《大学物理学》课程作业习题（含解答）No.15-1波的干涉

《大学物理》作业No.3波的干涉一、选择题1.如图所示，S,和S,为两相干波源，它们的振动方向均垂直于图面，发出波长为的简谐波。P点是两列波相遇区域中的一点，已知S,P=2元，S,P=2.2，两列波在P点发生相消干涉。若S,的振动方程为=Acos(2元1+元),，则 S,Sio的振动方程为［D](A) y= Acos(2 元1 -n)5.(B) y2 = Acos(2 元 t - 元)(C) y2 = Acos(2 元1 +≥元)(D) y2 = Acos(2 元t - 0.1 元)解：S和S,在P点发生相消干涉，相位差为Ap=2-9-32(r2 -)=(2k +1)元(-)=(2k+1)+元+(2.24-2)02 =(2k +1)元 + 91 + 2元=2k元+1%令k=-1,则9:=-元。因为和片在P点发生相消干涉，A=4=4，所以，S,的振动方程为J2=Acos(2元1-元)= Acos(2元1-0.1元)102.有两列沿相反方向传播的相干波，其波动方程分别为y=Acos2元(vt－x/2)和y2=Acos2元(vt+x/)，叠加后形成驻波，其波腹位置的坐标为：【C］(B) x=±号(2k+1)a(A) x=±ka(C) x=±ka(D)x=+(2k+1)a其中的k=0，1，2，3

《大学物理》作业 No.3 波的干涉 一、选择题 1.如图所示， 1 S 和 2 S 为两相干波源，它们的振动方向均垂直于图面, 发出波长为的简谐 波。P 点是两列波相遇区域中的一点，已知 S1P = 2 ， S2P = 2.2 ，两列波在 P 点发生 相消干涉。若 1 S 的振动方程为 ) 2 1 cos(2 y1 = A  t +  ， 则 2 S 的振动方程为[ D ] ) 2 1 (A) y2 = Acos( 2  t −  (B) cos( 2 ) y2 = A  t −  ) 2 1 (C) y2 = Acos( 2  t +  (D) cos(2 0.1 ) y2 = A  t −  解：S1 和 2 S 在 P 点发生相消干涉，相位差为       ( ) (2 1) 2  = 2 − 1 − r2 − r1 = k + ( ) 2 (2 1) 2 1 2 1 = k + + + r − r      (2.2 2 ) 2 2 1 (2 1)     = k +  +  + −   10 19 = 2k + 令   10 1 1 , k = − 则 2 = − 。因为 y1 和 y2 在 P 点发生相消干涉， A2 = A1 = A， 所以, 2 S 的振动方程为 ) cos( 2 0.1 ) 10 1 y2 = Acos( 2 t −  = A  t −  2.有两列沿相反方向传播的相干波，其波动方程分别为 cos2 ( / ) y1 = A  vt − x  和 cos2 ( / ) y2 = A  vt + x  ，叠加后形成驻波，其波腹位置的坐标为：[ C ] (A) x =  k  (2 1)  2 1 (B) x =  k + x k  2 1 (C) =  (2 1) 4 1 (D) x =  k + 其中的 k = 0, 1, 2, 3 1 S P 2 S

解：两列波叠加后形成驻波，其方程为y=y+=2Acos(2元)cos(x)波腹处有：cos()=±1，所以×=±,ka某时刻驻波波形曲线如图所示，则a、b两点的位相差是［A(B) 1元(A) 元(C) 元元(D) 0解：a、b为驻波波节c点两侧的点，则振动相位相反，位相差为元。在弦线上有一简谐波，其表达式是1=2.0×10-2cos[2元(1/0.02-x/20)+ 元/3] (SI)3.为了在此弦线上形成驻波，并且在x=0处为一波节，此弦线上还应有一简谐波，其表达式为：【］(A) y, =2.0×10- cos[2元(t/0.02 +x/20) +元/3] (SI)(B) y,=2.0×10~ cos[2元(t/0.02+x/20)+2元/3] (SI)(C)y,=2.0×10- cos[2元(t/0.02+x/20)+4元/3] (SI)(D) J2=2.0×10-~ cos[2元(t/0.02+x/20)-元/3] (SI)解：据驻波形成条件设另一简谐波的波动方程为：20×10~cos2(2)]由题意，×=0处为波节，则=,==元，所以0.一元+号-年个=20×10~cos[2(002)+]4.若在弦上的驻波表达式是y=0.20 sin 2元xcos 20元1（S ID)。则形成该驻波的两个反向行进的行波为：［℃］

解：两列波叠加后形成驻波，其方程为 ) 2 2 cos(2 ) cos( 1 2 y y y A t x   = + =   波腹处有： ) 1 2 cos( x =    ，所以 x k 2 1 =  某时刻驻波波形曲线如图所示，则 a、b 两点的位相差是[ A ] (A)   2 1 (B)  4 5 (C) (D) 0 解：a 、b 为驻波波节 c 点两侧的点，则振动相位相反，位相差为  。 在弦线上有一简谐波，其表达式是 2.0 10 cos[ 2 ( / 0.02 / 20) / 3 ] (SI) 2 1 =   − + − y t x 3.为了在此弦线上形成驻波，并且在 x = 0 处为一波节，此弦线上还应有一简谐波，其表 达式为：[ C ] (A) 2.0 10 cos[ 2 ( / 0.02 / 20) / 3 ] (SI) 2 2 =   + + − y t x (B) 2.0 10 cos[ 2 ( / 0.02 / 20) 2 / 3 ] (SI) 2 2 =   + +  − y t x (C) 2.0 10 cos[ 2 ( / 0.02 / 20) 4 / 3 ] (SI) 2 2 =   + +  − y t x (D) 2.0 10 cos[ 2 ( / 0.02 / 20) / 3 ] (SI) 2 2 =   + − − y t x 解：据驻波形成条件设另一简谐波的波动方程为： ) ] 0.02 20 2.0 10 cos[2 ( 2 2 2 =   + + − t x y 由题意， x = 0 处为波节，则    =  − =  − = 3 2 1 2 ，所以     3 4 3 2 = + = ] 3 4 ) 0.02 20 2.0 10 cos[2 ( 2 2 =   + +  − t x y 4.若在弦上的驻波表达式是 y = 0.20 sin 2 x cos 20 t （S I）。则形成该驻波的两个反向 行进的行波为：[ C ] A a b 2   x y c O − A

(A)=0.10 cos[2元(101-x)+] ;=0.10 cos[2(101+x)+] (SI)(B) y=0.1 cos[2(101-x)-]=0.10cos[2元(101+x)+]) (SI)(C) ,=0.10 cos[2元(10t-x)+]=0.10cos[2元(101+x)-] (SI)(D) y1=0.10 cos[2元(10t-x)+二元]J2=0.10 cos[2元(101+x)+] (SI)解: 对(C) J=+y2=0.20cos(2x-)cos(20ml)= 0.20 sin(2x)cos(20ml)二、填空题1.在截面积为S的圆管中，有一列平面简谐波在传播，其波的表达为y=Acos(o1-2元/)管中波的平均能量密度是w，则通过截面积 S的平均能流是sw。2元解：由平均能流密度和平均能流的定义，平均能流为Pww.S1-w-s-ws-sw212.两相干波源S,和S,的振动方程分别是J=AcosOt和y2=Acos(の1+S,距P点3个波长，S,距P点21/4个波长。两波在P点引起的两个振动的相位差的纯对值是4元。解：两相干波在P点的相位差为=0:-0-(5-n)元-0-(-3)-4元[Ag = 4元M3.S，S,为振动频率、振动方向均相同的两个点波源，振动方s"向垂直纸面，两者相距(a为波长)如图。已知S,的初相位N为元。（1）若使射线S,C上各点由两列波引起的振动均干涉相消，则S，的初位相应为：

] 2 1 (A) 0.10 cos[2 (10 ) y1 =  t − x +  ] (SI) 2 1 0.10 cos[ 2 (10 ) y2 =  t + x +  ] 4 (B) 0.10 cos[ 2 (10 ) 1  y =  t − x − ] (SI) 4 3 0.10 cos[ 2 (10 ) y2 =  t + x +  ] 2 1 (C) 0.10 cos[2 (10 ) y1 =  t − x +  ] (SI) 2 1 0.10 cos[2 (10 ) y2 =  t + x −  ] 4 3 (D) 0.10 cos[ 2 (10 ) y1 =  t − x +  ] (SI) 4 3 0.10 cos[2 (10 ) y2 =  t + x +  解: 对(C) ) cos(20 ) 0.20sin( 2 ) cos(20 ) 2 y y1 y2 0.20cos(2 x t x t  = + =  − = 二、填空题 1.在截面积为 S 的圆管中，有一列平面简谐波在传播，其波的表达为 ) 2 cos (    x y = A t − ， 管中波的平均能量密度是 w, 则通过截面积 S 的平均能流是 Sw   2 。 解：由平均能流密度和平均能流的定义，平均能流为 S w S S w T P = wu  S = w  =    =  ⊥        2 2 2. 两相干波源 1 S 和 2 S 的振动方程分别是 y Acost 1 = 和 ) 2 1 cos( y2 = A  t +  。 1 S 距 P 点 3 个波长， 2 S 距 P 点 21/ 4 个波长。两波在 P 点引起的两个振动的相位差的绝 对值是 4  。 解：两相干波在 P 点的相位差为：            3 ) 4 4 21 ( 2 0 2 1 ( ) 2  = 2 − 1 − r2 − r1 = − − − = −  = 4 3. 1 2 S , S 为振动频率、振动方向均相同的两个点波源，振动方 向垂直纸面，两者相距  2 3 (为波长) 如图。已知 1 S 的初相位 为  2 1 。 (1) 若使射线 S2 C 上各点由两列波引起的振动均干涉相消，则 2 S 的初位相应为： • • • M N S1 2 S C

2k元+元/2,k =0,±1, ±2,...(2）若使S,S,连线的中垂线MN上各点由两列波引起的振动均干涉相消，则S，的初位相应为：2k元+3元/2，k=0，±1，±2，…解：（1）在S外侧C点，两列波的相位差为：(μ-r)=02-号-(号2)=(2+1)元A= --2-元92=2k元+元/2,(k=0,±1,±2,-)(2）在S,S,中垂线上任一点，若产生相消干涉，则2元T=(2k+1)元Ap=02-91 -(r -n)=@2 -P2=2k元+3元/2,(k=0,±1, ±2,*-)4.设入射波的表达式为y=Acos2元（vt+)。波在×=0处发生反射，反射点为固定端，则形成的驻波表达为y=2Acos（2元x/-元）cos(2元vt+元）或y=2Acos (2元x/α+元)cos(2元v1-元)解：1=Acos（2元V1+2元）=Acos(2元V1-+2元号+22反射波在x=0处有半波损失，令,=Acos(2元V1-2元)=Acos[2V1-号-(2元+)合成驻波方程为：=+=24cos(2+)cos(2m1-或者：将写成Acos(2+2元x/2)=Aos(2v1++2反波为Aos(22元+)=40os2→-(2合成驻波方程为：y=+=2Acos(2元)cos(2m1+)2

2k + / 2 , k = 0, 1,  2 , 。 (2) 若使 S1 S2 连线的中垂线 M N 上各点由两列波引起的振动均干涉相消，则 2 S 的 初位相应为： 2k + 3 / 2 , k = 0, 1,  2 ,  解：(1) 在 2 S 外侧 C 点，两列波的相位差为： ( ) 2 2 1 2 1  = − − r − r            ) (2 1) 2 3 ( 2 2 = 2 − − − = k + 2 / 2 ,( 0, 1, 2 , ) 2  = k + k =    (2) 在 S1S2 中垂线上任一点，若产生相消干涉，则         (2 1) 2 ( ) 2  = 2 − 1 − r2 − r1 = 2 − = k + 2 3 / 2 ,( 0, 1, 2 , ) 2  = k +  k =    4. 设入射波的表达式为 cos 2 ( ) 1   x y = A v t + 。 波在 x = 0 处发生反射，反射点为固 定端，则形成的驻波表达为 ) 2 1 ) cos( 2 2 1 y = 2 A cos ( 2 x /  −   v t +  ) 2 1 ) cos( 2 2 1 或 y = 2 A cos ( 2 x /  ＋   v t −  。 解： ) 2 2 2 1 cos ( 2 2 ) cos ( 2       =  +  = − + + x A v t x y A v t 反射波在 x = 0 处有半波损失，令 )] 2 (2 2 2 cos ( 2 2 ) cos [ 2        =  −  − = − − + x A v t x y A v t 合成驻波方程为： ) 2 ) cos(2 2 1 2 2 cos(2     = + =  + v t − x y y y A 或者：将 1 y 写成 ), 2 2 2 1 1 cos ( 2 2 / ) cos( 2   =   +   =  +  +  − x y A t x A v t 反射波为： )] 2 (2 2 2 cos ( 2 2 ) cos [ 2        =  −  + = + − − x A v t x y A v t 合成驻波方程为： ) 2 ) cos(2 2 1 2 2 cos(2     = + =  − v t + x y y y A

5.一简谐波沿0x轴正方向传播，图中所示为该波时刻的波形图。欲沿0x轴形成驻波，且使坐标原点0处出现波节，在另一图上画出另一简谐波t时刻的波形图。解：另一简谐波如右下图所示。6.在真空中沿轴负方向传播的平面电磁波，其电场强度的波的表达式为E, =800 cos 2v(t+) (SI),则磁场强度波的表达式是H, =-2.12cos2元v(t+x/c) (SI)。（真空的介电常数8=8.85×10-12F-m-真空的磁导率g=4π×10-7Hm2）E解：由S-ExH,E沿y方向，H一定沿-方向。H布由VEE=M.H.H与E同位又 8.85×10-260Ho=Mo×800=2.12(A·m)LE。=4元×10-7所以 H,=-2.12cos2元v(t+x/c) (SI)三、计算题1．如图所示，原点0是波源，振动方向垂直于纸面，波长是：AB为波的反射平面，反射时无相位突变：0点位于A点的正上方，AO=h。Ox轴平行于AB.求Ox轴上干涉加

5. 一简谐波沿 Ox 轴正方向传播，图中所示为该波 t 时刻的波形图。欲沿 Ox 轴形成驻波，且使坐标原点 O 处出现波节，在另一图上画出另一简谐波 t 时刻的波 形图。 解：另一简谐波如右下图所示。 6. 在真空中沿 x 轴 负 方 向传 播 的 平 面电 磁 波 ， 其电 场 强 度的 波 的 表 达式 为 800 cos 2 ( ) (SI), c x E v t y = + 则 磁 场 强 度 波 的 表达式是 H 2.12cos2 v(t x / c ) (SI) z = −  + 。 (真空的介电常数 12 2 0 8.85 10 F m − −  =   真 空 的磁 导 率 7 2 0 4 10 H m − −  =    ) 解：由 S E H E     =  , 沿 y 方向， H  一定沿 − z 方向。 又 由 0 E0 = M0 H0  ， H E   与 同频率同相位 800 2.12(A m ) 4 10 8.85 10 1 7 12 0 0 0 0 − − −  =    = =   E M H ， 所以 H 2.12cos2 v(t x / c ) (SI) z = −  + x O h A B 三、计算题 1. 如图所示，原点 O 是波源，振动方向垂直于纸面，波长是 ．AB 为波的反射平面，反 射时无相位突变 ．O 点位于 A 点的正上方， AO = h ．Ox 轴平行于 AB．求 Ox 轴上干涉加 O x y A u O x y A u S  Ey H z z y x

强点的坐标（限于x≥0).解：沿0x轴传播的波与从AB面上P点反射来的波在坐标x处相遇，两波的波程差为 = 2/(x/2) +h2 -x2分代入干涉加强的条件，有：2/x/2)2+h-x=ka,k=1,2, ..1分x2+4h?=x2+*+2xkaZL2xk =4h2-224h-k222分2k元k=1,2,3,…,<2h / （当x=0时，由4h2-k可得k=2h/.）由() 0 0-= (2+1) + 2(d_2) (2k+1) + 2(302×2) 2+5)当k=-2或-3时相位差最小，P2-9=±元一列横波在绳索上传播，其表达式为2.(SI)=0.05cos[2元(0,05-]（1）现有另一列横波（振幅也是0.05m）与上述已知横波在绳索上形成驻波。设这横波在x=0处与已知横波同位相，写出该波的表达式。(2）写出绳索上的驻波表达式；求出各波节的位置坐标；并写出离原点最近的四个波节的坐标数值解：（1）由形成驻波的条件。可知待求波的频率和波长均与已知波相同，传播方向为x轴

强点的坐标（限于 x ≥ 0）． 解：沿 Ox 轴传播的波与从 AB 面上 P 点反射来的波在坐标 x 处相遇，两波的波 程差为 = x + h − x 2 2  2 ( / 2) 2 分 代入干涉加强的条件，有： x + h − x = k 2 2 2 ( / 2) ， k = 1，2，. 1 分 x 4h x k  2xk 2 2 2 2 2 + = + + x O h A B x 2 2 2 2xk = 4h − k    k h k x 2 4 2 2 2 − = ． 2 分 k = 1，2，3，.，< 2 h / ． （当 x = 0 时，由 2 2 2 4h − k  可得 k = 2 h / ．） 由(1)式         (2 5) 6 2 (30 2 9) (2 1) 2 ( 2 ) (2 1) 1 2 1 = + −  = + + − − = + + k k d x k 当 k = −2或−3 时相位差最小，2 −1 =  2. 一列横波在绳索上传播，其表达式为 )] 0.05 4 0.05cos[2 ( 1 t x y =  − (SI) (1) 现有另一列横波（振幅也是 0.05 m）与上述已知横波在绳索上形成驻波．设这 一横波在 x = 0 处与已知横波同位相，写出该波的表达式． (2) 写出绳索上的驻波表达式；求出各波节的位置坐标；并写出离原点最近的四个波 节的坐标数值. 解：(1) 由形成驻波的条件．可知待求波的频率和波长均与已知波相同，传播方向为 x 轴

的负方向．又知X=0处待求波与已知波同相位，：待求波的表达式为) 0 0so2(033分(2）驻波表达式=+2.y=0.10cos(元x)cos(40元l） (SI)2分波节位置由下式求出，元x /2 = = 元(2k + 1)k=0，±1，±2，…..X= 2k+ 12分k=0，±1,±2，.*.离原点最近的四个波节的坐标是1分x= 1 m、-1 m、3 m、-3 m3.如图，一圆频率为の、振幅为A的平面简谐波沿XM轴正方向传播，设在t=0时刻该波在坐标原点0处引起的振动使媒质元由平衡位置向y轴的正方向运动。M是垂直于X轴的波密媒质反射面。已知00=5/4，PO=/4（为该波波长)：设反射波不衰减，求：入射波与反射的波动方程；P点的振动方程。解：（1）由题意知0点振动相位为-号，则 0点的振动方程为%=Acos(oi-号),入射波的波动方程为=Acos(o1-号-2元）（x≤)入射波在反射点0 引起的振动方程为y。=Aco(1-号-2元.52/4))= Acos(ot-元)在○'点反射时，有半波损失，所以反射波波动方程为- 0(o1-(-)- eo(+-)(2）合成波的波动方程为

的负方向．又知 x = 0 处待求波与已知波同相位，∴待求波的表达式为 )] 0.05 4 0.05cos[2 ( 2 t x y =  + 3 分 (2) 驻波表达式 1 2 y = y + y ∴ ) cos(40 ) 2 1 y = 0.10cos( x t (SI) 2 分 波节位置由下式求出． (2 1) 2 1 x / 2 =  k + k = 0，±1，±2，. ∴ x = 2k + 1 k = 0，±1，±2，. 2 分 离原点最近的四个波节的坐标是 x = 1 m、-1 m、3 m、-3 m. 1 分 3. 如图，一圆频率为  、振幅为 A 的平面简谐波沿 x 轴正方向传播，设在 t = 0 时刻该波在坐标原点 O 处引 起的振动使媒质元由平衡位置向 y 轴的正方向运动 。M 是 垂 直 于 x 轴 的 波 密 媒 质 反 射 面 。 已 知 OO' = 5 / 4， PO' =  / 4 (  为该波波长)；设反射 波不衰减，求： 入射波与反射的波动方程； P 点的振动方程。 解：(1) 由题意知 O 点振动相位为 2  − ， 则 O 点的振动方程为 ), 2 cos( 0  y = A t − 入射波的波动方程为 ) 4 5 2 ) ( 2 cos( 1     =  − − x  x y A t 入射波在反射点 O 引起的振动方程为 ) cos( ) 5 / 4 2 2 cos(       yo  = A t − −  = A t − 在 O 点反射时，有半波损失，所以反射波波动方程为 ) 2 2 ( )] cos( 2 cos[ 2       y = A t − oo  − x = A t + x − (2) 合成波的波动方程为 O O P x y M

=+=Acos(o1-x)+Acos(01+x)=2Acos - cos(o1-)2将P点坐标OP=a代入上式，得P点振动方程y=2Acos(ot-)

) 2 2 ) cos( 2 2 cos( 1 2        y = y + y = A t − x − + A t + x − ) 2 cos( 2 2 cos     = t − x A 将 P 点坐标 OP =  代入上式，得 P 点振动方程 ) 2 2 cos(  y = A t −