《大学物理学》课程作业习题（含解答）第8章作业题

8一6一铁心上绕有线圈100币，已知铁心中磁通量与时间的关系为@=8.0×105sin100元t(Wb)，求在1=1.0×10-s时，线圈中的感应电动势分析由于线圈有N匝相同回路，线圈中的感应电动势等于各匝回路的感应电动势的代数和，在此情况下，法拉第电微感应定律通常写成=-N--%，其中=N称为微dtdt链解线圈中总的感应电动势=(2.51)cos(100元)当t=1.0x10~s时，=2.51V8一7有两根相距为d的无限长平行直导线，它们通以大小相等流向相反的电流，且电酒均以兴的变化率增长。若有一边长为d的正方形线圈与两导线处于同一平面内，如图所示。求线圈中的感应电动势。题8-7图dd分析本题仍可用法拉第电磁感应定律巴来求解。由于回路处在非均匀磁场中，磁通量就需用Φ=[,B·dS来计算（其中B为两无限长直电流单独存在时产生的磁感强度BI与B 之和），为了积分的需要，建立如图所示的坐标系。由于B仅与x有关，即B=B(x)，故取一个平行于长直导线的宽为dx、长为d的面元dS，如图中阴影部分所示，则dS=ddx，所以，总磁通量可通过线积分求得（若取面元dS=dxdy，则上述积分实际上为二重积分）。本题在工程技术中又称为互感现象，也可用公式 Ew=-M%求解。解1穿过面元ds的磁通量为

8 －6 一铁心上绕有线圈100匝，已知铁心中磁通量与时间的关系为 8.0 10 sin 100π (Wb) 5 Φ =  t ，求在 1.0 10 s −2 t =  时，线圈中的感应电动势． 分析 由于线圈有N 匝相同回路，线圈中的感应电动势等于各匝回路的感应电动势的代数 和，在此情况下，法拉第电磁感应定律通常写成 t ψ t Φ ξ N d d d d = − = − ，其中 ψ = NΦ 称为磁 链． 解 线圈中总的感应电动势 ( ) ( )t t Φ ξ N 2.51 cos 100π d d = − = 当 1.0 10 s −2 t =  时，ξ = 2.51 V ． 8 －7 有两根相距为d 的无限长平行直导线，它们通以大小相等流向相反的电流，且电流 均以 t I d d 的变化率增长．若有一边长为d 的正方形线圈与两导线处于同一平面内，如图所 示．求线圈中的感应电动势． 分析 本题仍可用法拉第电磁感应定律 t Φ ξ d d = − 来求解．由于回路处在非均匀磁场中，磁 通量就需用  =  S Φ B dS 来计算（其中B 为两无限长直电流单独存在时产生的磁感强度B1 与B2 之和）． 为了积分的需要，建立如图所示的坐标系．由于B 仅与x 有关，即 B B x = ( ) ，故取一个平 行于长直导线的宽为ｄx、长为d 的面元ｄS，如图中阴影部分所示，则 dS = ddx ，所以， 总磁通量可通过线积分求得（若取面元 dS = dxdy ，则上述积分实际上为二重积分）．本题 在工程技术中又称为互感现象，也可用公式 t l EM M d d = − 求解． 解1 穿过面元ｄS 的磁通量为

μol ddxdo= B.ds = B, ds+ B, -ds =ddx-2元(x+d)2元x因此穿过线圈的磁通量为- - 2- uolddx= 4HoldInd2再由法拉第电磁感应定律，有--()n4d解2当两长直导线有电流I通过时，穿过线圈的磁通量为=线圈与两长直导线间的互感为M=0-4odin32元4当电流以变化时，线圈中的互感电动势为（)试想：如线圈又以速率v沿水平向右运动，如何用法拉第电磁感应定律求图示位置的电动势呢？此时线圈中既有动生电动势，又有感生电动势。设时刻t，线圈左端距右侧直导线的距离为，则穿过回路的磁通量Φ=[,B·dS=(l,)，它表现为变量/和的二元函数，将Φ代入E=即可求解，求解时应按复合函数求导，注意，其中些=，再令=d即可求得图示位置处回路中的总电动势。最终结果为两项，其中一项为动生电动势，另一项为感生电动势.8-11长为L的铜棒，以距端点r处为支点，以角速率α绕通过支点且垂直于铜棒的轴转动.设磁感强度为B的均匀磁场与轴平行，求棒两端的电势差

( ) d x x μ I d x x d μ I Φ d 2π d 2π d d d d 0 0 1 2 − + = B S = B  S + B  S = 因此穿过线圈的磁通量为 ( ) 4 3 ln 2π d 2π d 2π d 0 2 0 2 0 μ Id x x μ Id x x d μ Id Φ Φ d d d d − = + = =    再由法拉第电磁感应定律，有 t μ d I t Φ E d d 4 3 ln d 2π d 0       = − = 解2 当两长直导线有电流I 通过时，穿过线圈的磁通量为 4 3 ln 2π μ0dI Φ = 线圈与两长直导线间的互感为 4 3 ln 2π μ0d I Φ M = = 当电流以 t l d d 变化时，线圈中的互感电动势为 t μ d I t I E M d d 4 3 ln d 2π d 0       = − = 试想：如线圈又以速率v 沿水平向右运动，如何用法拉第电磁感应定律求图示位置的电动势 呢？此时线圈中既有动生电动势，又有感生电动势．设时刻t，线圈左端距右侧直导线的距 离为ξ，则穿过回路的磁通量 Φ f ( ξ ) S = d = 1,  B S ，它表现为变量I和ξ的二元函数，将Φ代 入 t Φ E d d = − 即可求解，求解时应按复合函数求导，注意，其中 = v t ξ d d ，再令ξ＝d 即可 求得图示位置处回路中的总电动势．最终结果为两项，其中一项为动生电动势，另一项为感 生电动势． 8 －11 长为L的铜棒，以距端点r 处为支点，以角速率ω绕通过支点且垂直于铜棒的轴转 动.设磁感强度为B的均匀磁场与轴平行，求棒两端的电势差．

(b)(a)惠8-11图分析应该注意棒两端的电势差与棒上的动生电动势是两个不同的概念，如同电源的端电压与电源电动势的不同。在开路时，两者大小相等，方向相反（电动势的方向是电势升高的方向，而电势差的正方向是电势降落的方向）。本题可直接用积分法求解棒上的电动势，亦可以将整个棒的电动势看作是OA棒与OB棒上电动势的代数和，如图（b）所示。而EOA和EO B则可以直接利用第8-2节例1给出的结果解1如图（a）所示，在棒上距点O为1处取导体元d1，则Eab= JA (o×B) dl=[" -oBd/ =--oIB(L-2r)因此棒两端的电势差为olB(L-2r)UAB=EAB=-当L>2r时，端点A处的电势较高解2将AB棒上的电动势看作是OA棒和OB棒上电动势的代数和，如图（b）所示.其中[Eou-BorEo-oB(L-)则oBL(L- 2r)Ean =[Fol-|Fos| = -8－12如图所示，长为L的导体棒OP，处于均匀磁场中，并绕00’轴以角速度旋转，棒与转轴间夹角恒为0，磁感强度B与转轴平行。求OP棒在图示位置处的电动势

分析 应该注意棒两端的电势差与棒上的动生电动势是两个不同的概念，如同电源的端电压 与电源电动势的不同．在开路时，两者大小相等，方向相反（电动势的方向是电势升高的方 向，而电势差的正方向是电势降落的方向）．本题可直接用积分法求解棒上的电动势，亦可 以将整个棒的电动势看作是OA 棒与OB 棒上电动势的代数和，如图（ｂ）所示．而EO A 和 EO B 则可以直接利用第８ －2 节例1 给出的结果． 解1 如图（ａ）所示，在棒上距点O 为l 处取导体元ｄl，则 E ( ) ωlB l ωlB(L r) L-r AB r AB 2 2 1 =   d = − d = − −  - v B l 因此棒两端的电势差为 U E ωlB(L r) AB AB 2 2 1 = = − − 当L ＞2r 时，端点A 处的电势较高 解2 将AB 棒上的电动势看作是OA 棒和OB 棒上电动势的代数和，如图（ｂ）所示．其中 2 2 1 E Bωr OA = , ( ) 2 2 1 E ωB L r OB = − 则 E E E ωBL(L r) AB OA OB 2 2 1 = − = − − 8 －12 如图所示，长为L 的导体棒OP，处于均匀磁场中，并绕OO′轴以角速度ω旋转， 棒与转轴间夹角恒为θ，磁感强度B 与转轴平行．求OP 棒在图示位置处的电动势．

题8-12图do计算（此时必须构造一个分析如前所述，本题既可以用法拉第电磁感应定律E=-d包含OP导体在内的闭合回路，如直角三角形导体回路OPQO)，也可用E=[(o×B)-dl来计算。由于对称性，导体OP旋转至任何位置时产生的电动势与图示位置是相同的解1由上分析，得Eop= Jo,(o×B) dl= J,oBsin 90° cos adl= [(sin 00)Bcos(90° -0)=Bsin e[" Id/ - _oB(L sin 0)由矢量U×B的方向可知端点P的电势较高。解2设想导体OP为直角三角形导体回路OPQO中的一部分，任一时刻穿过回路的磁通量Φ为零，则回路的总电动势dd=0=Eop+Epo+EooE=-dt显然，Eoo=0，所以Eop =-Epo =Eoo=B(PO)由上可知，导体棒OP旋转时，在单位时间内切割的磁感线数与导体棒OP等效，后者是重直切割的情况

分析 如前所述，本题既可以用法拉第电磁感应定律 t Φ E d d = − 计算（此时必须构造一个 包含OP导体在内的闭合回路， 如直角三角形导体回路OPQO），也可用 = (  B) dl l E v 来 计算．由于对称性，导体OP 旋转至任何位置时产生的电动势与图示位置是相同的． 解1 由上分析，得 = (  B) dl OP EOP v B α l l o sin 90 cos d  = v ( θω)B ( θ) l l o sin cos 90 d  = l − ( )  = = L ωB θ l l ωB L θ 0 2 2 sin 2 1 sin d 由矢量 v B 的方向可知端点P 的电势较高． 解2 设想导体OP 为直角三角形导体回路OPQO 中的一部分，任一时刻穿 过回路的磁通量Φ为零，则回路的总电动势 EOP EPQ EQO t Φ E = − = 0 = + + d d 显然，EQO ＝0，所以 ( ) 2 2 1 EOP = −EPQ = EQO = ωB PQ 由上可知，导体棒OP 旋转时，在单位时间内切割的磁感线数与导体棒QP 等效．后者是垂 直切割的情况．

8－19截面积为长方形的环形均匀密绕螺绕环，其尺寸如图（a）所示，共有N匝（图中仅画出少量几匝）求该螺绕环的自感(a)(b)题8-19图分析如同电容一样，自感和互感都是与回路系统自身性质（如形状、匝数、介质等）有关的量，求自感L的方法有两种：1，设有电流I通过线圈，计算磁场穿过自身回路的总磁通量，再用公式L=计算L。2．让回路中通以变化率已知的电流，测出回路中的感应电动计算L。式中EL和都较容易通过实验测定，所以此方法一般势EL，由公式Lal / dl适合于工程中。此外，还可通过计算能量的方法求解解用方法1求解，设有电流I通过线圈，线圈回路呈长方形，如图（b）所示，由安培环路定理可求得在R1<r<R2范围内的磁场分布为B=LoNI2元X由于线圈由N匝相同的回路构成，所以穿过自身回路的磁链为W=NJ,B.dS=N"LoNIhdx=LoN"hnR2元X12元则L=兰oN"hinR12元P若管中充满均匀同种磁介质，其相对磁导率为ut，则自感将增大μ倍

8 －19 截面积为长方形的环形均匀密绕螺绕环，其尺寸如图（ａ）所示，共有N 匝（图 中仅画出少量几匝），求该螺绕环的自感L． 分析 如同电容一样，自感和互感都是与回路系统自身性质（如形状、匝数、介质等）有关 的量．求自感L 的方法有两种：1．设有电流I 通过线圈，计算磁场穿过自身回路的总磁通 量，再用公式 I Φ L = 计算L．2．让回路中通以变化率已知的电流，测出回路中的感应电动 势EL ，由公式 I t E L L d / d = 计算L．式中EL 和 t I d d 都较容易通过实验测定，所以此方法一般 适合于工程中．此外，还可通过计算能量的方法求解． 解 用方法1 求解，设有电流I 通过线圈，线圈回路呈长方形，如图（ｂ）所示，由安培环 路定理可求得在R1 ＜r ＜R2 范围内的磁场分布为 x μ NI B 2π 0 = 由于线圈由N 匝相同的回路构成，所以穿过自身回路的磁链为 1 2 2 0 0 ln 2π d 2π d 2 1 R μ N hI R h x x μ NI ψ N N S R R =  = =   B S 则 1 2 2 0 ln 2π R μ N h R I ψ L = 若管中充满均匀同种磁介质，其相对磁导率为μr ，则自感将增大μr倍．

8一20如图所示，螺线管的管心是两个套在一起的同轴圆柱体，其截面积分别为Si和S2磁导率分别为μu和uz，管长为1，匝数为N，求螺线管的自感。（设管的截面很小）t.题8-20图分析本题求解时应注意磁介质的存在对磁场的影响。在无介质时，通电螺线管内的磁场是均匀的，磁感强度为Bo，由于磁介质的存在，在不同磁介质中磁感强度分别为uBo和uB。：通过线圈横截面的总磁通量是截面积分别为S：和S2的两部分磁通量之和。由自感的定义可解得结果。解设有电流1通过螺线管，则管中两介质中磁感强度分别为B,=Mnl=1,B,=μnl=1通过N匝回路的磁链为Y=Y +, = NBS + NB,S,则自感单L=L +L, =Ms, +s,8一23如图所示，一面积为4.0cm2共50匝的小圆形线圈A，放在半径为20cm共100匝的大圆形线圈B的正中央，此两线圈同心且同平面。设线圈A内各点的磁感强度可看作是相同的。求：（1）两线圈的互感：（2）当线圈B中电流的变化率为-50A:s=1时，线圈A中感应电动势的大小和方向

8 －20 如图所示，螺线管的管心是两个套在一起的同轴圆柱体，其截面积分别为S1 和S2 ， 磁导率分别为μ1 和μ2 ，管长为l，匝数为N，求螺线管的自感．（设管的截面很小） 分析 本题求解时应注意磁介质的存在对磁场的影响．在无介质时，通电螺线管内的磁场是 均匀的，磁感强度为B0 ，由于磁介质的存在，在不同磁介质中磁感强度分别为μ1 B0 和μ2 B0 ．通过线圈横截面的总磁通量是截面积分别为S1 和S2 的两部分磁通量之和．由自感的 定义可解得结果． 解 设有电流I 通过螺线管，则管中两介质中磁感强度分别为 I L N B1 = μ1nl = μ1 , I L N B2 = μ2nl = μ2 通过N 匝回路的磁链为 Ψ =Ψ1 +Ψ2 = NB1S1 + NB2S2 则自感 1 1 2 2 2 1 2 μ S μ S l N I ψ L = L + L = = + 8 －23 如图所示，一面积为4.0 cm2 共50 匝的小圆形线圈A，放在半径为20 cm 共100 匝 的大圆形线圈B 的正中央，此两线圈同心且同平面．设线圈A 内各点的磁感强度可看作是 相同的．求：（1） 两线圈的互感；（2） 当线圈B 中电流的变化率为－50 A·ｓ －1 时， 线圈A 中感应电动势的大小和方向．

20cmOA题8-23图分析设回路中通有电流l，穿过回路II的磁通量为Φ21，则互感M=M21=Φ21li：也可设回路通有电流/h，穿过回路1的磁通量为012，则M=M12=虽然两种途径所得结果相同，但在很多情况下，不同途径所涉及的计算难易程度会有很大的不同。以本题为例，如设线圈B中有电流I通过，则在线圈A中心处的磁感强度很易求得由于线圈A很小，其所在处的磁场可视为均匀的，因而穿过线圈A的磁通量~BS.反之，如设线圈A通有电流I，其周围的磁场分布是变化的，且难以计算，因而穿过线圈B的磁通量也就很难求得，由此可见，计算互感一定要善于选择方便的途径。解（1）设线圈B有电流I 通过，它在圆心处产生的磁感强度B,=N祭穿过小线图A的磁链近似为WA- N,BS,=NAN.S.则两线圈的互感为M=4=N,No=6.28x10-* H2R(2) E,=-M% =3.14×10-* v互感电动势的方向和线圈B中的电流方向相同3-24如图所示，两同轴单匝线圈A、C的半径分别为R和r，两线圈相距为d.若r很小可认为线圈A在线圈C处所产生的磁场是均匀的。求两线圈的互感。若线圈C的匝数为N匝，则互感又为多少？

分析 设回路Ⅰ中通有电流I1 ，穿过回路Ⅱ的磁通量为Φ21 ，则互感M ＝M21 ＝Φ21I1 ；也 可设回路Ⅱ通有电流I2 ，穿过回路Ⅰ的磁通量为Φ12 ，则 2 12 12 I Φ M = M = ． 虽然两种途径所得结果相同，但在很多情况下，不同途径所涉及的计算难易程度会有很大的 不同．以本题为例，如设线圈B 中有电流I 通过，则在线圈A 中心处的磁感强度很易求得， 由于线圈A 很小，其所在处的磁场可视为均匀的，因而穿过线圈A 的磁通量Φ≈BS．反之， 如设线圈A 通有电流I，其周围的磁场分布是变化的，且难以计算，因而穿过线圈B 的磁通 量也就很难求得，由此可见，计算互感一定要善于选择方便的途径． 解 （1） 设线圈B 有电流I 通过，它在圆心处产生的磁感强度 R μ I B NB 2 0 0 = 穿过小线圈A 的磁链近似为 A A A A B SA R μ I ψ N B S N N 2 0 = 0 = 则两线圈的互感为 6.28 10 H 2 0 −6 = = =  R μ S N N I ψ M A A B A （2） 3.14 10 V d d −4 = − =  t I EA M 互感电动势的方向和线圈 B 中的电流方向相同． 8 －24 如图所示，两同轴单匝线圈A、C 的半径分别为R 和r，两线圈相距为d．若r很小， 可认为线圈A 在线圈C 处所产生的磁场是均匀的．求两线圈的互感．若线圈C 的匝数为N 匝，则互感又为多少？

题8-24图解设线圈A中有电流I通过，它在线圈C所包围的平面内各点产生的磁感强度近似为PoIR?B=2(R2 +da"2穿过线圈C的磁通为L.IR=BSc2(R2 + d°)/2则两线圈的互感为Ho元r'R?M-Y1=2(R? +d-)"若线圈C的匝数为N匝，则互感为上述值的N倍。8一26一个直径为0.01m，长为0.10m的长直密绕螺线管，共1000匝线圈，总电阻为7.76Q、求：（1）如把线圈接到电动势E=2.0V的电池上，电流稳定后，线圈中所储存的磁能有多少？磁能密度是多少？*（2）从接通电路时算起，要使线圈储存磁能为最大储存磁能的一半，需经过多少时间？分析单一载流回路所具有的磁能，通常可用两种方法计算：（1）如回路自感为L（已知或很容易求得），则该回路通有电流I时所储存的磁能W=LP，通常称为自感磁能，（2)由于载流回路可在空间激发磁场，磁能实际是储存于磁场之中，因而载流回路所具有的能量又可看作磁场能量，即W。=J,w,dV，式中w为磁场能量密度，积分遍及场存在的空间。由于w.m因而采用这种方法时应首先求载流回路在空间产生的磁感强度B的分2u

解 设线圈A 中有电流I 通过，它在线圈C 所包围的平面内各点产生的磁 感强度近似为 ( ) 3 / 2 2 2 2 0 2 R d μ IR B + = 穿过线圈C 的磁通为 ( ) 2 3 / 2 2 2 2 0 π 2 r R d μ IR ψ BSC + = = 则两线圈的互感为 ( ) 3 / 2 2 2 2 2 0 2 π R d μ r R I ψ M + = = 若线圈 C 的匝数为 N 匝，则互感为上述值的 N 倍． 8 －26 一个直径为0.01 m，长为0.10 m 的长直密绕螺线管，共1 000 匝线圈，总电阻 为7.76 Ω．求：（1） 如把线圈接到电动势E ＝2.0 V 的电池上，电流稳定后，线圈中所 储存的磁能有多少？ 磁能密度是多少？*（2） 从接通电路时算起，要使线圈储存磁能为最 大储存磁能的一半，需经过多少时间？ 分析 单一载流回路所具有的磁能，通常可用两种方法计算：（1） 如回路自感为L（已知 或很容易求得），则该回路通有电流I 时所储存的磁能 2 2 1 W LI m = ，通常称为自感磁能．（2） 由于载流回路可在空间激发磁场，磁能实际是储存于磁场之中，因而载流回路所具有的能量 又可看作磁场能量，即 W w V V m md  = ，式中 wm 为磁场能量密度，积分遍及磁场存在的空 间．由于 μ B wm 2 2 = ，因而采用这种方法时应首先求载流回路在空间产生的磁感强度B 的分

布。上述两种方法还为我们提供了计算自感的另一种途径，即运用LI=[wdV求解L.解（1）密绕长直螺线管在忽略端部效应时，其自感L=S，电流稳定后，线圈中电流I：则线圈中所储存的磁能为W.-ur-4SE-328x10 21R在忽略端部效应时，该电流回路所产生的磁场可近似认为仅存在于螺线管中，并为均匀磁场，故磁能密度wm处处相等，Wm==4.17J·m*3（2）自感为L，电阻为R的线圈接到电动势为E的电源上，其电流变化规律[(1-]，当电流稳定后，其最大值I=，则1-，将其代入1=按题意=中，得110L212R-[1-号]-n(+2)-1,56×10*s=二-8一13如图（a）所示，金属杆AB以匀速=2.0ms-平行于一长直导线移动，此导线通有电流3一端电势较高？40A，求杆中的感应电动势，杆的哪010ml1.0 m(a)(b)题8-13图

布．上述两种方法还为我们提供了计算自感的另一种途径，即运用 LI w V V md 2 1 2  = 求解L． 解 （1） 密绕长直螺线管在忽略端部效应时，其自感 l N S L 2 = ，电流稳定后，线圈中电 流 R E I = ，则线圈中所储存的磁能为 3.28 10 J 2 2 1 5 2 2 2 2 0 − = = =  lR μ N SE W LI m 在忽略端部效应时，该电流回路所产生的磁场可近似认为仅存在于螺线管 中，并为均匀磁场，故磁能密度 wm 处处相等， 3 4.17 J m − = =  SL W w m m （2） 自感 为L， 电阻为R 的线 圈接到 电动势 为E 的 电源上 ，其电 流变 化规律         = − − t L R e R E I 1 ，当电流稳定后，其最大值 R E Im = 按题意1       = 2 2 2 1 2 1 2 1 LI LIm ，则 R E I 2 2 = ，将其代入         = − − t L R e R E I 1 中，得 ln (2 2) 1.56 10 s 2 2 ln 1 −4  = + =       = − − R L R L t 8 －13 如图（ａ）所示，金属杆AB 以匀速 1 2.0m s− v =  平行于一长直导线移动，此导线 通有电流I ＝40A．求杆中的感应电动势，杆的哪一端电势较高？

分析本题可用两种方法求解。（1）用公式E=[(o×B)·dl求解，建立图（a）所示的坐标系，所取导体元d/=dx，该处的磁感强度B=ol.：（2）用法拉第电磁感应定律求解，需构造一个包含杆AB在内的闭合回路。为此可设想杆AB在一个静止的形导轨上滑动，如图（b）所示。设时刻t，杆AB距导轨下端CD的距离为y，先用公式Φ=[B·dS求得穿，即可求得回路的电动势，亦即本题杆中的电动过该回路的磁通量，再代入公式E势解1根据分析，杆中的感应电动势为Ean= J. (o×B).dl= dxl=-Tmodx=-4gin11=-3.84×10-s V式中负号表示电动势方向由B指向A，故点A电势较高。解2设顺时针方向为回路ABCD的正向，根据分析，在距直导线x处，取宽为dx、长为y的面元d.s，则穿过面元的磁通量为d = B-ds = Hol ydxT穿过回路的磁通量为-1--21回路的电动势为n11%-3.84x10E=-01由于静止的形导轨上电动势为零，所以EAB = E = -3.84×10-5 V式中负号说明回路电动势方向为逆时针，对AB导体来说，电动势方向应由B指向A，故点A电势较高.8-17半径为R=2.0cm的无限长直载流密绕螺线管，管内磁场可视为均匀磁场，管外磁场可近似看作零，若通电电流均匀变化，使得磁感强度B 随时间的变化率些为常量，且B=0.010T.s,为正值，试求：（1）管内外由磁场变化激发的感生电场分布；（2）女求距螺线管中心轴r=5.0cm处感生电场的大小和方向

分析 本题可用两种方法求解．（1） 用公式 = (  B) dl l E v 求解，建立图（a）所示的 坐标系，所取导体元 dl = dx，该处的磁感强度 x μ I B 2π 0 = ．（2） 用法拉第电磁感应定律求 解，需构造一个包含杆AB 在内的闭合回路．为此可设想杆AB在一个静止的形导轨上滑动， 如图（ｂ）所示．设时刻t，杆AB 距导轨下端CD的距离为y，先用公式  =  S Φ B dS 求得穿 过该回路的磁通量，再代入公式 t Φ E d d = − ，即可求得回路的电动势，亦即本题杆中的电动 势． 解1 根据分析，杆中的感应电动势为 ( ) ln11 3.84 10 V 2π d 2π d d 0 5 1.1m 0.1m 0 − =   = = − = − = −    v v v μ I x x μ E x l AB AB B l 式中负号表示 电动势方向由B 指向A，故点A 电势较高． 解2 设顺时针方向为回路ABCD 的正向，根据分析，在距直导线x 处，取宽为ｄx、长为y 的 面元ｄS，则穿过面元的磁通量为 y x x μ I Φ d 2π d d 0 = B  S = 穿过回路的磁通量为 ln 11 2π d 2π d 0 1.1m 0.1m 0   = = = − S μ Iy y x x μ I Φ Φ 回路的电动势为 3.84 10 V d 2π d ln 11 d 2π d 0 0 −5 = − = − = − = −  μ Iy t y x μ I t Φ E 由于静止的形导轨上电动势为零，所以 3.84 10 V −5 EAB = E = −  式中负号说明回路电动势方向为逆时针，对AB 导体来说，电动势方向应由B 指向A，故点A 电 势较高． 8 －17 半径为R ＝2.0 cm 的无限长直载流密绕螺线管，管内磁场可视为均匀磁场，管外 磁场可近似看作零．若通电电流均匀变化，使得磁感强度B 随时间的变化率 dt dB 为常量，且 为正值，试求：（1） 管内外由磁场变化激发的感生电场分布；（2） 如 1 0.010 T s d d − =  t B ， 求距螺线管中心轴r ＝5．0 cm处感生电场的大小和方向．