《大学物理学》课程作业习题（含解答）No.2-2 能量、能量守恒定律

《大学物理AI》作业能量、能量守恒定律￥No 4一、选择题：（注意：题目中可能有一个或几个正确答案）1.一个质点在几个力同时作用下的位移为：△F=47-5j+6k(SI)其中一个力为恒力F=-3i-57+9k(SI)，则此力在该位移过程中所作的功为［D](A) -67 J(B) 91 J(D) 67 J(C) 17 J解：由功的定义，恒力F的功为4 = F AF =(-37 - 57 +9k) (47 -57 + 6k)12 + 25 + 54 = 67()故选D2.一质点在如图所示的坐标平面内作圆周运动，有一力F=F(xi+yi)作用在质点上。在该质点从坐标原点运动到(0,2R）位置过程中，力F对它所作的功为［B(A) FoR?(B) 2F.R2(C) 3F, R2(D) 4F,R2解：由功的定义，力F所作的功为A=JF.dr=F,dx+[F,dy=I"Foxdx+f"”Foydy=2F,R2故选B3．对功的概念有以下几种说法：保守力作正功时，系统内相应的势能增加质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零作用力和反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作的功的代数和必然为零。在上述说法中：［C（A）（1）、（2）是正确的（B）（2)、（3）是正确的（C）只有（2）是正确的（D）只有（3）是正确的

《大学物理 AI》作业 No 4 能量、能量守恒定律 一、选择题：（注意：题目中可能有一个或几个正确答案） 1．一个质点在几个力同时作用下的位移为： r 4i 5 j 6k (SI)      = − + 其中一个力为恒力 F 3i 5 j 9k (SI)     = − − + ，则此力在该位移过程中所作的功为 [ D ] （A）-67 J （B）91 J （C）17 J （D）67 J 解：由功的定义，恒力 F  的功为 A F r ( 3i 5 j 9k ) (4i 5 j 6k )         =   = − − +  − + = −12 + 25 + 54 = 67(J) 故选 D 2．一质点在如图所示的坐标平面内作圆周运动，有一力 ( ) 0 F F x i y j    = + 作用在质点上。在该质点从坐标原点运动到 (0，2R ) 位置过程中，力 F  对它所作的功为[ B ] （A） 2 F0 R （B） 2 0 2F R （C） 2 3F0 R （D） 2 0 4F R 解：由功的定义，力 F  所作的功为  =  +  A = F  r F x F y d xd yd   2 0 2 0 0 0 0 F0 xdx F ydy 2F R R = + =   故选 B 3．对功的概念有以下几种说法： 保守力作正功时，系统内相应的势能增加。 质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零。 作用力和反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作的功的代数和必然为零。 在上述说法中：[ C ] （A）（1）、（2）是正确的 （B）（2）、（3）是正确的 （C）只有（2）是正确的 （D）只有（3）是正确的。 X Y R O

解：（1）不对。A保=-△Ep，A保>0时，AE,0,W20,W20(C) W,=0,W,0(D) W =0,W,0,W,>0故选C6在如图所示系统中（滑轮质量不计，轴光滑），外力F通过不可T伸长的绳子和一佩强系数K=200N/m的轻弹簧缓慢地拉地面上的Tm物体。物体的质量M=2kg，初始时弹簧为自然长度，在把绳子拉M下20cm的过程中，F所做的功为（重力加速度g取10m/s2)［℃］

解：（1）不对。 A保 = −Ep , A保  0时， Ep  0 ，势能减小。 (2) 正确。保守力的定义已是沿任意一闭全回路径作功为零。 (3) 不对。一对力虽然大小相等方向相反，但两质点的位移并不一定大小相等方向相反，所 以一对力的功的代数和不一定为零。只有两质点的间距不变时，作用力和反作用力功的代数 和才为零。 故选 C 4．对于一个物体系统来说，在下列条件中，那种情况下系统的机械能守恒？[ C ] （A）合外力为 0 （B）合外力不作功 （C）外力和非保守内力都不作功 （D）外力和保守力都不作功。 解：系统机械能守恒的条件是 A外 + A非保内 = 0， 当 A外 = 0， A非保内 = 0 时满足机械能守恒条件。 故选 C 5．一个作直线运动的物体，其速度 v 与时间 t 的关系曲线如图 所示。设时刻 1 t 至 2 t 间外力做功为 W1 ；时刻 2 t 至 3 t 间外力 作的功为 W2 ；时刻 3 t 至 4 t 间外力做功为 W3 ，则[ C ] （A） 0, 0 , 0 W1  W2  W3  （B） W1  0,W2  0 ,W3  0 （C） 0, 0 , 0 W1 = W2  W3  （D） W1 = 0,W2  0 ,W3  0 解：根据质点的动能定理： W = Ek 有 t ~ t 间，v 1 2 不变, Ek = 0,所以W1 = 0 t 2 ~ t 3间，v减小， Ek  0, W2  0 t3 ~ t4间， v 增大， Ek  0, W3  0 故选 C 6．在如图所示系统中（滑轮质量不计，轴光滑），外力 F  通过不可 伸长的绳子和一倔强系数 K = 200N/m 的轻弹簧缓慢地拉地面上的 物体。物体的质量 M = 2kg ，初始时弹簧为自然长度，在把绳子拉 下 20cm 的过程中， F  所做的功为 ( 重力加速度 g 取 2 10m/s )[ C ] v O 1 t 2 t 3 t 4 t t F  20cm M o

(A) 2J(B) 1J(C) 3J(E) 20J(D) 4J解：外力刚向下拉时，弹簧伸长，物体M未被拉起，直到弹簧伸长x。时，M才被拉起并向=2x10=0.1(m）于是，物体在整个过程中力函数为上匀速运动。xo2000≤x≤0.1F=J[Mg=200.1≤x≤0.2因物体缓慢上升，外力F的功等于物体受力丁的功，为A= [ Fdx=f" kxdx+[0 Mg dx=I+2 =3()故选C二、填空题：1．有一强系数为k的轻弹簧，竖直放置，下端悬一质量为m的小球。先使弹簧为原长，而小球恰好与地接触。再将弹簧上端缓慢地提起，直到小球刚能脱离地面为止。在此过程中m'g"外力所作的功为解：设小球刚离开地面时伸长量为xo，由kg=mg知x。=mEwwr在此过程中外力所作的功为A-I kxdx=kx -m)02k02.不考虑相对论效应时，下列物理量：质量、动量、冲量、动能、势能、功中与参照系的选择有关的物理量是力能、动量、解：在经典力学中，质量与参考系无关：动量p=mv，与参考系有关，所以P与参考系有关：冲量i=[Fdr中F和1都与参考系无关，所以7与参考系无关：动能E,=mv，因v与参考系有关而有关：势能与物体间的相对位置有关，与参考系无关；功A=[F·dF因位移dr与参考有关而有关。3.一质量为m=5kg的物体，在0到10秒内，受到如图所示的变力F的作用，由静止开始沿x轴正向运动，而力的方向始终为x轴的正方向，则10秒内变力F所做的功4000J解：由图可知，物体受力为

（A） 2J （B） 1J （C） 3J （D） 4J （E） 20J 解：外力刚向下拉时，弹簧伸长，物体 M 未被拉起，直到弹簧伸长 0 x 时，M 才被拉起并向 上匀速运动。 0.1(m) 200 2 10 0 =  = = k Mg x 于是，物体在整个过程中受力函数为    =     = 20 0.1 0.2 0 0.1 Mg x kx x F 因物体缓慢上升，外力 F 的功等于物体受力 f 的功，为 d d d 1 2 3 (J) 0.2 0.1 0.1 0 0.2 0 = = + = + =    A F x k x x Mg x 故选 C 二、填空题： 1．有一倔强系数为 k 的轻弹簧，竖直放置，下端悬一质量为 m 的小球。先使弹簧为原长， 而小球恰好与地接触。再将弹簧上端缓慢地提起，直到小球刚能脱离地面为止。在此过程中 外力所作的功为 k m g 2 2 2 。 解：设小球刚离开地面时伸长量为 0 x ，由 kx0 = mg 知 k mg x0 = 在此过程中外力所作的功为  = = = 0 0 2 2 0 2 ( ) 2 1 d x k mg A k x x k x 2. 不考虑相对论效应时，下列物理量：质量、动量、冲量、动能、势能、功中与参照系的 选择有关的物理量是 动能、动量、功 。 解：在经典力学中，质量与参考系无关；动量 p mv   = , v  与参考系有关，所以 p  与参考 系有关；冲量 I Fdt  =   中 F  和 t 都与参考系无关，所以 I  与参考系无关；动能 2 2 1 E mv k = ， 因 v 与参考系有关而有关；势能与物体间的相对位置有关，与参考系无关；功  A = F  r   d 因 位移 r  d 与参考有关而有关。 3．一质量为 m=5kg 的物体，在 0 到 10 秒内，受到如图所示的变力 F 的作用，由静止开始沿 x 轴正向运动，而力的方向始终为 x 轴的正方向，则 10 秒内变力 F 所做的功 4000 J 。 解：由图可知，物体受力为 F x o

[810≤t≤5F(0)=20F(N)5≤1≤100~5秒内应用动量定理[,8tdi=mvs-0 得$ =4x5 =20(m s)Vs =10t(s)5~10秒内再应用动量定理flo20tdt=mVio-mvs得_200-)+→,=20+20=40 (m·s")5根据质点的动能定理，10秒内变力的功为A=1mvo-0=×5×402=4000()4.一长为1，质量为㎡的匀质链条，放在光滑的桌面上若其长度的1/5悬挂于桌边下，将其慢慢拉回桌面，外力需mgl/50做功解：设桌面为重力势能零势面，以向下为坐标轴正向。在下垂的链条上坐标为x处取质量元dm="d，将它提上桌面，外力反抗重力作功d4=dm·gxgxdx，将悬挂部分全部拉到桌面上，外力作功为：A=J"s" gxdx= mg!S5．一质量为m的质点，仅受到力F=k亏的作用，式中k为常数，F为从某一定点到质点的/2k/(mr)矢径。该质点在r=r。处由静止开始运动，则当它到达无穷远时的速率为解：因质点受力F=k是有心力，作功与路径无关，故由动能定理[F·dr=mz-mo有2k5-dr2k质点到达无穷远时的速率：mrom

       = 20 5 10 8 0 5 ( ) t t t F t 0~5 秒内应用动量定理 8 d 5 0 5 0  t t = mv − 得 20 (m s ) 5 4 5 1 2 5 − =   v = 5~10 秒内再应用动量定理 10 5 10 0 20td t = mv − mv  得 20 20 40 (m s ) 5 20(10 5) 1 10 5 − + = + =  − v = v 根据质点的动能定理，10 秒内变力的功为 5 40 4000(J) 2 1 0 2 1 2 2 A = mv10 − =   = 4．一长为 l，质量为 m 的匀质链条，放在光滑的桌面上， 若其长度的 1/5 悬挂于桌边下，将其慢慢拉回桌面，外力需 做功 mgl / 50 。 解：设桌面为重力势能零势面，以向下为坐标轴正向。在下 垂的链条上坐标为 x 处取质量元 x l m dm = d ，将它提上桌 面，外力反抗重力作功 gx x l m dA = dm  gx = d ，将悬挂部分全部拉到桌面上，外力作功 为： 50 d / 5 0 mgl gx x l m A l =  = 5．一质量为 m 的质点，仅受到力 3 r r F k   = 的作用，式中 k 为常数， r  为从某一定点到质点的 矢径。该质点在 0 r = r 处由静止开始运动，则当它到达无穷远时的速率为 2 /( ) 0 k mr 。 解：因质点受力 3 r r F k   = 是有心力，作功与路径无关，故由动能定理 2 0 2 2 1 2 1 F  dr = mv − mv    有： 质点到达无穷远时的速率： 0 3 2 2 d 0 mr k m r r r k v r =  =     l 5 4 l 5 1 o x F(N) 4020O 5 10 t(s)

6.一弹簧原长l。=0.1m，佩强系数k=50N/m，其一端固定在半径为R-0.Im的半圆环的端点A，另一端与一套在半圆环上的小环相连，在把小环由半圆环中点B移到另一端C的过程中，弹簧的拉力对小环所作的功为00J解：根据保守力的功与势能的关系A=-AE,，弹簧拉力的做功为：A=-k()2-k(B)1R-1。代入上式，得将Al =2R-lo,AlB =sin45°0.A=-×50×(2×0.1-01)-→×50x(-0.1)°]= -0.207 (J)sin 45°三、计算题：1.一人从10m深的井中提水，起始时桶中装有10kg的水，桶的质量为1kg，由于水桶漏水，每升高1m要漏去0.2kg的水。求水桶匀速地从井中提到井口，人所作的功。解：如图所示，以井中水面为坐标原点，以竖直向上为y轴正方向。因为匀速提水，所以人的拉力大小等于水桶和水的重量，它随升高的位置变化而变化，在高为y处，拉力为F =mg - kgy式中m=(10+1)=1kg，k=0.2kg·m=1。人作功为A= [ Fdy= J° (mg - kgy)dy= J℃ (11×9.8-0.2×9.8y)dy=980 (J)2.某弹簧不遵守胡克定律，若施力F，则相应伸长为x，力与伸长量的关系为F = 52.8x +38.4x2(SI),求：（1）将弹簧从定长x=0.50m拉伸到定长x2=1.00m时，外力所需做的功。（2）将弹簧放在水平光滑的桌面上，一端固定，另一端系一个质量为2.17kg的物体，然后将弹簧拉伸到一定长x2=1.00m，再将物体由静止释放，求当弹簧回到x1=0.50m时物体的速率。（3）此弹簧的弹力是保守力吗？

6．一弹簧原长 l0 = 0.1m ，倔强系数 k = 50 N/m ，其一端固定在 半径为 R=0.1m 的半圆环的端点 A，另一端与一套在半圆环上的小 环相连，在把小环由半圆环中点 B 移到另一端 C 的过程中，弹簧 的拉力对小环所作的功为 -0.207 J。 解：根据保守力的功与势能的关系 A = −Ep ， 弹簧拉力的做功为： ( ) ] 2 1 ( ) 2 1 [ 2 2 c B A = − k l − k l 将 0 0 sin 45 2 , l R l R l l  c = −  B = −  代入上式，得 0.1) ] 0.207 sin 45 0.1 50 ( 2 1 50 (2 0.1 0.1) 2 1 [ 2 2 = −    − −   − = −  A （J） 三、计算题： 1．一人从 10m 深的井中提水，起始时桶中装有 10kg 的水，桶的质量为 1kg，由于水桶漏水， 每升高 1m 要漏去 0.2kg 的水。求水桶匀速地从井中提到井口，人所作的功。 解：如图所示，以井中水面为坐标原点，以竖直向上为 y 轴正方向。因为匀速提水，所以人 的拉力大小等于水桶和水的重量，它随升高的位置变化而变化，在高为 y 处，拉力为 F = mg − kgy 式中 m = (10 +1) =11 kg ， 1 0.2kg m − k =  。人作功为 980 (J) (11 9.8 0.2 9.8 )d d ( )d 10 0 0 = =  −  = = −    y y A F y mg kgy y h 2．某弹簧不遵守胡克定律，若施力 F，则相应伸长为 x，力与伸长量的关系为 52.8 38.4 (SI) 2 F = x + x ， 求： （1）将弹簧从定长 x1 = 0.50m 拉伸到定长 x2 =1.00m 时，外力所需做的功。 （2）将弹簧放在水平光滑的桌面上，一端固定，另一端系一个质量为 2.17kg 的物体，然后 将弹簧拉伸到一定长 x2 =1.00m ，再将物体由静止释放，求当弹簧回到 x1 = 0.50m 时物体 的速率。 （3）此弹簧的弹力是保守力吗？ A B C O R o h y

解：（1）由功的定义，力F的功为A=IF.d=F-dx=J6(52.8x+38.4x)dx=31()(2)弹性力的大小等于外力的大小，即=F(x)=52.8x+38.4x2，对物体应用动能定理A=[于.dr=[f.dx=f;(52.8x+38.4x2)dx=m2-0得物体的速率242X3= 5.35(m s-)V=m=2.17(3）因为于}·dx=0，所以此弹簧的弹力是保守力。3.如图所示，劲度系数为k的弹簧，一端固定于墙上，另一端与一质量为m,的木块A相接，A又与质量为m2的EmE木块B用轻绳相连，整个系统放在光滑水面上。然后以LR不变的力F向右拉m，，使m,自平衡位置由静止开始运动，求木块A、B系统所受合外力为零时的速度，以及此过程中绳的拉力T对m,所作的功恒力F对m,所作的功。解：设弹簧伸长x时，木块A、B系统所受的合外力为零，则F-kx=0, x=...设轻绳的拉力T对m,和m,所作的功分别为An和Ar2，由于轻绳拉m,和m,的力大小相等方向相反，而A和B的位移相同，所以An=-AT2。设恒力F对m，做功为Ar，A、B系统合外力为零时速度为，弹簧在此过程中做功为Ak，对系统，由动能定理有Ag+A4,+An+An2=(m+m,)v2-0(2)对m2，由动能定理有4g+An2=m-0(.3)F又Ak=-↓kxi =-.(.)2k

解：(1) 由功的定义，力 F 的功为 31(J) d d (52.8 38.4 )d 1.0 0.5 2 2 1 2 1 = A =  F r = F x = x + x x x x x x   (2)弹性力的大小等于外力的大小，即 2 f = F(x) = 52.8x + 38.4x ，对物体应用动能定理： 0 2 1 d d (52.8 38.4 )d 1.0 2 0.5 2 2 1 2 1 A =  f  r = f  x = x + x x = mv − x x x x   得物体的速率 5.35(m s ) 2.17 2 2 31 −1 =   = = m A v (3) 因为  f  dx = 0 ，所以此弹簧的弹力是保守力。 3．如图所示，劲度系数为 k 的弹簧，一端固定于墙上， 另一端与一质量为 m1 的木块A相接，A又与质量为 m2 的 木块 B 用轻绳相连，整个系统放在光滑水面上。然后以 不变的力 F  向右拉 m2 ，使 m2 自平衡位置由静止开始 运动，求木块 A、B 系统所受合外力为零时的速度，以及此过程中绳的拉力 T 对 m1 所作的功， 恒力 F  对 m2 所作的功。 解：设弹簧伸长 1 x 时，木块 A、B 系统所受的合外力为零，则 0 , (1) − 1 = 1 =  k F F k x x 设轻绳的拉力 T  对 m1 和 m2 所作的功分别为 AT1 和 AT 2 ，由于轻绳拉 m1 和 m2 的力大小相 等方向相反，而 A 和 B 的位移相同，所以 AT1= −AT 2 。 设恒力 F  对 m2 做功为 AF ，A、B 系统合外力为零时速度为 v, 弹簧在此过程中做功为 Ak ， 对系统，由动能定理有 ( ) 0 (2) 2 1 2 1 2 1 2 A + A + A + A = m + m v −  F k T T 对 m2 ，由动能定理有 0 (3) 2 1 2 2 2 A + A = m v −  F T 又 (4) 2 2 1 2 2 1 = − = −  k F A k x K A B T  = 0 k F x m1 m2

Ap = Fx, =-. (.5)由以上各式可得A、B系统合外力为零时速度/k(m+m,)F(2m +m2)绝的拉力 T对m,所作的功 An=-An=2k(m+m)7恒力F对m,所作的功AF=:

(5) 2 1 = = −  k F A F x F 由以上各式可得 A、B 系统合外力为零时速度 ( ) m1 m2 k F v + = 绳的拉力 T 对 m1 所作的功 2 ( ) (2 ) 1 2 1 2 1 2 k m m F m m AT AT + + = − = 恒力 F  对 m2 所作的功 k F AF 2 = −