《大学物理学》课程作业习题（含解答）No.7-2 电势

《大学物理AI》作业No.7电势一、选择题：（注意：题目中可能有一个或几个正确答案）【D1．关于静电场中某点电势值的正负，下列说法中正确的是：（A）电势值的正负取决于置于该点的试验电荷的正负（B）电势值的正负取决于电场力对试验电荷作功的正负（C）电势值的正负取决于产生电场的电荷的正负（D）电势值的正负取决于电势零点的选取解：电势值是相对的，其正负只决定于电势零点的选取。故选D2.真空中一半径为R的球面均匀带电Q，在球心0处有一带电量为α的点电荷，如图所示，设无穷远处为电势零点，则在球内离球心0距离为r的P点处的电势为：［B]/P(A)_9(D) %+)q R4元5or4元0(c) 9+Q(9+0-9)(D)4or4元80R解：由高斯定理可得电场分布为q (rR)4元0r根据电势的定义，P点的电势为：dr+atodrU,-['E.di -'94元60JR4元60r(2+9)故选B4元8gR3.在带电量为-Q的点电荷A的静电场中，将另一带电量为Q的点电荷B从a点移到b点，a、b两点距离点电荷A的距离分别为n和1，如图所示，则移动过程中电场力做的功为［c](A) =(1_1)(B) (一_一)4元04元0(-0) nb

《大学物理 AI》作业 No. 7 电势 一、选择题：（注意：题目中可能有一个或几个正确答案）[ D ] 1．关于静电场中某点电势值的正负，下列说法中正确的是： （A）电势值的正负取决于置于该点的试验电荷的正负 （B）电势值的正负取决于电场力对试验电荷作功的正负 （C）电势值的正负取决于产生电场的电荷的正负 （D）电势值的正负取决于电势零点的选取 解：电势值是相对的，其正负只决定于电势零点的选取。 故选 D 2．真空中一半径为 R 的球面均匀带电 Q，在球心 O 处有一带电量为 q 的点电荷，如图所示， 设无穷远处为电势零点，则在球内离球心 O 距离为 r 的 P 点处的电势为 ： [ B ] （A） r q 4 0 （B） ( ) 4 1 0 R Q r q +  （C） r q Q 4 0 + （D） ( ) 4 1 0 R Q q r q − +  解：由高斯定理可得电场分布为         +  = ( ) 4 ( ) 4 2 0 2 0 r R r q Q r R r q E     根据电势的定义，P 点的电势为： r r q Q r r q U E l p R r R p d 4 d 4 d 2 0 2 0      + =  = +       ( ) 4 1 0 R Q r q = +  故选 B 3．在带电量为-Q 的点电荷 A 的静电场中，将另一带电量为 q 的点电荷 B 从 a 点移到 b 点， a、b 两点距离点电荷 A 的距离分别为 r1 和 r2 ，如图所示，则移动过程中电场力做的功为 [ C ] （A） ) 1 1 ( 4 0 1 2 r r Q − −  （B） ) 1 1 ( 4 0 1 2 r r qQ −  A b (-Q ) a 2 r 1 r P R O q r Q

(c) =92(11D4元802480(2-n)解：-Q在a、b两点产生的电势分别为：-0-Q（以无穷远处为零电势点）Ua,Uh4元80m4元80/2移动α时，电场力的功为：-q(1.故选CAab = q(Ua-Ub)=4元0n24.某电场的电力线分布情况如图所示，负电荷从M点移到N点。-有人根据这个图做出下列几点结论，其中哪点是正确的？［M（A）电场强度E0解：由图可知M处比N处电力线密度大，故E>E，U>U，又电势能W=-gAU,由此可知及<K。故选C5．在真空中半径分别为R和2R的两个同心球面，其上分别均匀地带有电量+和－3q。现将一电量为+Q的带电粒子从内球面处由静止释放，则该粒子达到外球面时的动能为：［℃］aa2O解：由电势叠加原理有内球面和外球面的电势分别为：-3qU = 4m5,R* 4x5(2R)"(U. = 0)24元Rq-3qU孙=4元%(2R）4元0RQq电场力将Q从内球面移到外球面做功A=Q(U丙-U外)=8元起RQq故选C由功能原理有粒子达到外球面时的动能：E=E-0=AB元F

（C） ) 1 1 ( 4 0 1 2 r r qQ − −  （D） 4 ( ) 0 2 1 r r qQ − −  解：-Q 在 a、b 两点产生的电势分别为： 2 0 2 2 0 1 4 4 r Q ，U r Q U a b   − = − = （以无穷远处为零电势点） 移动 q 时，电场力的功为： ) 1 1 ( 4 ( ) 0 1 2 r r qQ Aab q U a Ub − − = − =  故选 C 4．某电场的电力线分布情况如图所示，一负电荷从 M 点移到 N 点。 有人根据这个图做出下列几点结论，其中哪点是正确的？[ C ] （A）电场强度 EM0 解：由图可知 M 处比 N 处电力线密度大，故 EM>EN ，UM>UN ，又电势能 W= -qΔU，由此可知 WM<WN。 故选 C 5．在真空中半径分别为 R 和２R 的两个同心球面，其上分别均匀地带有电量 + q 和− 3q 。 现将一电量为＋Q 的带电粒子从内球面处由静止释放，则该粒子达到外球面时的动能为： ［ C ］ (A) R qQ 4 0 (B) R qQ 2 0 (C) R qQ 8 0 (D) R qQ 8 0 3  解：由电势叠加原理有内球面和外球面的电势分别为： R q R q q U U R q R q R q U 0 0 0 0 0 4 (2 ) 4 3 ( 0) 2 4 1 4 (2 ) 3 4           = − − = = − = − = +  外 内 电场力将 Q 从内球面移到外球面做功 R Qq A Q U U 8 0 ( )   = 内 − 外 = 由功能原理有粒子达到外球面时的动能： R Qq Ek Ek A 8 0 0   = − = = 故选 C N M R + q − 3q 2R Q

二、填空题：1.AC为一根长为21的带电细棒，左半部均匀带有负电荷，右半部均匀带有正电荷。电荷线密度分别为一入和+入，如图所示。0点---B++fo在棒的延长线上，距A端的距离为1，P点在棒的垂直平分线上，到O棒的垂直距离为1。以棒的中点B为电势的零点。则0点电势U.-n4元起gP点电势U解：U6=0与U。=0等效。细棒上取一线电荷元，则由电势叠加原理有-adxr31-adx元nU。=1' 4元50x214元元4元由对称性可知U,=02.图示为一边长均为a的等边三角形，其三个顶点分别放置着电量为2g、3g的三个正点电荷，若将一电量为Q的正点电荷从无穷远处移至三(3/3q0)(2元ga)角形的中心0处，则外力需做功A=解：以无限远处为零电势点，则由电势叠加原理，中心0处电势为：U。 = 9+2g+39 _ 3/302元80a4元0元将Q从无限远处移到0点，电场力的功为：Aco =Q(U-Uo)=-QUo外力的功为：A外=-Ac0=QU。= (3/3qQ)/(2元ga)3。图中所示为静电场的等势（位）线图，已知U)

二、填空题： 1．AC 为一根长为 2 l 的带电细棒，左半部均匀带有负电荷，右半部 均匀带有正电荷。电荷线密度分别为－λ和＋λ，如图所示。O 点 在棒的延长线上，距 A 端的距离为 l ，P 点在棒的垂直平分线上，到 棒的垂直距离为 l 。以棒的中点 B 为电势的零点。则 O 点电势 Uo＝ 4 3 ln 4 0  ；P 点电势 UP＝ 0 。 解：UB＝0 与 U = 0 等效。细棒上取一线电荷元，则由电势叠加原理有 4 3 ln 4 ' 4 d ' 4 d 0 3 2 0 2 0 0          = − + − =   l l l l x x x x U 由对称性可知 U p = 0 2．图示为一边长均为 a 的等边三角形，其三个顶点分别放置着电量为 q、 2q、3q 的三个正点电荷，若将一电量为 Q 的正点电荷从无穷远处移至三 角形的中心 O 处，则外力需做功 A＝ (3 3 )/(2 ) qQ 0a 。 解：以无限远处为零电势点，则由电势叠加原理，中心 O 处电势为： a Q a q q q Uo 0 0 2 3 3 3 4 2 3   = + + = 将 Q 从无限远处移到 O 点，电场力的功为： 0 0 0 A = Q(U −U ) = −QU 外力的功为： A外 ＝− A0 = QU0 = (3 3 )/(2 ) 0 qQ  a 3．图中所示为静电场的等势（位）线图，已知 U1 )。 2q q 3q o a a a Eb  Ea  U1 U2 U3 b a O l l l O P l A B C l l l l

4.一质量为m、电量为的小球，在电场力作用下，从电势为U的a点，移动到电势为零的b点,若已知小球在b点的速率为，则小球在a点的速率 V=_-2gU /m)*解：由质点的动能定理有：A=AEkq(U-0)=1mv,2 -Imva可得小球在日点的速率为。V。-)2-2m三、计算题：1.真空中一均匀带电细直杆，长度为2a，总电量为+Q0，沿0x轴固定放置（如图），一运动粒子质量m、带有电量十q，在经过x轴上的C点时，速率为V，试求：（1）粒子经过x轴上的C点时，它与带电杆之间的相互作用电势能（设无穷远处为电势零点）；（2）粒子在电场力的作用下运动到无穷远处的速率V。（设V远小于光速）a-a解：（1）在杆上x处取线元dx，带电量为；COxdxdq=%dx（视为点电荷）它在C点产生的电势dqQdxdu:4元(2a-x)8元0a(2a-x)C点的总电势为：Qdx0cU=JdU:In 38元80aJ-a（2a-x）8元20带电粒子在C点的电势能为：g0_In3W=qU=8元50a(2）由能量转换关系可得：I-mr--gn3得粒子在无限远处的速率为：qQn3+v2jV.=4元6an

4．一质量为 m、电量为 q 的小球，在电场力作用下，从电势为 U 的 a 点，移动到电势为零 的 b 点，若已知小球在 b 点的速率为 Vb , 则小球在 a 点的速率 Va＝ 2 1 2 (V 2qU /m) b − 。 解：由质点的动能定理有： 2 2 2 1 2 1 ( 0) b a K q U mv mv A E − = − =  可得小球在 a 点的速率为： m qU Va Vb 2 2 = − 三、计算题： 1．真空中一均匀带电细直杆，长度为 2a，总电量为+Q，沿 Ox 轴固定放置（如图），一运动 粒子质量 m、带有电量＋q，在经过 x 轴上的 C 点时，速率为 V，试求：（1）粒子经过 x 轴上 的 C 点时，它与带电杆之间的相互作用电势能（设无穷远处为电势零点）；（2）粒子在电场 力的作用下运动到无穷远处的速率 V （设 V 远小于光速）。 解：（1）在杆上 x 处取线元 d x，带电量为： x a Q q d 2 d = （视为点电荷） 它在 C 点产生的电势 8 (2 ) d 4 (2 ) d d 0 0a a x Q x a x q U − = − =   C 点的总电势为： ln 3 (2 ) 8 d 8 d 0 0a Q a x x a Q U U a  a  = − =  = − 带电粒子在 C 点的电势能为： ln 3 8 0a qQ W qU  = = (2) 由能量转换关系可得： ln 3 2 8 1 2 1 0 2 2 a qQ mV mV    − = 得粒子在无限远处的速率为： 2 1 2 0 ln 3 ] 4 [ V am qQ V = +   x O C a a a x dx

2.图示为一个均匀带电的球层，其电荷体密度为0，球层内表面半径为Ri，外表面半径为R2，设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势。2解：在球层中取半径为r，厚为dr的同心薄球壳，带电量为：dq= p.4m-2dr它在球心处产生的电势为：dq= prdrdU,= 4ner"60整个带电球层在0点产生的电势为：U.=Jau。=I"Prdr-(R"-R")8空腔内场强E=0，为等势区，所以腔内任意一点的电势为：U=U。=是(R2-R)3.图示为两个同轴带电长直金属圆筒，内，外筒半径分别为R，租R，两筒间为空气，内外筒电势分别为U,=2U,U,=U。，U。为一已知常量。求两金属圆筒之间的电势分布。解：设内筒电荷线密度为入，由高斯定理可得两筒间的场强分布为AFE=，两筒间的电势差为：2元60r2U,-U,=U-[E-dr=.dr:2元"R2元80由上式可得：2元6/元）TP设两筒间任一点P的电势为U，则U-U,TE.d

2．图示为一个均匀带电的球层，其电荷体密度为  ，球层内表面半 径为 R 1 ，外表面半径为 R 2 ， 设无穷远处为电势零点，求空腔内任 一点的电势。 解：在球层中取半径为 r，厚为 d r 的同心薄球壳，带电量为： dq 4 r dr 2 =    它在球心处产生的电势为： 0 0 d 4 d d     r r r q Uo = = 整个带电球层在 O 点产生的电势为： ( ) 2 d d 2 1 2 2 0 0 2 1 R R r r U U R R o = o = = −       空腔内场强 E = 0  ，为等势区，所以腔内任意一点的电势为： ( ) 2 2 1 2 2 0 U = Uo = R − R   3．图示为两个同轴带电长直金属圆筒，内，外筒半径分别为 R1 和 R2 ，两筒间为空气，内外筒电势分别为 1 0 2 0 U = 2U ,U = U ，U0 为 一已知常量。求两金属圆筒之间的电势分布。 解：设内筒电荷线密度为  ，由高斯定理可得两筒间的场强分布为： 2 0 2 r r E     = ，两筒间的电势差为： 1 2 0 0 1 2 0 ln 2 d 2 d 2 1 2 1 R R r r U U U E r R R R R       − = =  =  =     由上式可得： . ln ( ) 2 1 2 0 0 R R U =   设两筒间任一点 P 的电势为 U，则 U U E r R r   d 2 2 − =   R1 R2 o r R1 R2 U1 U2 r  E  r O P R2 R1

RU=U,+J2元6grdr=Uo+2元50n R2U。+(/R)

r R R R U U r R r U r U U R r 2 1 2 0 0 2 0 0 0 2 ln ln( ) ln 2 d 2 2 1 = + = +  = +       