《量子力学》课程教学资源（习题解答）第二章 波函数和薛定谔方程

第二章习题解答 p52 2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。 证：对于定态，可令 平(f,t)=w(F)f(t) Ge海 2m() 了、 品 -vv间-vGw 可见与无关。 2.2由下列定态波函数计算几率流密度： w,=1e (2w2=1e 从所得结果说明以表示向外传播的球面波，以，表示向内（即向原点）传播的球面波。 解：j和j,只有r分量 在球中v=6景+品治+D品 .1a 10 01-wi-iw e女e所 2mr or r 2m7 rr k j,与同向。表示向外传播的球面波。 1

1 第二章习题解答 p.52 2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。 证：对于定态，可令 [ (r) (r) (r) (r)] 2m i [ (r)e (r)e (r)e (r)e ] 2m i ( ) 2m i J (r)e (r t) (r)f(t) * * E t i E t i * * E t i E t i * * E t i                                    =  −  =  −  =  −  = = − − − − − （ ） （ ） ， 可见 J与t  无关。 2.2 由下列定态波函数计算几率流密度： ikr ikr e r e r − = = 1 (2) 1 (1)1  2 从所得结果说明 1 表示向外传播的球面波，  2 表示向内(即向原点) 传播的球面波。 解： J1和J 2只有r分量   在球坐标中        +   +    = rsin 1 e r 1 e r r0    r mr k r mr k r r ik r r r ik m r r i e r r r e r e r r e m r i m i J ikr ikr ikr ikr           2 0 3 2 2 0 0 1 * 1 * 1 1 1 )] 1 1 ( 1 ) 1 1 ( 1 [ 2 )] 1 ( 1 ) 1 ( 1 [ 2 ( ) 2 (1) = = = − − − − +   −   = =  −  − −     J r 1   与 同向。表示向外传播的球面波

②)，=边w,w-,Vw) 2m ih 1 (e)-e1 (仁er)】6 Or r r or r 访1,1 1.11 2m京+k- (- ,rr-k派 =一 可见，了，与反向。表示向内（即向原点）传播的球面波 补充：设yW(x)=临，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？ “y*wdk=k=∞ ∴，波函数不能按x)k=1方式归一化。 其相对位置几率分布函数为 O==1表示粒子在空间各处出现的几率相同。 2.3一粒子在一维势场 o,xa 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 解：U(x)与t无关，是定态问题。其定态S一方程 2d2 2m在)+U(rwx)=E 在各区域的具体形式为 I:xa G+Uw因)=E4③ 由于()(3)方程中，由于U(x)=0,要等式成立，必须 4(x)=0 (x)=0 2

2 r mr k r mr k )]r r 1 ik r 1 ( r 1 ) r 1 ik r 1 ( r 1 [ 2m i e )]r r 1 ( r e r 1 e ) r 1 ( r e r 1 [ 2m i ( ) 2m i (2) J 2 0 3 2 2 0 0 ikr ikr ikr ikr * 2 * 2 2 2           = − = − = − + − − −   −   = =  −  − −     可见， J r   2与 反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。 补充：设 ikx (x) = e ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？ = =      *dx dx ∴波函数不能按 ( ) 1 2 =   x dx 方式归一化。 其相对位置几率分布函数为 1 2  =  = 表示粒子在空间各处出现的几率相同。 2.3 一粒子在一维势场            = x a x a x U x ， ， ， 0 0 0 ( ) 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 解： U(x)与t 无关，是定态问题。其定态 S—方程 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x U x x E x dx d m −  +  =   在各区域的具体形式为 Ⅰ： ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 1 1 1 2 2 x U x x E x dx d m x  −  +  =   ① Ⅱ： ( ) ( ) 2 0 2 2 2 2 2 x E x dx d m  x  a −  =   ② Ⅲ： ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 2 2 x U x x E x dx d m x  a −  +  =   ③ 由于(1)、(3)方程中，由于 U(x) =  ，要等式成立，必须 1 (x) = 0  2 (x) = 0

即粒子不能运动到势阱以外的地方去。 方程2可变为d,(四，2mE 方2%(x)=0 争，海 dy2(因+k2w,(x)=0 其解为2(x)=Asin kx+Bcosk④ 根据波函数的标准条件确定系数A,B,由连续性条件，得 2(0)=41(0) (a=(a⑥ ⑤→B=0 :A≠0 ©→Asin ka=0 .'sin ka=0 三ka=nπ(n=1,2,3,) 由归一化条件 w(x)dx=1 得4sn2mx=1 由snm x*sin a a xds-16. 4-月 a 2=2mE (n=1,2,3,)可见E是量子化的 对应于E,的归一化的定态波函数为 ,0≤x≤a a 0 xa 3

3 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。 方程(2)可变为 ( ) 0 ( ) 2 2 2 2 2 2 + x = mE dx d x    令 2 2 2  mE k = ，得 ( ) 0 ( ) 2 2 2 2 2 + k x = dx d x   其解为 (x) Asin kx Bcoskx  2 = + ④ 根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件，得 (0) (0)  2 =1 ⑤ ( ) ( )  2 a = 3 a ⑥ ⑤  B = 0 ⑥  Asin ka = 0 ( 1, 2, 3, ) sin 0 0    = =  =  k a n n k a A  ∴ x a n x A   2 ( ) = sin 由归一化条件 ( ) 1 2 =   x dx 得 sin 1 0 2 2 =  a xdx a n A  由 mn a b a xdx a n x a m      = 2 sin sin x a n a x a A   sin 2 ( ) 2  2 =  = 2 2 2   mE k = ( 1,2,3, ) 2 2 2 2 2    = n n = ma En  可见 E 是量子化的。 对应于 En 的归一化的定态波函数为          = − x a x a x e x a a n x t a E t i n n 0, , sin , 0 2 ( , )    #

24医用Q6式中的自化常数是：后 A'sn"匹(x+a,H<a (2.6-14) 0. xza 由归一化，得 1=w.fk=Asn2mx+a达 -cos a a A"a “归一化常数A=人 # a 2.5求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。 保w-品气2aen .(x)=lM(x)-4a.a-.xe 2元 23 √元 x2er =2r[2x-2x2x3e-a3 dx 今d加，田=0，得 dx x=0 x=± x=too 由0，(x)的表达式可知，x=0,x=士0时，0，(x)=0。显然不是最大几率的位置。 mi d'o(x)=2a[(2-6a2x2)-2a'x(2x-2a'x)le dx2 -sa'x-2a')e =4a 4

4 2.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是 a A 1  = 证：        +  = x a x a x a a n A n 0, sin ( ),   （2.6-14） 由归一化，得 A a x a a n n A a A a x a dx a A n x A x a dx a n A x a dx a n dx A a a a a a a a a a a n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin ( ) 2 cos ( ) 2 2 [1 cos ( )] 2 1 1 sin ( ) =   +  =  − +  −  = =  − + = =  + − − − −  −           ∴归一化常数 a A 1  = # 2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。 解： 2 2 2 1 2 2 ( ) x x xe      − =  2 2 2 2 2 3 2 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) 4 x x x e x x x e          − − =  = =   2 2 [2 2 ] ( ) 2 2 3 3 1 x x x e dx d x      − = − 令 0 ( ) 1 = dx d x ，得 x = x =  x =  1 0  由 ( ) 1  x 的表达式可知， x = 0，x =  时， 1 (x) = 0 。显然不是最大几率的位置。 2 2 2 2 [(1 5 2 )] 4 [(2 6 ) 2 (2 2 )] ( ) 2 2 2 4 4 3 2 2 2 2 3 3 2 1 2 x x x x e x x x x e dx d x             − − = − − 而 = − − −

diw (x) =-24c10a 0. x≤a 运动，求束缚态(0<E<U。)的能级所满足的方程。 解：粒子所满足的S-方程为

5 0 4 1 2 ( ) 3 2 1 2 1 2 = −  = dx e d x x    可见    =  =  1 x 是所求几率最大的位置。 # 2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称： U(−x) = U(x) ，证明粒子的定态波函 数具有确定的宇称。 证：在一维势场中运动的粒子的定态 S-方程为 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x U x x E x dx d     − + =  ① 将式中的 x以(−x) 代换，得 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x U x x E x dx d −  − + −  − =  −   ② 利用 U(−x) = U(x) ，得 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x U x x E x dx d −  − +  − =  −   ③ 比较①、③式可知， (−x)和(x) 都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函 数。由于它们描写的是同一个状态，因此 (−x)和(x) 之间只能相差一个常数 c 。方程 ①、③可相互进行空间反演 (x  −x) 而得其对方，由①经 x →−x 反演，可得③，  (−x) = c(x) ④ 由③再经 − x → x 反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。  (x) = c(−x) ⑤ ④乘 ⑤，得 (x) ( x) c (x) ( x) 2   − =   − 可见， 1 2 c = c = 1 当 c = +1 时，  (−x) = (x)，(x) 具有偶宇称， 当 c = −1 时， (−x) = −(x)，(x) 具有奇宇称， 当势场满足 U(−x) = U(x) 时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。 # 2.7 一粒子在一维势阱中        = x a U x a U x 0, 0, ( ) 0 运动，求束缚态( 0  E  U0 )的能级所满足的方程。 解：粒子所满足的 S-方程为

方2d2 2在)+Uxw)=E 按势能U(x)的形式分区域的具体形式为 2d,()+Uo%,(x)=Ew,N) -0<x<a① H: 2d2 2,6x)=E4,) -a≤x≤a ② -2d,N)+Uo,)=E4,(x) a<x<oo 整理后，得 1:-24。-Eg=0 方2 ④ :g+2=0 ⑤ m:g-20。-A%=0 方2 令=2U-E) 候=2E 方2 方2 则 I:-k2g=0 ⊙ Ⅱ：.-ky2=0 ⑧ Π：w写-kw,=0 ⑨ 各方程的解为 W Aeka +Bekax W2 Csin k2x+Dcosk2x W3 Ee*ki +Fe-kox 由波函数的有限性，有 以，(-0)有限 →A=0 ,(∞)有限 →E=0 因此 V =Bek V3 Fe-kux 由波函数的连续性，有 6

6 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x U x x E x dx d     − + =  按势能 U(x) 的形式分区域的具体形式为 Ⅰ： (x) U (x) E (x) dx d 2 2 1 0 1 1 2 2     − + =  −  x  a ① Ⅱ： ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 x E x dx d    − =  − a  x  a ② Ⅲ： (x) U (x) E (x) dx d 2 2 3 0 3 3 2 2     − + =  a  x   ③ 整理后，得 Ⅰ： 0 2 ( ) 2 1 0 1 = − −     U E ④ Ⅱ：. 0 2 E 2  + 2  2 =    ⑤ Ⅲ： 0 2 ( ) 2 3 0 3 = −  −     U E ⑥ 令 2 2 2 2 2 0 1 2 2 ( )   E k U E k   = − = 则 Ⅰ： 1 0 2 1 − k1 = ⑦ Ⅱ：. 2 0 2  2  − k2 = ⑧ Ⅲ： 1 0 2  3  − k1 = ⑨ 各方程的解为 k x k x 3 2 2 2 k x k x 1 1 1 1 1 Ee Fe Csin k x Dcos k x Ae Be + − − = + = + = +    由波函数的有限性，有 ( ) 0 ( ) 0 3 1   = −  = E A 有限 有限   因此 k x 3 k x 1 1 1 Fe Be − = =   由波函数的连续性，有

W(-a)=W:(-a).=Be-k#=-Csin ka+Dcoska (10) W(-a)=w2(-a)k Be-k=k,Ccosk,a+k,Dsin k,a (11) W2(a)=W(a),Csin ka+Dcosk,a=Fe-ka (12) w:(a)=w:(a).k.Ccoska-k.Dsin k.a=-k,Fe-k (13) 整理(10)、(11)、(12）)、(13)式，并合并成方程组，得 e-kB+sin kaC-cosk,aD+0=0 k e-kB-k2 cosk2aC-k2 sin k2a D+0=0 0+sin k2aC+cosk2aD-e-kF=0 0+k2 coskaC-k2 sin k2aD+k e~kF=0 解此方程即可得出B、C、D、F,进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解， 必须 e-ka sin k,a -cosk,a 0 k.e-ka-k2 coska-k2 sin k2a 0 0 sin ka cosk,a e-ka /=0 0 k2 coska -k:sin ka k,Be -k2 cosk2a -k2 sin k2a 0 0=ek sin kza cosk,a -eke- k2 cosk2a -k2 sin k2a k e-k sin k,a -cosk,a 0 -k eka sin k;a coskaa -e-ka k cosk:a -k,sin ka kea =e-k [-k k2e-kia cos2k2a+ke-ke sin k2acoska+ +k kek sin 2ka+ke-k sin kacoska]- -k e-k [k e-ka sin k,acosk,a+k,e-ke cos2ka+ +k e-k sin k,a cosk,a-k,e-ki sin2k,a] e-2ke [-2k k2 cos2ka+k sin 2ka-k"sin 2k2a] e-2k [(k2-ki)sin 2k2a-2k k2 cos2ka] ,e2k如≠0 ∴.(k好-k)sin2k2a-2 kk.cos2k2a=0 即(k好-k2)g2k,a-2k,k2=0为所求束缚态能级所满足的方程。# 方法二：接(13)式 -Csin k:a+Dcosk:a-Ccoska+Dsin k:a k 7

7 (a) (a), k Ccos k a k Dsin k a k Fe (13) (a) (a), Csin k a Dcos k a Fe (12) ( a) ( a), k Be k Ccos k a k Dsin k a (11) ( a) ( a), Be Csin k a Dcos k a (10) k a 2 3 2 2 2 2 1 k a 2 3 2 2 2 2 2 2 k a 1 2 1 2 2 k a 1 2 1 1 1 1 − − − −  =   − = − =  + =  − =  −  = + − = −  = − +         整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得 0 k cos k aC k sin k aD k e F 0 0 sin k aC cos k aD e F 0 k e B k cos k aC k sin k a D 0 0 e B sin k aC cos k aD 0 0 k a 2 2 2 2 1 k a 2 2 2 2 2 2 k a 1 2 2 k a 1 1 1 1 + − + = + + − = − − + = + − + = − − − − 解此方程即可得出 B、C、D、F，进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解， 必须 0 0 k cos k a k sin k a k Be 0 sin k a cos k a e k e k cos k a k sin k a 0 e sin k a cos k a 0 k a 2 2 2 2 1 k a 2 2 2 2 2 2 k a 1 2 2 k a 1 1 1 1 = − − − − − − − − e [(k k )sin 2k a 2k k cos 2k a] e [ 2k k cos 2k a k sin 2k a k sin 2k a] k e sin k a cos k a k e sin k a] k e [k e sin k a cos k a k e cos k a k k e sin k a k e sin k a cos k a] e [ k k e cos k a k e sin k a cos k a k cos k a k sin k a k e sin k a cos k a e sin k a cos k a 0 k e k cos k a k sin k a k e sin k a cos k a e k cos k a k sin k a 0 0 e 2 1 2 2 2 1 2 2 2k a 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2k a 2 k a 2 2 2 2 k a 1 2 k a 2 2 2 2 k a 1 k a 1 2 2 2 k a 2 2 k a 2 1 2 2 2 2 k a 2 2 k a 2 1 2 k a k a 2 2 2 2 1 k a 2 2 2 2 k a 1 k a 2 2 2 2 1 k a 2 2 2 2 2 2 k a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − − = − + − + − − + + + + − = − + + = − − − − − − − − − = − − − − − − − − − − − − − − − − − − ∵ 0 2 1  − k a e ∴ ( )sin 2 2 2 1 2 cos2 2 0 2 1 2 k2 − k k a − k k k a = 即 ( ) 2 2 2 1 2 0 2 1 2 k2 − k tg k a − k k = 为所求束缚态能级所满足的方程。# 方法二：接（13）式 Dsin k a k k Ccos k a k k Csin k a Dcos k a 2 1 2 2 1 2 − 2 + 2 = +

Cmk:a+Dcosk:Cosk.+Dsk. k -cosk,a+sink,a ksink;a-cosk;a =0 cosk,a+sink,a-(-sink,a-cosk,a) k k、 -(么cosk,a+sink,a)-sink,a-cosk,a） k -(cosk:a+sink:a)*sink:a-cosk:a)=0 K. k. (会-cosk.a+snk,ao管sna-cosk:）=0 家.acosk.n+-套sm'ka kcos'ka-sinkaacoska-0 k 1* _:-0 )im2ka- (k2-ki)sin 2kza-2k k2 cos2kza=0 另一解法： (11)-(13)=2k Dsin k2a=k e-h(B+F) (10)+(12)→2 Dcosk2a=e*(B+F) 11)-13) →k2t2a=k1 (a) (10)+(12) (11)+(13)→2k,Ceosk,2a=-k,(F-B)e (12)-(10)→2Csnk,a=(F-Be- )+(3→k2cgk,a=-k (b) (12)-(10) 令5=k,a,n=k2,则 5g5=n (c) 或 5ctg5=-1 (d) 5+m2=(:+k)=2Ua (f) h 合并(a(b): tg2k,a= 2k k2 利用g2k2a= 2tgk,a k好-k好 1-tg"k2a 8

8 Dsin k a k k Ccosk a k k Csin k a Dcos k a 2 1 2 2 1 2 2 + 2 = − + ( )sin2 2k cos 2 0 cos 2 0 2 ( 1 )sin2 sin cos sin cos sin cos 0 ( cos sin )( sin cos ) 0 ( cos sin )( sin cos ) 0 ( cos sin )( sin cos ) 0 cos sin ( sin cos ) cos sin sin cos 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 − − = − + − = + − − = + − = − + − = − + − = + − − + − k k k a k k a k a k k k a k k k a k a k a k k k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k # 另一解法： (11)-(13) 2 sin ( ) 1 k2D k2a k1 e B F k a  = + − (10)+(12) 2Dcosk a e (B F) k a 2 1  = + − k tgk a k (a) (10) (12) (11) (13)  2 2 = 1 + − (11)+(13) ik a k C k a k F B e 1 2 cos ( ) 2 2 1 −  = − − (12)-(10) ik a 2 1 2Csin k a (F B)e −  = − 令  = k2a， = k2a， 则 ctg (d) tg (c)       = − = 或 (f) 2 U a (k k ) 2 2 2 0 2 2 1 2 2    + = + = 合并 (a)、(b) ： 2 1 2 2 1 2 2 2 2 k k k k tg k a − = 利用 1 tg k a 2tgk a tg2k a 2 2 2 2 − = k ctgk a k （b） (12) (10) (11) (13)  2 2 = − 1 − +

# 2-7一粒子在一维势阱 U=,>0,H>a 0,x≤a 中运动，求束缚态(O<E<U,)的能级所满足的方程， 解：（最简方法-平移坐标轴法） 1:、 24+U4,=Eg, (X≤0)】 2nVi-EV (0<x<2a) 方2 m:-22+U,%=Bw,（x≥2a） [vi-2mU-Ey,-0 方2 产4，=0 g-2U-E,=0 方2 -k,=0(1) k3=24(U。-E)/h +k3w2=0(2) k3=2E/h2 束缚态0<E<U, w-k3=0(3) V =Aethuz +Be-hur W2 =Csin k2x+Dcoskx Ψ3=Eet+Fe ”1(-o)有限 →B=0 "(o)有限 →E=0 因此 9,=Ae V3=Fe-hu 由波函数的连续性，有 9

9 # 2-7 一粒子在一维势阱       = x a U x a U x 0, 0, ( ) 0 中运动，求束缚态 (0 )  E  U0 的能级所满足的方程。 解：（最简方法-平移坐标轴法） Ⅰ： 1 0 1 1 2 2     − + U = E  （χ≤0） Ⅱ： 2 2 2 2    −  = E  （0＜χ＜2 a ） Ⅲ： 3 0 3 3 2 2     −  + U = E  （χ≥2 a ）          = −  −  + = = −  −  0 2 ( ) 0 2 0 2 ( ) 2 3 0 3 2 2 2 2 1 0 1             U E E U E       − =  + = = − = = − k 0 (3) k 0 (2) k 2 E k 0 (1) k 2 (U E) 3 2 3 1 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 1 1 2 1 1           束缚态 0 ＜ E ＜ U0 k x k x k x k x Ee Fe C k x D k x Ae Be 1 1 1 1 3 2 2 2 1 sin cos + − + − = + = + = +    ( ) 0 ( ) 0 3 1   = −   = E B 有限 有限   因此 k x k x Fe Ae 1 1 3 1 − =  =   由波函数的连续性，有

41(0)=42(0),→A=D (4) (0)=w50),→k,A=k,C (5) W2(2a)=Wj(2a),=k2Ccos2k2a-k2 Dsin 2ka=-k Fe-2k (6) W2(2a)=W(2a),Csin 2ka+Dcos2ka Fe-2ki (7) (7)代入(6) Csin2k:a+Dcos2k:a=-kCcos2k:a+Dsin2k:a K. k. 利用（④）、（⑤），得 Asn2k,a+Acos2k,a=-Acos2水，a+ k2 K2 Dsin 2k2a Ag是m2业a+2a2同=0 :A≠0 度-2m2+2a2a=0 两边乘上(-kk2)即得 (k2-ki)sin 2ka-2k k2 cos2k2a=0 2.8分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为 00. x<0, U)=0, 0≤x<a, l-U,a≤x≤b, 0,b<x 求束缚态的能级所满足的方程。 解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。 定态S方程为 2d2 C2在)+Uxw)=E 对各区域的具体形式为 U(E 方2 (x<0) ： 2%+U,%,=E, (0≤x<a) 10

10 (2a) (2a), Csin 2k a Dcos 2k a Fe (7) (2a) (2a), k Ccos 2k a k Dsin 2k a k Fe (6) (0) (0), k A k C (5) (0) (0), A D (4) 2k a 2 3 2 2 2k a 2 3 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 − − =  + =  =   − = −  =   = =  =         (7)代入(6) D k a k k C k a k k C k a D k a 2 1 2 2 1 2 sin2 2 + cos2 2 = − cos2 + sin2 利用(4)、(5)，得 (k k )sin 2k a 2k k cos 2k a 0 ( k k ) )sin 2k a 2cos 2k a 0 k k k k ( A 0 )sin 2k a 2cos 2k a] 0 k k k k A[( Dsin 2k a k k Asin 2k a Acos 2k a Acos 2k a k k 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 − − = −  − + =  − + = + = − + 两边乘上 即得  # 2.8 分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为         −       = ， ， ， ， 0, , , 0 , 0 ( ) 1 0 b x U a x b U x a x U x 求束缚态的能级所满足的方程。 解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。 定态 S-方程为 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x U x x E x dx d     − + =  对各区域的具体形式为 Ⅰ： ( ) ( 0) 2 1 1 1 2 − +U x  = E x    Ⅱ： (0 ) 2 2 0 2 2 2 −  +U  = E  x  a  