《大学物理学》课程作业习题（含解答）No.4 狭义相对论

《大学物理AI》作业No.5狭义相对论一、选择题：（注意：题目中可能有一个或几个正确答案）1.下列几种说法：［D］（1）所有惯性系对物理基本规律都是待价的。（2）在真空中，光的速率与光的频率。光源的运动状态无关。（3）在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向的传播速度都相同。其中哪些说法是正确的？（A）只有（1）、（2）是正确的。（B）只有（1）、（3）是正确的。（C）只有（2）、（3）是正确的。(D）三种说法都是正确的。解：根据狭义相对性原理和光速不变原理，（1)、(2)、(3)三种说法都是正确的。故选D2。宇宙飞船相对于地面以速度v作匀速直线飞行，某一时刻飞船头部的宇航员向飞船尾部发出一个光讯号，经过△t（飞船上的钟）时间后，被尾部的接收器收到，则由此可知飞船的固有长度为［A】(A) c-At(B) vAtc-At(C) c.At. /1-(v/e)(D)(c表示真空中光速）/1-(v/c)2解：在飞船参考系中，光的传播速度为c，Ar时间光从飞船头部传到尾部，所以c·△t就是飞船的固有长度。故选A3.K系与K'系是坐标轴相互平行的两个惯性系，K'系相对于K系沿0x轴正方向匀速运动。一根刚性尺静止在K'系中，与0'x轴成30°角。今在K系中观察得该尺与0X轴成45角，则K"系相对于K系的速度u是：［℃］(B) (1 / 3)c(A) (2 / 3)c(C) (2 / 3) /2 c(D) (1/3) /2 c解：尺在K'系中静止，是固有长度。它在x，y'轴上投影分别为△r'和Ay'；在K系，尺的投影分别为Ax和Ay，由题设条件，=1g30，=1g45°r

《大学物理 AI》作业 No.5 狭义相对论 一、选择题：（注意：题目中可能有一个或几个正确答案） 1．下列几种说法：[ D ] （1）所有惯性系对物理基本规律都是待价的。 （2）在真空中，光的速率与光的频率。光源的运动状态无关。 （3）在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向的传播速度都相同。 其中哪些说法是正确的？ （A）只有（1）、（2）是正确的。 （B）只有（1）、（3）是正确的。 （C）只有（2）、（3）是正确的。 （D）三种说法都是正确的。 解：根据狭义相对性原理和光速不变原理，(1)、(2)、(3)三种说法都是正确的。 故选 D 2．宇宙飞船相对于地面以速度 v 作匀速直线飞行，某一时刻飞船头部的宇航员向飞船尾部发 出一个光讯号，经过  t （飞船上的钟）时间后，被尾部的接收器收到，则由此可知飞船的 固有长度为[ A ] (A) c   t (B) v   t (C) 2 c   t  1− (v / c) (D) 2 1 (v / c) c t −   (c 表示真空中光速) 解：在飞船参考系中，光的传播速度为 c , t 时间光从飞船头部传到尾部，所以 c t 就是飞 船的固有长度。 故选 A 3．K 系与 K 系是坐标轴相互平行的两个惯性系， K 系相对于 K 系 沿 o x 轴正方向匀速运动。一根刚性尺静止在 K 系中，与 o  x  轴 成  30 角。今在 K 系中观察得该尺与 o x 轴成  45 角，则 K 系相对 于 K 系的速度 u 是：[ C ] (A) (2 / 3) c (B) (1 / 3) c (C) c 1 2 (2 / 3) (D) c 1 2 (1 / 3) 解：尺在 K 系中静止，是固有长度。它在 x  , y  轴上投影分别为 x  和 y  ；在 K 系，尺的 投影分别为 x 和 y ，由题设条件，   30 , tg45 x y tg x y =   =     y x x   30 O O y  K K u

又Ay=4y,Ax=Ar 1-()2,可得 J-( -0tg45/3"V.故选C4.一宇宙飞船相对于地以0.8℃（c表示真空中光速）的速度飞行。一光脉冲从船尾传到船头，飞船上的观察者测得飞船长为90m，地球上的观察者测得光脉冲从船上尾发出和到达船头两事件的空间间隔为[［C](A)90 m(B) 54 m(c) 270 m(D) 150 m解：设地球参考系为K系，飞船参考系为K'系，K'系相对于K系沿X方向以u=0.8c的速度飞行。由洛仑兹变换x=(x+ut)得地球上的观察者测量两事件的空间间隔为Ar=r(Ar'+uar)(0+0.8 3x10**%)V1-0.82= 270 (m)故选C5.在参照系S中，有两个静止质量都是m。的粒子A和B，分别以速度v沿同一直线相向运动，相碰后合在一起成为一个粒子，则其静止质量M。的值为［A2mo(A)(B) 2mo/1-(v/e)2/1-(v/c)2(c) me /i-(v/e)2(D) 2mo（c表示真空中光速）解：由动量守恒定律可知在S系中两粒子碰后生成的粒子静止不动，由能量守恒定律Mc2=2mc2可得M.=2m=2 mo2mo故选AVi-(v/e)26.根据相对论力学，动能为1/4MeV的电子，其运动速度约等于［D(A)0.1c(B) 0.5c(C)0.75c(D)0.85c

又 y = y  ， 2 1 ( ) c u x = x  − ,可得 3 1 45 30 1 ( ) 2 − = =   tg tg c u u c 3 2 = 故选 C 4．一宇宙飞船相对于地以 0.8 c ( c 表示真空中光速 )的速度飞行。一光脉冲从船尾传到船 头，飞船上的观察者测得飞船长为 90m，地球上的观察者测得光脉冲从船上尾发出和到达船头 两事件的空间间隔为[ C ] (A) 90 m (B) 54 m (C) 270 m (D) 150 m 解：设地球参考系为 K 系，飞船参考系为 K 系， K 系相对于 K 系沿 x 方向以 u = 0.8c 的速 度飞行。由洛仑兹变换 x =  (x  + ut) 得地球上的观察者测量两事件的空间间隔为 ) 3 10 90 (90 0.8 3 10 1 0.8 1 ( ) 8 8 2  +    − = x = r x  + ut = 270 (m) 故选 C 5．在参照系 S 中，有两个静止质量都是 m0 的粒子 A 和 B，分别以速度 v 沿同一直线相向运 动，相碰后合在一起成为一个粒子，则其静止质量 M0 的值为[ A ] (A) 2 0 1 ( / ) 2 v c m − (B) 2 0 2m 1− (v / c) (C) 2 1 ( / ) 2 v c mo − (D) 2m0 ( c 表示真空中光速 ) 解：由动量守恒定律可知在 S 系中两粒子碰后生成的粒子静止不动， 由能量守恒定律 2 2 M 0 c = 2mc 可得 0 0 2 2 m M m =  = 2 0 1 ( / ) 2 v c m − = 故选 A 6．根据相对论力学，动能为 1 / 4 M e V 的电子，其运动速度约等于[ D ] (A) 0.1c (B) 0.5c (C) 0.75c (D) 0.85c

（c表示真空中光速，电子的静止能量moc2=0.5MeV）解：由相对论对能量公式有动能：Ek=mc2-moc2=(y-1)moc2，即0.25MeV=(y-1)×0.5MeV从而得-1.5,I/1-(u/c)2故选Du~0.75c二、填空题：一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行。如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则2.40×10°(m s-)他所乘的火箭相对于地球的速度应为解：火箭上的钟测出的是固有时间，Λt'=3光年；地球上的钟测出的是测量时间△I=5光年。由钟慢效应，At'=-t一x5，得31-1-(-16c= 2.40×10 (m.s")V252.一列高速火车以速度u驶过车站时，停在站台上的观察者观察到固定在站台上相距1m的两只机械手在车厢上同时划出两个痕迹，则车厢上的观察者测出的这两个痕迹之间的距离应为 1/ /i-(u/c m 解：设站台为K系，火车为系K，K'系相对于K系沿X轴以速度u运动。由洛仑兹变换 x=r(x-u·t)可得Ar'= r(Ar - u ·At)已知Ax=1,t=0,所以Ar'= y Ax(m)/1-(")?

( c 表示真空中光速，电子的静止能量 0.5MeV 2 m0 c = ) 解：由相对论对能量公式有动能： 2 0 2 0 2 E mc m c ( 1)m c k = − =  − ，即 0.25MeV = ( −1) 0.5MeV 从而得 9 5 1.5 , ( ) 1 ( / ) 1 2 2 = = − = c u u c  u  0.75c 故选 D 二、填空题： 1．一宇航员要到离地球为 5 光年的星球去旅行．如果宇航员希望把这路程缩短为 3 光年，则 他所乘的火箭相对于地球的速度应为 2.40 10 (m s ) 8 −1   。 解：火箭上的钟测出的是固有时间， t = 3 光年； 地球上的钟测出的是测量时间 t = 5 光年。 由钟慢效应， 5 1 ,3 1   =  =    t t ，得 2.40 10 (m s ) 25 16 5 3 1 ( ) 1 8 1 2 − = =   = − = u c c u  2．一列高速火车以速度 u 驶过车站时，停在站台上的观察者观察到固定在站台上相距 1 m 的 两只机械手在车厢上同时划出两个痕迹，则车厢上的观察者测出的这两个痕迹之间的距离应 为 1/ 1 ( / ) m 2 − u c 。 解：设站台为 K 系，火车为系 K， K 系相对于 K 系沿 x 轴以速度 u 运动。 由洛仑兹变换 x  =  (x − u  t) 可得 x  =  (x − u  t) 已知 x =1, t = 0,所以 (m) 1 ( ) 1 2 c u x x −   =   =

3.在S系中的x轴上相隔为Ar处有两只同步的钟A和B.它们的读数相同，在S'系中的x车上也有一只同样的钟A"，若沿x轴方向S'系相对于S系的运动速度为v且当A'与A相遇时，刚好两钟（A'与A)的读数均为零。那么，当A'钟与B钟相遇时，在S系中B钟的读数应是(Ax /v)/1-(v/c)2Ax/v：此时在S"系中A'钟的读数是解：（1）Ax和u都是在S系中测量的，所以A"钟与B钟相遇L时，B钟的读数应为1=At= rB(2）S'系中的钟A'位置固定，对S系来说是动钟，测量的时Ax-间为固有时间由钟慢效应，△t'=-"△t，所以A"与B相遇时A'的读数为(2.Art'=Ar'=14.观察者甲以c的速度（c以为真空中光速）相对于观察者乙运动，若甲携带一长度为1、截面积为S，质量为m的棒，这根棒安放在运动方向上，则一甲测得此棒的密度为I乙测得此棒的密度为解：（1）在甲所在的参考系中，棒静止，其长度1为固有长度，截面积为S，所以甲测量此棒的密度为mmpV"Is(2）相对于乙所在的参考系，由尺缩效应和质一一速关系I'=y-ll,s'=s, m'=ym所以乙测量该棒的密度应为251p'=m产兴--会会-ls三、计算题：1.观察者甲和乙分别静止于两个惯性参照系K和K'中，甲测得在同一地点发生的两个事件的时间间隔为4s，而乙测得这两个事件的时间间隔为5s，求：

3．在 S 系中的 x 轴上相隔为 x 处有两只同步的钟 A 和 B，它们的读数相同，在 S 系中的 x  轴 上也有一只同样的钟 A ，若沿 x 轴方向 S 系相对于 S 系的运动速度为 v，且当 A 与 A 相遇时， 刚好两钟( A 与 A)的读数均为零。那么，当 A 钟与 B 钟相遇时，在 S 系中 B 钟的读数应是 x / v ；此时在 S 系中 A 钟的读数是 2 (x / v) 1− (v / c) 。 解：(1) x 和 u 都是在 S 系中测量的，所以 A 钟与 B 钟相遇 时，B 钟的读数应为 v x t t  =  = (2) S 系中的钟 A 位置固定，对 S 系来说是动钟，测量的时 间为固有时间 由钟慢效应， t = t −1  ，所以 A 与 B 相遇时 A 的读数为 v x c v t t   =   = −  2 1 ( ) 4．观察者甲以 c 5 4 的速度（c 以为真空中光速）相对于观察者乙运动，若甲携带一长度为 l 、 截面积为 S，质量为 m 的棒，这根棒安放在运动方向上，则 甲测得此棒的密度为 l s m ； 乙测得此棒的密度为 l s m  9 25 。 解：(1) 在甲所在的参考系中，棒静止，其长度 l 为固有长度，截面积为 S，所以甲测量此棒 的密度为 l s m m = = v  (2) 相对于乙所在的参考系，由尺缩效应和质——速关系 l =  l S = S m  =  m − , , 1 所以乙测量该棒的密度应为 ls m ls m l s m l s m m 9 25 ) 5 4 1 ( 1 v 2 2 1  = − = = =    = −     三、计算题： 1．观察者甲和乙分别静止于两个惯性参照系 K 和 K 中，甲测得在同一地点发生的两个事件 的时间间隔为 4s ，而乙测得这两个事件的时间间隔为 5s，求： A v x  A B x x

（1）K'相对于K的运动速度。（2）乙测得这两个事件发生的地点的距离。解：（1）甲测得同一地点发生的两个事件的时间间隔为固有时间：NT= 4s乙测得两事件的时间间隔为观测时间：Ar'=5s由锌慢效应=，即可得K'相对于K的速度：u=gc2（2）由洛仑兹变换x'=y(x-ut)，乙测得两事件的坐标差为Ar'=r(Ax- ul)由题意Ax=0有：unAr'= -V-c-- 060x4-30Vi-G= -9x10°(m)即两事件的距离为L=Ax=9×108(m)2．一隧道长为L，宽为d，高为h，拱顶为半圆，如图。设想一列车以极高的速度沿隧道长度方向通过隧道，若从列车上观察，（1）隧道的尺寸如何？(2）设列车的长度为1。，它全部通过隧道的时间是多少？解：（1）由尺缩效应，列车上观察隧道长度为L'"= Jl-(yL(2）从列车上观察，隧道以速度v经过列车，列车全部通过的距离为L'+lo。时间为L/1-()2 +10L'+loAt'=

（1） K 相对于 K 的运动速度。 （2）乙测得这两个事件发生的地点的距离。 解：（1）甲测得同一地点发生的两个事件的时间间隔为固有时间： t = 4s 乙测得两事件的时间间隔为观测时间： t = 5s 由钟慢效应 t = t −1  ，即： 5 4 1 ( ) 2 =    − = t t c u 可得 K 相对于 K 的速度： u c 5 3 = （2）由洛仑兹变换 x  =  (x − ut) ，乙测得两事件的坐标差为 x  =  (x − ut) 由题意 x = 0 有： 9 10 (m) 3 ) 5 3 1 ( 0.6 4 1 ( ) 8 2 2 = −  = − −  = − −    = − c c c u u t x 即两事件的距离为 9 10 (m) 8 L = x  =  2．一隧道长为 L，宽为 d ，高为 h , 拱顶为半圆，如图。设想一列车以极高的速度 v 沿隧道 长度方向通过隧道，若从列车上观察， (1) 隧道的尺寸如何？ (2) 设列车的长度为 0 l ，它全部通过隧道的时间是多少？ 解： (1) 由尺缩效应，列车上观察隧道长度为 L c u L 2  = 1− ( ) (2) 从列车上观察，隧道以速度 v 经过列车，列车全部通过的距离为 0 L + l ，时间为 v l c v L v L l t 0 2 0 1− ( ) + =  +   = h d L d / 2

3。一电子以0.99c(c为真空中光速)的速率运动。试求：（1）电子的总能量是多少？（2）电子的经典力学的动能与相对论动能之比是多少？（电子静止质量me=9.1×10-31kg）解：（1）由相对论质能公式，电子的总能量为m.cE=mc =ym.c=-/1-(v/c)_ 9.1×10-1 (3×10°)/1(0.99)2=5.80×10-()(2)电子的经典力学动能为Ek=mv2，相对论动能为Ek=mc2-mec2，二者之比为×9.1×10-31 (0.99×3×10%)24.01×10-14EK=5.8×10-13-9.1x10-3)×(3×108)2=4.99×10-13= 8.04 ×10-2

3．一电子以 0.99 c (c 为真空中光速)的速率运动。试求： （1）电子的总能量是多少？ （2）电子的经典力学的动能与相对论动能之比是多少？ （电子静止质量 9.1 10 kg −31 me =  ） 解：(1) 由相对论质能公式，电子的总能量为 5.80 10 (J) 1 (0.99) 9.1 10 (3 10 ) 1 ( / ) 13 2 31 8 2 2 2 2 2 − − =  −    = − = = = v c m c E mc m c e e  (2) 电子的经典力学动能为 2 2 1 E m v K = e ，相对论动能为 2 2 E mc m c K = − e  ，二者之 比为 2 13 14 13 31 8 2 31 8 2 8.04 10 4.99 10 4.01 10 5.8 10 9.1 10 (3 10 ) 9.1 10 (0.99 3 10 ) 2 1 − − − − − − =    =  −         = K K E E