《大学物理学》课程作业习题（含解答）第6章作业题

6一9在一半径为R：6.0cm的金属球A外面套有一个同心的金属球壳B，已知球壳B的内、外半径分别为R2=8.0cm，R=10.0cm。设球A带有总电荷QA=3.0×10-C，球壳B带有总电荷Q=2.0×10-C.（1）求球壳B内、外表面上所带的电荷以及球A和球壳B的电势：（2）将球壳B接地然后断开，再把金属球A接地，求金属球A和球壳B内、外表面上所带的电荷以及球A和球壳B的电势(e,(b)(a)题6分析（1）根据静电感应和静电平衡时导体表面电荷分布的规律，电荷QA均匀分布在球A表面，球壳B内表面带电荷－QA，外表面带电荷QB+QA，电荷在导体表面均匀分布［图（a）］，由带电球面电势的叠加可求得球A和球壳B的电势．（2）导体接地，表明导体与大地等电势（大地电势通常取为零）：球壳B接地后，外表面的电荷与从大地流入的负电荷中和，球壳内表面带电－QA［图（b）］：断开球壳B的接地后，再将球A接地，此时球A的电势为零.电势的变化必将引起电荷的重新分布，以保持导体的静电平衡.不失一般性可设此时球A带电qA，根据静电平衡时导体上电荷的分布规律，可知球壳B内表面感应一gA，外表面带电qA一QA［图（c）］此时球A的电势可表示为-4+-=0V- *k*4Te.由VA=0可解出球A所带的电荷gA，再由带电球面电势的叠加，可求出球A和球壳B的电势解（1）由分析可知，球A的外表面带电3.0×10-℃，球壳B内表面带电—3.0×10-℃，外表面带电5.0×10-℃.由电势的叠加，球A和球壳B的电势分别为04-04=5.6x10 VVA=4ne.R* 4noR.4元.RQ+QB=4.5×103vVR=4元R

6 －9 在一半径为R１ ＝6.0 cm 的金属球A 外面套有一个同心的金属球壳B．已知球壳B 的内、外半径分别为R2＝8.0 cm，R3 ＝10.0 cm．设球A 带有总电荷QA ＝3.0 ×10－８C，球壳 B 带有总电荷QB ＝2.0×10－８C．（１） 求球壳B 内、外表面上所带的电荷以及球A 和球 壳B 的电势；（2） 将球壳B 接地然后断开，再把金属球A 接地，求金属球A 和球壳B 内、 外表面上所带的电荷以及球A 和球壳B 的电势． 分析 （１） 根据静电感应和静电平衡时导体表面电荷分布的规律，电荷QA均匀分布在球 A 表面，球壳B 内表面带电荷－QA ，外表面带电荷QB ＋QA ，电荷在导体表面均匀分布 ［图（ａ）］，由带电球面电势的叠加可求得球A 和球壳B 的电势．（2） 导体接地，表 明导体与大地等电势（大地电势通常取为零）．球壳B 接地后，外表面的电荷与从大地流 入的负电荷中和，球壳内表面带电－QA ［图（ｂ）］．断开球壳B 的接地后，再将球A 接 地，此时球A 的电势为零．电势的变化必将引起电荷的重新分布，以保持导体的静电平衡．不 失一般性可设此时球A 带电qA ，根据静电平衡时导体上电荷的分布规律，可知球壳B 内表 面感应－qA，外表面带电qA －QA ［图（c）］．此时球A 的电势可表示为 0 4π 0 1 4π 0 2 4π 0 3 = − + − = + ε R q Q ε R q ε R q V A A A A A 由VA ＝0 可解出球A 所带的电荷qA ，再由带电球面电势的叠加，可求出球A 和球壳B 的 电势． 解 （１） 由分析可知，球A 的外表面带电3.0 ×10－８C，球壳B 内表面带电－3.0 ×10－８C， 外表面带电5.0 ×10－８C．由电势的叠加，球A 和球壳B 的电势分别为 5.6 10 V 4π 4π 4π 3 0 1 0 2 0 3 =  − + − = + ε R Q Q ε R Q ε R q V A A A A A 4.5 10 V 4π 3 0 3 =  + = ε R Q Q V A B B

（2）将球壳B接地后断开，再把球A接地，设球A带电4A，球A和球壳B的电势为-0,+9=0Va= 4mer * 4neoR *14元egR-0,+9AV.=-4neoR解得RROA2.12 ×10-8 CAA"RR+RR-RR即球A外表面带电2.12×10-c，由分析可推得球壳B内表面带电一2.12×10℃，外表面带电-0.9×10C。另外球A和球壳B的电势分别为V,=0Vs= -7.29×102 V导体的接地使各导体的电势分布发生变化，打破了原有的静电平衡，导体表面的电荷将重新分布，以建立新的静电平衡6-11将带电量为Q的导体板A从远处移至不带电的导体板B附近，如图（a）所示，两导体板几何形状完全相同，面积均为s，移近后两导体板距离为d(dVS）（1）忽略边缘效应求两导体板间的电势差；（2）若将B接地，结果又将如何？(bc题6-11图分析由习题6－10可知，导体板达到静电平衡时，相对两个面带等量异号电荷：相背两

（2） 将球壳B 接地后断开，再把球A 接地，设球A 带电qA ，球A 和球壳B的电势为 0 4π 0 1 4π 0 2 4π 0 3 = − + + − = + ε R Q q ε R q ε R q V A A A A A 4π 0R3 ε Q q V A A B − + = 解得 2.12 10 C 8 1 2 2 3 1 3 1 2 − =  + − = R R R R R R R R Q q A A 即球A 外表面带电2.12 ×10－８C，由分析可推得球壳B 内表面带电－2.12 ×10－８C，外表面带 电-0.9 ×10－８C．另外球A 和球壳B 的电势分别为 0 VA = 2 VB = −  7.29 10 V 导体的接地使各导体的电势分布发生变化，打破了原有的静电平衡，导体表 面的电荷将重新分布，以建立新的静电平衡． 6 －11 将带电量为Q 的导体板A 从远处移至不带电的导体板B 附近，如 图（ａ）所示，两导体板几何形状完全相同，面积均为S，移近后两导体板距离为d（ d S ）． （１） 忽略边缘效应求两导体板间的电势差； （2） 若将B 接地，结果又将如何？ 分析 由习题6 －１0 可知，导体板达到静电平衡时，相对两个面带等量异号电荷；相背两

个面带等量同号电荷.再由电荷守恒可以求出导体各表面的电荷分布，进一步求出电场分布和导体间的电势差。导体板B接地后电势为零，B的外侧表面不带电，根据导体板相背两个面带等量同号电荷可知，A的外侧表面也不再带电，由电荷守恒可以求出导体各表面的电荷分布，进一步求出电场分布和导体间的电势差解（1）如图（b）所示，依照题意和导体板达到静电平衡时的电荷分布规律可得(o +0,)S=Q(o, +0,)S=Q0,-0, =00, +0,=0解得0-0-O两导体板间电场强度为E=：方向为A指向B.260SQd两导体板间的电势差为Uan=2e0s（2）如图（c）所示，导体板B接地后电势为零，,=0, =00, "-0, -%Q两导体板间电场强度为E"方向为A指向B.8oSUn=Od两导体板间的电势差为CoS6-12如图所示球形金属腔带电量为Q>0,内半径为a,外半径为b,腔内距球心0为r处有一点电荷4，求球心的电势

个面带等量同号电荷．再由电荷守恒可以求出导体各表面的电荷分布，进一步求出电场分布 和导体间的电势差． 导体板B 接地后电势为零，B 的外侧表面不带电，根据导体板相背两个面带等量同号电荷 可知，A 的外侧表面也不再带电，由电荷守恒可以求出导体各表面的电荷分布，进一步求 出电场分布和导体间的电势差． 解 （１） 如图（ｂ）所示，依照题意和导体板达到静电平衡时的电荷分布规律可得 (σ1 + σ2 )S = Q (σ3 + σ4 )S = Q σ1 −σ4 = 0 σ2 + σ3 = 0 解得 S Q σ σ σ σ 2 1 = 2 = − 3 = 4 = 两导体板间电场强度为 ε S Q E 2 0 = ；方向为A 指向B． 两导体板间的电势差为 ε S Qd UAB 2 0 = （2） 如图（c）所示，导体板B 接地后电势为零． σ1 = σ4 = 0 S Q σ2 = −σ3 = 两导体板间电场强度为 ε S Q E 0  = ；方向为A 指向B． 两导体板间的电势差为 ε S Qd UAB 0  = 6 －12 如图所示球形金属腔带电量为Q ＞0，内半径为ɑ，外半径为b，腔内距球心O 为r 处 有一点电荷q，求球心的电势．

题6-12图分析导体球达到静电平衡时，内表面感应电荷一9，外表面感应电荷：内表面感应电荷不均匀分布，外表面感应电荷均匀分布。球心0点的电势由点电荷4、导体表面的感应电荷共同决定。在带电面上任意取一电荷元，电荷元在球心产生的电势dv=-dg4neoR由于R为常量，因而无论球面电荷如何分布，半径为R的带电球面在球心产生的电势为由电势的叠加可以求得球心的电势。解导体球内表面感应电荷一4，外表面感应电荷4：依照分析，球心的电势为q+9+9V=4元eor4ega 4元eob盖革一米勒管可用来测量电离辐射。该管的基本结构如图所示，一半径为R的长6-17左直导线作为一个电极，半径为R2的同轴圆柱筒为另一个电极，它们之间充以相对电容率cr～1的气体。当电离粒子通过气体时，能使其电离。若两极间有电势差时，极间有电流，从而可测出电离粒子的数量，如以E1表示半径为R1的长直导线附近的电场强度：（1）求两极间电势差的关系式：（2）若E=2.0×10°Vm-1，R=0.30mm，R2=20.0mm，两极间的电势差为多少？

分析 导体球达到静电平衡时，内表面感应电荷－q，外表面感应电荷q；内表面感应电荷不 均匀分布，外表面感应电荷均匀分布．球心O 点的电势由点电荷q、导体表面的感应电荷共 同决定．在带电面上任意取一电荷元，电荷元在球心产生的电势 ε R q V 4π 0 d d = 由于R 为常量，因而无论球面电荷如何分布，半径为R的带电球面在球心产生的电势为 ε R q ε R q V s4π 0 4π 0 d = =  由电势的叠加可以求得球心的电势． 解 导体球内表面感应电荷－q，外表面感应电荷q；依照分析，球心的电势 为 ε b q Q ε a q ε r q V 4π 0 4π 0 4π 0 + = − + 6 －17 盖革－米勒管可用来测量电离辐射．该管的基本结构如图所示，一半径为R1 的长 直导线作为一个电极，半径为R2 的同轴圆柱筒为另一个电极．它们之间充以相对电容率ε ｒ ≈1 的气体．当电离粒子通过气体时，能使其电离．若两极间有电势差时，极间有电流， 从而可测出电离粒子的数量．如以E1 表示半径为R1 的长直导线附近的电场强度．（1） 求 两极间电势差的关系式；（2） 若E1 ＝2.0 ×106 V·m －1 ，R1 ＝0.30 mm，R2 ＝20.0 mm， 两极间的电势差为多少？

题6-17图分析两极间的电场可以近似认为是无限长同轴带电圆柱体间的电场，由于电荷在圆柱面上均匀分布，电场分布为轴对称。由高斯定理不难求得两极间的电场强度，并利用电场强度与电势差的积分关系U-E·dI求出两极间的电势差。解（1）由上述分析，利用高斯定理可得E-2mrL=二L，则两极间的电场强度E= 2ned导线表面（r=R）的电场强度2Ev= 2me.R两极间的电势差U- -12- h(2）当E,=2.0x10°Vm-，R=0.30mm，R=20.0mm时，U=2.52x10° v6一18一片二氧化钛晶片，其面积为1.0cm，厚度为0.10mm.把平行平板电容器的两极板紧贴在晶片两侧（1）求电容器的电容；(2)当在电容器的两极间加上12V电压时极板上的电荷为多少？此时自由电荷和极化电荷的面密度各为多少？（3）求电容器内的

分析 两极间的电场可以近似认为是无限长同轴带电圆柱体间的电场，由于电荷在圆柱面上 均匀分布，电场分布为轴对称．由高斯定理不难求得两极间的电场强度，并利用电场强度与 电势差的积分关系  =  2 1 d R R U E l 求出两极间的电势差． 解 （1） 由上述分析，利用高斯定理可得 λL ε E rL 0 1  2π = ，则两极间的电场强度 ε r λ E 2π 0 = 导线表面（r ＝R1 ）的电场强度 0 1 1 2πε R λ E = 两极间的电势差   =  = = 2 1 2 1 1 2 1 1 0 d ln 2π d R R R R R R r R E ε r λ U E r （2） 当 6 1 1 E 2.0 10 V m− =   ，R1 ＝0.30 mm，R2 ＝20.0 mm 时， 2.52 10 V 3 U =  6 －18 一片二氧化钛晶片，其面积为1.0 cm 2 ，厚度为0.10 mm．把平行平板电容器的两 极板紧贴在晶片两侧.（1） 求电容器的电容；（2） 当在电容器的两极间加上12 V电压时， 极板上的电荷为多少？ 此时自由电荷和极化电荷的面密度各为多少？ （3） 求电容器内的

电场强度，（1）查表可知二氧化钛的相对电容率e，=173，故充满此介质的平板电容器的电容解C= S=1.53x10-9 F（2）电容器加上U=12V的电压时，极板上的电荷Q=CU=1.84×10- c极板上自由电荷面密度为0o=号=1.4x10* C.m2晶片表面极化电荷密度1% =|1o=1.83×10**Cm2（3）晶片内的电场强度为E=%=1.2×10* V.m*6-19如图所示，半径R=0.10m的导体球带有电荷Q=1.0×10-℃，导体外有两层均匀介质，一层介质的e，=5.0，厚度d=0.10m，另一层介质为空气，充满其余空间。求：（1）离球心为r=5cm、15cm、25cm处的D和E；（2）离球心为r=5cm、15cm、25cm处的V：（3）极化电荷面密度g

电场强度． 解 （1） 查表可知二氧化钛的相对电容率εr ＝173，故充满此介质的平板电容器的电容 1.53 10 F 0 −9 = =  d ε ε S C r （2） 电容器加上U ＝12 V 的电压时，极板上的电荷 1.84 10 C −8 Q = CU =  极板上自由电荷面密度为 8 -2 0 = =1.8410 Cm − S Q σ 晶片表面极化电荷密度 4 -2 0 0 1.83 10 C m 1 1 =          = − − σ ε σ r （3） 晶片内的电场强度为 5 -1 = =1.210 V  m d U E 6 －19 如图所示，半径R ＝0.10 m 的导体球带有电荷Q ＝1.0 ×10－８C，导体外有两层 均匀介质，一层介质的εr＝5.0，厚度d ＝0.10 m，另一层介质为空气，充满其余空间．求： （1） 离球心为r ＝5cm、15 cm、25 cm 处的D 和E；（2） 离球心为r ＝5 cm、15 cm、 25 cm 处的V；（3） 极化电荷面密度σ′．

(b)题6-19图分析带电球上的自由电荷均匀分布在导体球表面，电介质的极化电荷也均匀分布在介质的球形界面上，因而介质中的电场是球对称分布的。任取同心球面为高斯面，电位移矢量D的通量与自由电荷分布有关，因此，在高斯面上D呈均匀对称分布，由高斯定理D·dS=Z可得D（n）.再由E=D/e可得E（）介质内电势的分布，可由电势和电场强度的积分关系V=E·dI求得，或者由电势叠加原理求得。极化电荷分布在均匀介质的表面，其极化电荷面密度o=Pa解（1）取半径为r的同心球面为高斯面，由高斯定理得rR +d

分析 带电球上的自由电荷均匀分布在导体球表面，电介质的极化电荷也均匀分布在介质 的球形界面上，因而介质中的电场是球对称分布的．任取同心球面为高斯面，电位移矢量D 的通量与自由电荷分布有关，因此，在高斯面上D 呈均匀对称分布，由高斯定理  D  d S = q0 可得D（r）．再由 r ε ε0 E = D/ 可得E（r）． 介质内电势的分布，可由电势和电场强度的积分关系   =  r V E dl 求得，或者由电势叠加原 理求得． 极化电荷分布在均匀介质的表面，其极化电荷面密度 pa σ  = ． 解 （1） 取半径为r 的同心球面为高斯面，由高斯定理得 r ＜R 4π 0 2 D1  r = D1 = 0 ； E1 = 0 R ＜r ＜R ＋d D  r = Q 2 2 4π 2 2 4πr Q D = ； 2 0 2 4πε ε r Q E r = r ＞R ＋d D  r = Q 2 3 4π

D,= 4E=4元0e,r将不同的r值代入上述关系式，可得r15cm和25cm时的电位移和电场强度的大小，其方向均沿径向朝外。n=5 cm，该点在导体球内，则D, =0: E, =02=15cm，该点在介质层内，e，=5.0，则O03.5×10-C.m^;Ex=4ne,=8.0×102V.m-!Dn"Aur=25cm，该点在空气层内，空气中c～c0，则gQD,=4nr=13x10*C-m*;E,=4=1.4×102Vm（2）取无穷远处电势为零，由电势与电场强度的积分关系得rs =25 cm,0V,="E, dr==360 V4元00rr2 =15 cmV = IR*"E, dr+Jr,E, dr00O4nee,154nee,(R+d)*4ne (R+d)=480Vn =5 cm,V-IR*" E, dr+Jn,E, drO0o4nee,R4ne,(R+)4ne(R+)=540 V（3）均匀介质的极化电荷分布在介质界面上，因空气的电容率e=8。，极化电荷可忽略。故在介质外表面；

3 2 4πr Q D = ； 2 0 3 4πε ε r Q E r = 将不同的r 值代入上述关系式，可得r ＝5 cm、15 cm 和25 cm 时的电位移和电场强度的 大小，其方向均沿径向朝外． r1 ＝5 cm，该点在导体球内，则 0 1 Dr = ； 0 1 Er = r2 ＝15 cm，该点在介质层内，εｒ ＝5.0，则 8 2 2 2 3.5 10 C m 4π 2 − − = =   r Q Dr ； 2 1 2 0 2 8.0 10 V m 4π 2 − = =   ε ε r Q E r r r3 ＝25 cm，该点在空气层内，空气中ε≈ε0 ，则 8 2 2 3 1.3 10 C m 4π 3 − − = =   r Q Dr ； 2 1 2 0 2 1.4 10 V m 4π 3 − = =   ε r Q Er （2） 取无穷远处电势为零，由电势与电场强度的积分关系得 r3 ＝25 cm， 360 V 4π d 0 r 3 3 1 =  = =   ε r Q V E r r2 ＝15 cm， ( ) ( ) 480 V 4π 4π 4π d d 0 2 0 0 r 2 2 3 2 = + + + = − =  +    +  + ε R d Q ε ε R d Q ε ε r Q V r r R d R d E r E r r1 ＝5 cm， ( ) ( ) 540 V 4π 4π 4π d d 0 0 0 1 2 3 = + + + = − =  +    +  + ε R d Q ε ε R d Q ε ε R Q V r r R d R R d E r E r （3） 均匀介质的极化电荷分布在介质界面上，因空气的电容率ε ＝ε0 ，极化电荷可忽 略．故在介质外表面；

(e, -1)P,=(e, -1)oE, =4元e,(R+d)(c, -1)0=1.6x10-* c.m2G=P.4元e,(R+d)在介质内表面：1P, =(e, -1)eE, =-4元R(e,-1)0-6.4×10-8C.mg'=-P:4元,R介质球壳内、外表面的极化电荷面密度虽然不同，但是两表面极化电荷的总量还是等量异号6-21—平板电容器，充电后极板上电荷面密度为o。=45x10~Cm现将两极板与电源断开，然后再把相对电容率为8=2.0的电介质插入两极板之间。此时电介质中的D、E和P各为多少？C题6-21图分析平板电容器极板上自由电荷均匀分布，电场强度和电位移矢量都是常矢量，充电后断开电源，在介质插入前后，导体板上自由电荷保持不变，取图所示的圆柱面为高斯面，由介质中的高斯定理可求得电位移矢量D，再根据E-D, F=D-cEC0er可求得电场强度E和电极化强度失量P解由分析可知，介质中的电位移矢量的大小D-%=0=4.5x10~ C.m**介质中的电场强度和极化强度的大小分别为

( ) ( ) ( ) 0 2 4π 1 1 ε R d ε Q P ε ε E r r n r n + − = − = ( ) ( ) 8 2 2 1.6 10 C m 4π 1 − − =   + − = = ε R d ε Q σ P r r n 在介质内表面： ( ) ( ) 0 2 4π 1 1 ε R ε Q P ε ε E r r n r n − = − = ( ) 8 2 2 6.4 10 C m 4π 1 − − = −   −  = − = ε R ε Q σ P r r n 介质球壳内、外表面的极化电荷面密度虽然不同，但是两表面极化电荷的总量还是等量异号． 6 －21 一平板电容器，充电后极板上电荷面密度为σ0 ＝4.5×10-5 C· m -2．现将两极板与电源 断开，然后再把相对电容率为εｒ ＝2.0 的电介质插入两极板之间．此时电介质中的D、E 和 P 各为多少？ 分析 平板电容器极板上自由电荷均匀分布，电场强度和电位移矢量都是常矢量．充电后断 开电源，在介质插入前后，导体板上自由电荷保持不变．取图所示的圆柱面为高斯面，由介 质中的高斯定理可求得电位移矢量D，再根据 r ε ε0 D E = ， F = D − ε0E 可求得电场强度E 和电极化强度矢量P． 解 由分析可知，介质中的电位移矢量的大小 5 2 0 4.5 10 C m Δ − − = = σ =   S Q D 介质中的电场强度和极化强度的大小分别为

D=2.5x10° V.mEC0ErP=D-8E=2.3x10-°C-m-D、P、E方向相同，均由正极板指向负极板（图中垂直向下）。6－24有两块相距为0.50的薄金属板A、B构成的空气平板电容器被屏蔽在一金属盒K内，金属盒上、下两壁与A、B分别相距0.25mm，金属板面积为30mm×40mm。求（1）被屏蔽后电容器的电容变为原来的几倍：（2）若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽盒相碰问此时的电容又为原来的几倍？(a)b(c)题6-24图分析薄金属板A、B与金属盒一起构成三个电容器，其等效电路图如图（b）所示，由于两导体间距离较小，电容器可视为平板电容器，通过分析等效电路图可以求得A、B间的电容。解（1）由等效电路图可知C.C+CC=C23 +C, =C,+C由于电容器可以视作平板电容器，且d,=2d,=2ds，故C,=C,=2C，因此A、B间的

6 1 0 r 2.5 10 V m − = =   ε ε D E 5 1 0 2.3 10 C m − − P = D − ε E =   D、P、E 方向相同，均由正极板指向负极板（图中垂直向下）． 6 －24 有两块相距为0.50 的薄金属板A、B 构成的空气平板电容器被屏蔽在一金属盒Ｋ 内，金属盒上、下两壁与A、B 分别相距0.25 mm，金属板面积为30 mm ×40 mm。求（1） 被屏蔽后电容器的电容变为原来的几倍；（2） 若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽盒相碰， 问此时的电容又为原来的几倍？ 分析 薄金属板A、B 与金属盒一起构成三个电容器，其等效电路图如图（ｂ）所示，由于 两导体间距离较小，电容器可视为平板电容器，通过分析等效电路图可以求得A、B 间的电 容。 解 （1） 由等效电路图可知 1 2 3 2 3 23 1 C C C C C C C C + +  = + = 由于电容器可以视作平板电容器，且 d1 = 2d2 = 2d3 ，故 C2 = C3 = 2C1 ，因此A、B 间的