通过对本题的求解，我们可以对通常状态下理想气体的分子数密度、平均平动动能、分子间 平均距离等物理量的数量级有所了解．

FBF12-102.0×10-2kg氢气装在4.0×103m2的容器内，当容器内的压强为3.90×105Pa时，氢气分子的平均平动动能为多大？分析理想气体的温度是由分子的平均平动动能决定的，即录=3KT/2.因此，根据题中给出的条件，通过物态方程pV=m/MRT，求出容器内氢气的温度即可得系解由分析知氢气的温度T-V，则氢气分子的平均平动能为mR,=3kT/2=3pVM(2mR)=3.8912一11温度为0℃和100℃时理想气体分子的平均平动动能各为多少？欲使分子的平均平动动能等于1eV，气体的温度需多高？解分子在0℃和100℃时平均平动动能分别为, =3kT/2= 5.65×10-1 E, =3kT, /2=7.72×10-21 J由于1eV=1.6x10-19J，因此，分子具有1eV平均平动动能时，气体温度为T=25, /3k=7.73×10° K这个温度约为7.5×103℃.12-12某些恒星的温度可达到约1.0×10K，这是发生聚变反应(也称热核反应)所需的温度,通常在此温度下恒星可视为由质子组成.求：（1）质子的平均动能是多少？(2）质子的方均根速率为多大？分析将组成恒星的大量质子视为理想气体，质子可作为质点，其自由度1=3，因此，质子的平均动能就等于平均平动动能.此外，由平均平动动能与温度的关系mo*/2=3kT/2，可得方均根速率V斤解(1）由分析可得质子的平均动能为,=3mm2/2=3kT/2=2.07×10-15 j(2)质子的方均根速率为

12 －10 2.0×10－2 kg 氢气装在4.0×10-3 m3 的容器内，当容器内的压强为3.90×105Pa时， 氢气分子的平均平动动能为多大？ 分析 理想气体的温度是由分子的平均平动动能决定的，即  k = 3kT / 2 ．因此，根据题中 给出的条件，通过物态方程pV ＝m/MRT，求出容器内氢气的温度即可得 k  ． 解 由分析知氢气的温度 mR MPV T = ，则氢气分子的平均平动动能为  k = 3kT / 2 = 3pVMk(2mR) = 3.89 12 －11 温度为0 ℃和100 ℃时理想气体分子的平均平动动能各为多少？欲使分子的平均 平动动能等于1eV，气体的温度需多高？ 解 分子在0℃和100 ℃时平均平动动能分别为 3 2 5 65 10 J 21 1 1 −  = kT / = .  3 2 7 72 10 J 21 2 2 −  = kT / = .  由于1eV ＝1.6×10－19 J，因此，分子具有1eV平均平动动能时，气体温度为 2 3 7 73 10 K 3 T =  k / k = .  这个温度约为7.5 ×103 ℃． 12 －12 某些恒星的温度可达到约1.0 ×108K，这是发生聚变反应(也称热核反应)所需的温 度.通常在此温度下恒星可视为由质子组成.求：(1) 质子的平均动能是多少？ (2) 质子的方 均根速率为多大？ 分析 将组成恒星的大量质子视为理想气体，质子可作为质点，其自由度 i ＝3，因此， 质 子 的 平 均 动 能 就 等 于 平 均 平 动 动 能 . 此 外 ， 由 平 均 平 动 动 能 与 温 度 的 关 系 / 2 3 / 2 2 mv = kT ，可得方均根速率 2 v . 解 (1) 由分析可得质子的平均动能为 3 / 2 3 / 2 2.07 10 J 2 15 k − ε = mv = kT =  (2) 质子的方均根速率为

=2KT=1.58×10°m-sn12一16在容积为2.0×10=3m3的容器中，有内能为6.75×10J的刚性双原子分子某理想气体.(1）求气体的压强；(2）设分子总数为5.4x102个，求分子的平均平动动能及气体的温度.RT，对刚性双原子分子而言，i=5.由上述内能分析(1）一定量理想气体的内能E=六公式和理想气体物态方程pV=mM RT可解出气体的压强(2)求得压强后，再依据题给数据可求得分子数密度，则由公式p=nkT可求气体温度.气体分子的平均平动动能可由=3kT/2求出.解(1)由E=RT和pV=mMRT 可得气体压强Mp=2E/(iV)=1.35×10' Pa(2)分子数密度1=NV，则该气体的温度T=p/(nk)=pV /(nk)=3.62×10' Pa气体分子的平均平动动能为E = 3kT/2=7.49×10-" J12－17温度相同的氢气和氧气，若氢气分子的平均平动动能为6.21×10-2J，试求(1）氧气分子的平均平动动能及温度；（2）氧气分子的最概然速率分析(1）理想气体分子的平均平动动能=3KT/2，是温度的单值函数，与气体种类无关.因此，氧气和氢气在相同温度下具有相同的平均平动动能，从而可以求出氧气的温度.(2)2RT知道温度后再由最概然速率公式0，=即可求解0pVM解(1）由分析知氧气分子的平均平动动能为=3kT/2=6.21x10-1J，则氧气的温度为：T=2E/3k=300K(2)氧气的摩尔质量M=3.2×10~2kgmol1，则有

2 6 -1 1.58 10 m s 3 = 2 =   m kT v 12 －16 在容积为2.0 ×10－3m3 的容器中，有内能为6.75 ×102J的刚性双原子分子某理想气 体.(1) 求气体的压强；(2) 设分子总数为5.4×1022 个，求分子的平均平动动能及气体的温度. 分析 (1) 一定量理想气体的内能 RT i M m E 2 = ，对刚性双原子分子而言，i＝5.由上述内能 公式和理想气体物态方程pV ＝mM RT 可解出气体的压强.(2)求得压强后，再依据题给数据 可求得分子数密度，则由公式p ＝nkT 可求气体温度.气体分子的平均平动动能可由 εk = 3kT / 2 求出. 解 (1) 由 RT i M m E 2 = 和pV ＝mM RT 可得气体压强 2 ( ) 1 35 10 Pa 5 p = E / iV = .  (2) 分子数密度n ＝N/V，则该气体的温度 ( ) ( ) 3 62 10 Pa 5 T = p / nk = pV / nk = .  气体分子的平均平动动能为 3 2 7 49 10 J 21 k − ε = kT / = .  12 －17温度相同的氢气和氧气，若氢气分子的平均平动动能为6.21×10－21J，试求(1) 氧气分 子的平均平动动能及温度；(2) 氧气分子的最概然速率. 分析 (1) 理想气体分子的平均平动动能 εk = 3kT / 2 ，是温度的单值函数，与气体种类无 关.因此，氧气和氢气在相同温度下具有相同的平均平动动能，从而可以求出氧气的温度.(2) 知道温度后再由最概然速率公式 M 2RT vp = 即可求解vp . 解 (1) 由分析知氧气分子的平均平动动能为 3 2 6 21 10 J 21 k − ε = kT / = .  ，则氧气的温度 为： T = 2εk / 3k = 300 K (2) 氧气的摩尔质量M ＝3.2 ×10－2 kg·mol－1 ，则有

2RT=3.95×10°m·s-Up=M12一21有N个质量均为m的同种气体分子，它们的速率分布如图所示(1）说明曲线与横坐标所包围的面积的含义：(2）由N和0,求a值：(3）求在速率0./2到30。/2间隔内的分子数：（4）求分子的平均平动动能.N(O)A题12-21图分析处理与气体分子速率分布曲线有关的问题时，关键要理解分布函数f()的物理意义f(o)=dN/Ndo，题中纵坐标 Nf(o)=dN /do，即处于速率u附近单位速率区间内的分子数.同时要掌握(o)的归一化条件，即[。(o)do=1.在此基础上，根据分布函数并运用数学方法(如函数求平均值或极值等)，即可求解本题解(1）由于分子所允许的速率在0到20。的范围内，由归一化条件可知图中曲线下的面积J r(olo=1即曲线下面积表示系统分子总数N.(2）从图中可知，在0到v区间内，Nf(o)ao/Uo：而在0到20。区间，Nf(o)=α.则利用归一化条件有-g+a(3)）速率在0/2到30/2间隔内的分子数为AN =-do+" do=7N/12(4）分子速率平方的平均值按定义为

2 1 p 3.95 10 m s 2 − = =   M RT v 12 －21 有N 个质量均为m 的同种气体分子，它们的速率分布如图所示.(1) 说明曲线与横 坐标所包围的面积的含义；(2) 由N 和 0 v 求a 值；(3) 求在速率 0 v /2到3 0 v /2 间隔内的分 子数；(4) 求分子的平均平动动能. 分析 处理与气体分子速率分布曲线有关的问题时，关键要理解分布函数 f (v) 的物理意义. f (v) = dN / Ndv ，题中纵坐标 Nf(v) = dN /dv ，即处于速率v 附近单位速率区间内的分 子数.同时要掌握 f (v) 的归一化条件，即 ( )d 1 0 =   f v v .在此基础上，根据分布函数并运用 数学方法(如函数求平均值或极值等)，即可求解本题. 解 (1) 由于分子所允许的速率在0 到2 0 v 的范围内，由归一化条件可知图中曲线下的面积 ( )d 1 0 =   f v v 即曲线下面积表示系统分子总数N. (2 ) 从图中可知， 在0 到 0 v 区间内， ( ) 0 Nf v av/ v ；而在0 到2 0 v 区间， Nf(v) = α .则利 用归一化条件有 v v v v v   = + 0 0 0 2 0 0 d d v v a a N (3) 速率在 0 v /2到3 0 v /2间隔内的分子数为 Δ d d 7 /12 3 / 2 0 0 0 0 0 a N a N = + =   v v v v v v v (4) 分子速率平方的平均值按定义为

'=I'dN /N =If(o)do故分子的平均平动动能为[12—27若氛气分子的有效直径为2.59×10~scm，间在温度为600K、压强为1.33×1x102Pa时氛分子1s内的平均碰撞次数为多少？分析分子1s内的平均碰撞次数即平均碰撞频率Z=V2d'mo，其中分子数密度n及平均速率可利用物态方程p=nkT和平均速率=(8RT/元M)/?公式分别求出解由分析可得氛分子的平均碰撞频率[-3.81x10sz- 2n m[12－28在一定的压强下，温度为20°℃时，氩气和氮气分子的平均自由程分别为9.9×10*m和27.5×10-8m试求：（1）氩气和氮气分子的有效直径之比：（2）当温度不变且压强为原值的一半时，氮气分子的平均自由程和平均碰撞频率。分析（1）气体分子热运动的平均自由程了=1V2nd’n=kT/(/2nd’p)，因此，温度、压强一定时，平均自由程α1/d.(2）当温度不变时，平均自由程α1/p.解(1)由分析可知ds / ds:=- /ks,/x,=1.67(2）由分析可知氮气分子的平均自由程在压强降为原值的一半时，有，=2m，=5.5x10-7mDN8RT/元MN而此时的分子平均碰撞频率ZN"N2N将T=293K，MN2=2.8×10-2kgmol1代入，可得Zv, =8.56×10° sl

v v d / v f(v)dv 0 2 0 2 2     = N N = 故分子的平均平动动能为 2 0 2 2 0 3 0 2 K 36 31 d d 2 1 2 1 0 0 0 v v v v v v v v v v m N a N a ε m m  =      = = +   12 －27 若氖气分子的有效直径为2.59 ×10－8cm，问在温度为600 K、压强为1.33×1×102 Pa 时氖分子1ｓ内的平均碰撞次数为多少？ 分析 分子1ｓ内的平均碰撞次数即平均碰撞频率 Z d nv 2 = 2π ，其中分子数密度n 及平 均速率 v 可利用物态方程p ＝nkT 和平均速率 ( ) 1/ 2 v = 8RT / πM 公式分别求出. 解 由分析可得氖分子的平均碰撞频率 2 2 6 -1 3.81 10 s π 8 2π 2π =        = = M RT k T p Z d nv d 12 －28 在一定的压强下，温度为20℃时，氩气和氮气分子的平均自由程分别为9.9×10－8m 和27.5×10－8m.试求：(1) 氩气和氮气分子的有效直径之比；(2) 当温度不变且压强为原值的 一半时，氮气分子的平均自由程和平均碰撞频率. 分析( 1 ) 气体分子热运动的平均自由程 λ d n kT ( d p) 2 2 =1 2π = / 2π ，因此，温度、压强 一定时，平均自由程 2 λ 1/ d .(2) 当温度不变时，平均自由程 λ 1/ p . 解 (1) 由分析可知 / / 1.67 Ar N2 N2 Ar d d = λ λ = (2) 由分析可知氮气分子的平均自由程在压强降为原值的一半时，有 2 5.5 10 m 7 N2 N2 − λ = λ =  而此时的分子平均碰撞频率 2 2 2 2 2 N N N N N 2 8 / π λ RT M λ Z =  = v 将T ＝293K，MN2 ＝2.8×10－2 kg·mol－1 代入，可得 8 -1 N 8.56 10 s 2 Z = 