《量子力学》课程教学课件（讲稿）Chapter 6 散射 Scattering

Chapter.6.Scattering 第六章(Chapter.6) 散射（scattering) §6.1碰撞过程散射截面 掌握碰撞过程、微分散射截面和总散射截面的物理意义。 §6.2辏力场（中心力场）中的弹性散射（分波法） 理解辏力场中的弹性散射概念；了解中心力场的弹性散 射（分波法）方法。 §6.3方形势阱与势垒的散射 理解方形势阱与势垒所产生的散射概念。 §6.4玻恩近似 理解玻恩近似的概念。 §6.5质心坐标系和实验室坐标系（自学) 了解质心坐标系和实验室坐标系方法

1 Chapter.6 .Scattering 第六章 （Chapter.6） §6.1碰撞过程散射截面 掌握碰撞过程、微分散射截面和总散射截面的物理意义。 §6.2辏力场(中心力场)中的弹性散射(分波法) 理解辏力场中的弹性散射概念；了解中心力场的弹性散 射(分波法)方法。 §6.3方形势阱与势垒的散射 理解方形势阱与势垒所产生的散射概念。 §6.4玻恩近似 理解玻恩近似的概念。 散 射（scattering） §6.5质心坐标系和实验室坐标系 (自学) 了解质心坐标系和实验室坐标系方法

Chapter.6.Scattering §6.1碰撞过程 散射截面 散射过程： 方向准直的均匀单能粒子由远处沿z轴方 向射向靶粒子，由于受到靶粒子的作用，朝 各方向散射开去，此过程称为散射过程。散 射后的粒子可用探测器测量。靶粒子的处在 位置称为散射中心。 未被教泼 密观定蚊

2 Chapter.6 .Scattering 散射过程： 方向准直的均匀单能粒子由远处沿z轴方 向射向靶粒子，由于受到靶粒子的作用，朝 各方向散射开去，此过程称为散射过程。散 射后的粒子可用探测器测量。靶粒子的处在 位置称为散射中心。 §6.1碰撞过程 散射截面

§6.1碰撞过程散射截面 Chapter.6.Scattering 散射角：入射粒子受靶粒子势场的作用，其运动方向偏离入 射方向的角度。 弹性散射：若在散射过程中，入射粒子和靶粒子的内部状 态都不发生变化，则称弹性散射，否则称为非弹性散射。 入射粒子流密度N：单位时间内通过与入射粒子运动方向 垂直的单位面积的入射粒子数，用于描述入射粒子流强度 的物理量，故又称为入射粒子流强度。 散射截面： 设单位时间内散射到(0，φ)方向面积元ds上（立体 角d2内)的粒子数为dm,显然 dn o N,dnoc =d. ds dn oc Nds

3 Chapter.6 .Scattering 散射角：入射粒子受靶粒子势场的作用，其运动方向偏离入 射方向的角度。 弹性散射：若在散射过程中，入射粒子和靶粒子的内部状 态都不发生变化，则称弹性散射，否则称为非弹性散射。 入射粒子流密度N ：单位时间内通过与入射粒子运动方向 垂直的单位面积的入射粒子数，用于描述入射粒子流强度 的物理量，故又称为入射粒子流强度。 散射截面： 设单位时间内散射到（θ，ϕ）方向面积元ds上(立体 角dΩ内)的粒子数为dn，显然 §6.1碰撞过程散射截面 2 , ds dn d r dn ∝ N, ∝ = Ω dn ∝ NdΩ

Chapter.6.Scattering 或 dn g(0,p)Nds (1) 比例系数q(0,p)的性质： q(8,p)与入射粒子和靶粒子（散射场）的性质、它们之间的 相互作用、以及入射粒子的动能有关，是8，p的函数。 q(0,p)具有面积的量纲： [91= dn Ndg 称g(0,p)为微分散射截面，简称为截面或角分布 如果在垂直于入射粒子流的入射方向取截面面积g(0, )，则单位时间内通过此截面的粒子数恰好散射到(0，p)方 向的单位立体角内

4 Chapter.6 .Scattering 或 dn = q(θ ,ϕ)NdΩ （1） 比例系数q(θ，ϕ)的性质： q(θ,ϕ)与入射粒子和靶粒子(散射场)的性质、它们之间的 相互作用、以及入射粒子的动能有关,是θ,ϕ 的函数。 q(θ，ϕ)具有面积的量纲: 2 [ ] L Nddn q = ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ Ω = 称q(θ，ϕ)为微分散射截面，简称为截面或角分布 如果在垂直于入射粒子流的入射方向取截面面积q(θ， ϕ)，则单位时间内通过此截面的粒子数恰好散射到(θ，ϕ)方 向的单位立体角内

Chapter.6.Scattering 9(0,p)N= dn dg (2) 总散射截面： p=∫98，p)a2=ji∫gg0,p)sin6u6uo 由于N、dn/dΩ 可通过实验测定，故由(2)式球得 本章的任务是从理论上计算出q(0,p),以便于同实验比 较，从而反过来研究粒子间的相互作用以及其它问题。 现在考虑量子力学对散射体系的描述。设靶粒子的质量 远大于散射粒子的质量，在碰撞过程中，靶粒子可视为静止 取散射中心A为坐标原点，散射体系的定态Schrodinger?方程为： w+U(FW-EW (4) 2u

5 Chapter.6 .Scattering Ω = d dn q(θ ,ϕ )N (2) 总散射截面： θ ϕ θ ϕ θ θ ϕ π π Q q( , )d q( , )sin d d 0 2 ∫ ∫ ∫0 = Ω = 由于N、 可通过实验测定, 故由(2)式可求得 . dn dΩ q( , θ ϕ) 本章的任务是从理论上计算出 ,以便于同实验比 较,从而反过来研究粒子间的相互作用以及其它问题。 q( , θ ϕ) 现在考虑量子力学对散射体系的描述。设靶粒子的质量 远大于散射粒子的质量，在碰撞过程中，靶粒子可视为静止. 取散射中心A为坐标原点,散射体系的定态Schrödinger方程为: ψ ψ ψ μ − ∇ +U(r) = E 2 2 2 = K （4）

Chapter.6.Scattering 令 2=2uE 方2， V(F)= 24U) 方程(4)改写为： Vw+[k2-V()w=0 (5) 由于实验观测是在远离靶的地方进行的，从微观角度看， 可以认为r→og因此，在计算g(0,p)时，仅需考虑r→0 处的散射粒子的行为，即仅需考虑r→∞处的散射体系 的波函数。 在·→0处，散射粒子的波函数是入射平面波 1=e和球面散射波山2之和。即 w() →4e+f0,) (6) 6

6 Chapter.6 .Scattering ( ) 2 , ( ) 2 2 2 2 V r U r E k = K = μ = μ 令 = 方程(4)改写为: [ ( )] 0 2 2 ∇ ψ + k −V r ψ = K （5） 由于实验观测是在远离靶的地方进行的，从微观角度看， 可以认为 ,因此,在计算 时， 仅需考虑 处的散射粒子的行为,即仅需考虑 处的散射体系 的波函数。 r →∞ r →∞ q(θ,ϕ) r →∞ 在 处，散射粒子的波函数是入射平面波 和球面散射波 之和。即 r →∞ 1 ikz ψ = e ψ 2 ( ) ( , ) （6） ikr ikz e r Ae f r ψ + θ ϕ K r → ∞

Chapter.6.Scattering 为方便起见，取入射平面波e的系数A=1,这表 明|42=1，入射粒子束单位体积中的粒子数为1。 入射波几率密度（即入射粒子流密度）： 2 =流（-ik,wi-ikviv） 2W 方k =)=W (7) 散射波的几率流密度： J, (8) 2u

7 Chapter.6 . Scattering 入射波几率密度(即入射粒子流密度): 为方便起见，取入射平面波 的系数A=1 ,这表 明 | | 1 ，入射粒子束单位体积中的粒子数为1。 2 ψ1 = ikx e * 1 1 * * * 1 1 1 1 1 ( ) 2 2 z i i J i k i k z z k N ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ μ μ υ μ ⎛ ⎞ ∂ ∂ = − ⎜ ⎟ = − − ∂ ∂ ⎝ ⎠ = = = = = = （7） 散射波的几率流密度: 2 2 * 2 2 * 2 2 | ( , )| 2 θ ϕ ψ υ ψ ψ ψ μ f r r r i Jr =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = = （8）

Chapter.6.Scattering 单位时间内，在沿(0，p)方向d2立体角内出现的粒子数为： dn=J,dsAf(0,)d-f(0.p)P Nd (9) 比较(1)式与(9)，得到： q(0,p)=f(0,p)12 (10) 因此，若知道了f0,p),即可求得q(0,p),f0,p)称 为散射振幅。所以，对于能量给定的入射粒子，速率，给 定，于是，入射粒子流密度v 给定，只要知道了散射振 幅f(8,p),也就能求出微分散射截面 fg,m的具体形式通过求Schrδdinger方程(5)的解并要求在 下→o时具有渐近形式(6)而得出。 下面介绍求散射截面的两种方法：分波法与玻恩近似方法： 8

8 Chapter.6 .Scattering 单位时间内,在沿 (θ ,ϕ)方向dΩ立体角内出现的粒子数为: 2 2 2 | ( , )| | ( , )| r dn J ds f ds f Nd r υ = = = θ ϕ θ ϕ 2 q(θ ,ϕ) =| f (θ ,ϕ) | Ω （9） 比较(1)式与(9),得到: （10） 因此，若知道了 ，即可求得 ， 称 为散射振幅。所以，对于能量给定的入射粒子，速率 给 定，于是，入射粒子流密度 给定，只要知道了散射振 幅 ，也就能求出微分散射截面 q( , θ ϕ) f ( , θ ϕ) f( , θ ϕ) f( , θ ϕ) v N v = 的具体形式通过求Schrödinger方程(5)的解并要求在 时具有渐近形式(6)而得出。 f( , θ ϕ) r →∞ 下面介绍求散射截面的两种方法:分波法与玻恩近似方法:

Chapter.6.Scattering §6.2中心力场中的弹性散射（分波法） 分波法可以准确地求散射问题。 讨论粒子在中心力场中的散射： 粒子在辏力场中的势能为U()，状态方程 w+[k2-V(r)lw=0 (2-1) 取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴z,显然 Ψ与φ无关，按照§3.3.的讨论，对于具有确定能量的粒 子，方程(2-1)的特解为Rr)Ym(0,p) 由于现在Ψ与φ无关(m=0)，所以，方程(1)的特解可写成： (弹性散射能量E及n不变) R(r)P(cosθ)

9 Chapter.6 .Scattering 2 2 ∇ ψ ψ + − [ ( k V r)] = 0 讨论粒子在中心力场中的散射： (2-1) 粒子在辏力场中的势能为 U(r) ，状态方程 K 分波法可以准确地求散射问题。 §6.2中心力场中的弹性散射(分波法) 取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴 z，显然 ψ与ϕ无关，按照§3.3.的讨论，对于具有确定能量的粒 子，方程（2-1）的特解为 ( ) ( , ) R r l l Ym θ ϕ 由于现在ψ与ϕ无关(m=0)，所以,方程(1)的特解可写成: (弹性散射能量E及n不变) ( ) (cos ) R r l l P θ

Chapter.6.Scattering 方程(3-1)的通解为所有特解的线性迭加 ,0)=∑Rr)P(cos) (2-2) R()为待定的径向波函数，每个特解称为一个分波， R(r)P(c0s称为第1个分波，通常称1=1,2,3，.的分波各 为s,p,山，f.分波. (2-2)代入(2-1)，得径向方程： {路+-w-w=0 (2-3) R,(r)=4,(r)/r代入上方程： 产-4o=0 (2-4)

10 Chapter.6 . Scattering 方程（3-1）的通解为所有特解的线性迭加 ( , ) ( ) ( c o s ) l l l ψ r R θ θ = ∑ r P （2-2） 为待定的径向波函数，每个特解称为一个分波， 称为第 l 个分波，通常称 l =1, 2, 3, .的分波各 为 s, p, d, f.分波. ( ) (cosθ) l Pl R r ( ) Rl r (2-2)代入(2-1),得径向方程: 2 2 2 2 1 ( 1 ) ( ) ( ) 0 l l d l dR l r k V r R r r r dr dr ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ + + − − = ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ （2-3） 2 2 2 2 ( 1 ) ( ) ( ) 0 l l d u l l k V r u r dr r ⎡ ⎤ + + − − = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 令 ( ) ( ) R r l l = u r r 代入上方程: （2-4）