《量子力学》课程教学资源（习题解答）第五章 微扰理论

第五章习题解 5.1 5.1如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为、电荷均匀分布的小球，计算这种 效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对r<的区域有影响，对r之，的区域无影响。据题意知 '=U)-U(r) 其中U。)是不考虑这种效应的势能分布，即U。(r)= ze2 4πJ U(r)为考虑这种效应后的势能分布，在r之r,区域，U(r)=- 4π6r 在r<r区域，U(r)可由下式得出， U(r)=-e Edr a 1 Ze E= 4m水≤) Ze (r2) 4π6r U(r)=-e"Edr-ef"Edr Ze2 Ze2 =-8r6-r)4n8xBG-r内）≤6） 「Ze2 Ze 月=Uw-U,m=8知6-r)+4 (r≤) 0 (r2) 由于很小，所以<户o,= v2+U,可视为一种微扰，由它引起的 2u 一级修正为（基态=（乙re子） πa 1

1 第五章习题解 5.1 5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为 0 r 、电荷均匀分布的小球，计算这种 效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对 0 r  r 的区域有影响，对 0 r  r 的区域无影响。据题意知 ( ) ( ) ˆ 0 H =U r −U r 其中 ( ) 0 U r 是不考虑这种效应的势能分布，即 r ze U r 0 2 0 4 （ ）= − U(r) 为考虑这种效应后的势能分布，在 0 r  r 区域， r Ze U r 0 2 4 ( )  = − . 在 0 r  r 区域， U(r) 可由下式得出，   = − r U(r) e Edr           =  = ( ) 4 , ( ) 3 4 4 4 1 2 0 0 3 0 0 0 3 3 3 0 2 4 0 r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E            = − − 0 0 ( ) r r r U r e Edr e Edr    = − − 0 0 2 0 2 3 0 0 2 1 4 4 r r r dr r Ze rdr r Ze     (3 ) 4 8 ( ) 8 2 2 3 0 0 0 2 0 0 2 2 2 3 0 0 0 2 r r r Ze r Ze r r r Ze = − − − = − −       ( ) 0 r  r       − − +   = − = 0 ( ) ( ) 4 (3 ) ( ) ( ) 8 ˆ 0 0 0 2 2 2 3 0 0 0 2 0 r r r r r Ze r r r Ze H U r U r     由于 0 r 很小，所以 ( ) 2 ˆ ˆ 0 2 2 (0) H  H = −  +U r   ，可视为一种微扰，由它引起的 一级修正为（基态 r a Z e a Z 2 0 1/ 3 0 3 (0) 1 ( ) − =   ）

E"-jro月uodz （3-r2)+2k4oh 22, 4π8 37 r<a,故e。l。 E0=- 高-w点r Ze2 26@万6-5+2G6 货 Z'e2 5.2 5.2转动惯量为1、电偶极矩为D的空间转子处在均匀电场￡中，如果电场较小，用 微扰法求转子基态能量的二级修正 解：取8的正方向为Z轴正方向建立坐标系，则转子的哈米顿算符为 号-D:E=}P-Dccs0 取=子户， H'=-Ds cos0,则 户=户o)+户' 由于电场较小，又把'视为微扰，用微扰法求得此问题。 月的本征值为E职-+咖 本征函数为w9=Y(0,p) 户@的基态能量为E。=0,为非简并情况。根据定态非简并微扰论可知 E=∑H月 E0-E0 Hio=「woi'y°dr-[Yia(-Ds cos0)Yoo sin0d0do =-De[Y (cos Yo)sin 0 de do 2

2   E =  H  d (0) 1 * (0) 1 (1) 1 ˆ  − = − − + 0 0 0 2 2 0 2 2 2 3 0 0 0 2 3 0 3 ] 4 4 (3 ) 8 [ r r a Z e r dr r Ze r r r Ze a Z       ∴ a0 r  ，故 1 0 2  − r a Z e 。 ∴   = − − + 0 0 0 3 0 0 4 2 0 2 2 4 3 0 0 3 0 0 4 2 (1) 1 (3 ) 2 r r rdr a Z e r r r dr a r Z e E     2 3 0 0 0 5 4 2 5 0 3 0 0 3 0 0 4 2 2 ) 5 ( 2 r a r Z e r a r Z e     = − − + 2 3 0 0 0 4 2 10 r a Z e  = 2 3 0 0 4 2 5 2 r a Z es = # 5.2 5.2 转动惯量为 I、电偶极矩为 D  的空间转子处在均匀电场   中，如果电场较小，用 微扰法求转子基态能量的二级修正。 解：取   的正方向为 Z 轴正方向建立坐标系，则转子的哈米顿算符为  ˆ  cos 2 1 2 ˆ ˆ 2 2 L D I D I L H = −  = −   取 ˆ , ˆ  cos 2 1 ˆ (0) 2 L H D I H =  = − ，则 H = H + H  ˆ ˆ ˆ (0) 由于电场较小，又把 H ˆ 视为微扰，用微扰法求得此问题。 ˆ (0) H 的本征值为 (()) 2 ( 1) 2 1  =   +  I E 本征函数为 ( , ) (0)   = Ym   ˆ (0) H 的基态能量为 0 0 0 = （） E ，为非简并情况。根据定态非简并微扰论可知  −  =     (0) (0) 0 2 (2) 0 0 H E E E   H  =  H ˆ  d = Y m (−D cos)Y0 0 sin  d d (0) * 0 * (0) 0    = −D Y m (cos Y00 )sin  d d * 

-a时化悟在m0nn 1 答m00o -0∑2 Eg2=∑ Hol2 3+i6P 3折D 5.3 5.3设一体系未受微扰作用时有两个能级：Eo1及E2,现在受到微扰H'的作用，微 扰矩阵元为H2=H1=a,H,=H2=b:、b都是实数。用微扰公式求能量 至二级修正值。 解：由微扰公式得 E=Hin Eg=∑HP 「Eo-E0 得E=H=b E2=H2 =b E9=∑·HF a2 m Eo1-Eom Eo -E02 品=∑·H a2 能量的二级修正值为 E=Eo+b+Eo-Eos a2 a2 E2=Eo+b+Eo:-Eo

3  = −      D Y m Y sin d d 4 1 3 4 10 *   = −     Y Y d d D sin 3 10 * 0 1 3   D = − D I D I E E E 2 2 2 2 2 1 2 2 ' (0) (0) 0 2 (2) ' 0 0 3 1 3 ( 1) H 2             = − +  = − −  =   # 5.3 5.3 设一体系未受微扰作用时有两个能级： E01及E02 ，现在受到微扰 H ˆ 的作用，微 扰矩阵元为 H12  = H21  = a，H11  = H22  = b ； a、b 都是实数。用微扰公式求能量 至二级修正值。 解：由微扰公式得 En Hnn =  (1)  −  = m n m mn n E E H E (0) (0) 2 (2) ' 得 E = H  = b E = H22  = b (1) 11 02 (1) 01 01 02 2 01 0 2 (2) ' 1 01 E E a E E H E m m m − = −  =  02 01 2 02 0 2 (2) ' 1 02 E E a E E H E m m m − = −  =  ∴ 能量的二级修正值为 01 02 2 1 01 E E a E E b − = + + 02 01 2 2 02 E E a E E b − = + + #

5.4 5.4设在1=0时，氢原子处于基态，以后受到单色光的照射而电离。设单色光的电 场可以近似地表示为E(t)=￡sint,￡及o均为常数：电离电子的波函数近似地 以平面波表示。求这单色光的最小频率和在时刻：跃迁到电离态的几率。 解：①当电离后的电子动能为零时，这时对应的单色光的频率最小，其值为 h0m=mm=E。-E= 2h2 -=3.3×1015 6.62×10-34 ②t=0时，氢原子处于基态，其波函数为4=RY0= 在时刻，。=(2 1e,〔见课本P2422-7)试 0扰0=eE0:P=e运Fsinot=-(ee】 =F(elot-e-!) 其中斥=e公 2i 在t时刻跃迁到电离态的几率为W,m=a.() (drdr -%-1"马 0n+00t-0 对于吸收跃迁情况，上式起主要作用的第二项，故不考虑第一项， d ()=Fa efoa-ay 方0mk-0 mn=h.0f_Eeaw-lXeaew- 方2 (om-0)2 4Flsin(-0)t h2() 其中Ft=Fodr=( 4

4 5.4 5.4 设在 t = 0 时，氢原子处于基态，以后受到单色光的照射而电离。设单色光的电 场可以近似地表示为 E t t ( ) sin =   ， 及  均为常数；电离电子的波函数近似地 以平面波表示。求这单色光的最小频率和在时刻 t 跃迁到电离态的几率。 解：①当电离后的电子动能为零时，这时对应的单色光的频率最小，其值为 2 4 min min 1 2  s e hv E E   = =  − = h e v s 2 4 min 2  = 34 19 6.62 10 13.6 1.6 10 − −    = Hz 15 = 3.310 ② t = 0 时，氢原子处于基态，其波函数为 0 / 10 00 3 0 1 r a k R Y e a   − = = . 在 t 时刻， p r i m e      = 3 / 2 ) 2 1 (   , [见课本 P.24 (2.2-7)式] 微扰 ˆ ( ) ( ) sin ( ) 2 e r i t i t H t eE t r e r t e e i      −   =  =  = − ( ) ˆ i t i t F e e  −  = − 其中 i e r F 2 ˆ    =  在 t 时刻跃迁到电离态的几率为 2 W a (t) k→m = m  =    t i t m mk H e dt i a t mk 0 1 ( )    = −  +  −  t mk i t i t e e dt i F mk mk 0 ( ) ( ) ( )      ] 1 1 [ ( ) ( )         − − − + − = − + − mk i t mk i t mk mk mk F e e  对于吸收跃迁情况，上式起主要作用的第二项，故不考虑第一项，     − − = − mk i t mk m mk F e a t 1 ( ) ( )  2 ( ) ( ) 2 2 2 ( ) ( 1)( 1) ( )       − − − = = − − → mk i t i t mk k m m mk mk F e e W a t  2 2 2 2 1 2 ( ) 4 sin ( )     − − = mk mk mk F t  其中   − −   = =        e d i e r e a F F d r a p r i mk m k 0 / 3 0 * 3/ 2 ) 2 ( 1 ) 2 1 ( ˆ      

取电子电离后的动量方向为Z方向 取8、p所在平面为x0面，则有 e.F=6x+6,y+6. =(ssiny)(rsinecosp)+(scosy)(rcos) rsinysinecoso+s(cosy)(rcos) F=（ (rnsinorosin0drdo de ccoxomo momo _escosy 16p 1 iha ia (y =-16pes(cosv,h)"2 V8π(a6p2+h2) 六Wm= 4Fsin2(-)t 2(04-o)2 -128pe'c'a'cosv.sin(@-o) π2(aG6p2+2) (O-0 5.5 5.5基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即 当t≤0 6er,当t≥0（为大于零的参数） 求经过长时间后氢原子处在2印态的几率

5 取电子电离后的动量方向为 Z 方向， 取   、 p  所在平面为 xoz 面，则有 r x y z x y z   =  +  +    = + ( sin )( sin cos ) ( cos )( cos )        r r = +        sin sin cos (cos )( cos ) r r 3/ 2 3 0 1 1 ( ) 2 2 mk e F  a i = 0 2 cos / 2 0 0 0 ( sin sin cos cos cos ) sin i p r r a e r r e r drd d               − −  +    0 2 cos 3/ 2 3 / 3 0 0 0 0 1 1 ( ) ( cos ) (cos )(sin ) 2 2 i p r e r a e r e drd d a i             − − =    0 cos 3/ 2 3 / 3 0 0 0 1 1 cos ( ) 2 [ cos sin 2 2 i p r e r a r e dr e d a i            − − =   0 2 3 / 2 2 3 0 0 cos [ ( ) ( )] 2 2 i i i i p r p r p r p r e r a r e e e e e dr ipr p r i a     − − − − = + + −  2 3 0 3 0 2 2 0 cos 16 1 2 2 1 ( ) e p i a ia p a    = + 7 / 2 0 2 2 2 3 0 16 (cos )( ) 8 ( ) pe a a p    = − + ∴ 2 2 2 2 1 2 ( ) 4 sin ( )     − − → = mk mk mk k m F t W  2 2 2 7 5 2 2 1 0 2 2 2 2 2 6 2 0 128 cos sin ( ) ( ) ( ) mk mk p e a t a p        − =  + − # 5.5 5.5 基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即      = − , 0( ) 0, 0 / 0 当 为大于零的参数 当     e t t t 求经过长时间后氢原子处在 2p 态的几率

解：对于2p态，(=1，m可取0，±1三值，其相应的状态为 y,10 Ψ2- 氢原子处在2p态的几率也就是从y跃迁到42021、2-的几率之和。 由 (d'. 即课本P.152,(5.6-10式 Hio=wd (=ec(t)rcos0) -「R2,Yoes(t)rcos0 RoYood7(取E方向为Z轴方向) =es()RRdrY cossin ae do 1 =es0r[x6石'- ect)r -fRi(r)R.(r)r'dr=256 816 114:×25 81V6a w-rwt=方a0f-g9 1 128W2 V5816 243es0a, H2oo =es(t)Waur cosOwioodr e(RRdr cos sin o do do 方wn0dde =0 H-i0w=∫v3-H'y1omdr =es()RRdrcos sin e de do =eao0RrRr旷rR方。sn8aodo =0 由上述结果可知，Wo021=0, W100241=0 W-2p=W100→210+W100-211+W10-+21- =maw=【nera 6

6 解：对于 2p 态，  =1， m 可取 0, 1 三值，其相应的状态为 210 211 21 1    − 氢原子处在 2p 态的几率也就是从 100 跃迁到  210 、 211、 21−1 的几率之和。 由  =    t i t m mk H e dt i a t mk 0 1 ( )   ， 即课本 P.152, (5.6-10)式  H  =  H  d 100 * 210,100 210 ˆ ( ) cos ) ˆ (H  = e t r   = R Y e t r  R Y d 10 00 * 21 10 ( ) cos (取   方向为 Z 轴方向)     =        2 0 0 00 * 10 0 10 3 21 e (t) R r R dr Y Y cos sin d d ) 3 1 (cosY00 = Y10 e t f Y Y d d e (t) f 3 1 sin 3 1 ( ) 2 0 0 10 * 10        = =   0 0 3 10 * 21 81 6 256 f = R (r)R (r)r dr = a   0 3 3/ 2 3/ 2 4 2 0 0 0 0 1 2 1 ( ) ( ) 2 3 r a f r e dr a a a  − =  证明：  0 5 5 0 5 4 0 81 6 256 3 1 4 2 6 1 a a a =  =  ！ H H d e (t) f 3 1 ˆ 100 * 210,100 210  =    =   0 0 ( ) 243 128 2 81 6 256 3 ( ) a e t a e t   = =    = 0 100 * 211,100 211 H e(t)  r cos d     =        2 0 0 00 * 11 0 10 3 21 e (t) R r R dr Y cos Y sin d d     =       2 0 0 10 * 11 0 10 3 21 sin 3 1 e (t) R r R dr Y Y d d = 0   =  − − H  H  d 100 * 21 1,100 21 1 ˆ    −  =        0 2 0 00 * 1 1 0 10 3 21 e (t) R r R dr Y cos Y sin d d    −  =       0 2 0 10 * 1 1 0 10 3 21 sin 3 1 e (t) R r R dr Y Y d d = 0 由上述结果可知， W100→211 = 0， W100→21−1 = 0 ∴ W1s→2 p = W100→210 +W100→211 +W100→21−1 2 0 100 210 2 210,100 2 1 1  = =    → t i t W H e dt  

-异第m水e。 片- 2243 oi+,是 当→时层第e 1 n+ 种6-5-祭和-中-g-总 5.6 5.6计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。 所-梁r 由选择定则△(=士1，知2s→1s是禁戒的 故只需计算2p→1s的几率 而32=x22+y22+22 2p(=2,=1)有三个状态，即20,211,2- ()先计算z的矩阵元，：=rc0s0 (=)R(r)R(rdicYod -小方n -[nk.( 今(hw5ew=0:ew=0 (2)计算x的矩阵元 x=rsin Ocosp=zsin O(e+e-) 7

7 2 0 2 / 0 0 2 2 2 1 ) ( ) 243 128 ( 2  =   −  t i t t ea e e dt     2 2 21 2 2 0 2 0 2 2 2 1 1 ) 243 128 ( 2 2 1      + − = − t i t e e a  当 t →  时， 2 2 21 2 0 2 0 2 2 1 2 2 1 1 ) 243 128 ( 2     + s→ p = e a  . 其中 0 2 3 4 3 4 21 2 1 8 3 8 3 ) 4 1 (1 2 ( ) 1 a e e e E E s s s     = − = − = =    # 5.6 5.6 计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。 解： 2 3 2 3 3 4 mk s mk mk r c e A    = 由选择定则  = 1 ，知 2s →1s 是禁戒的 故只需计算 2 p →1s 的几率  2 1 21 E − E  = 3 4 3 4 8 3 ) 4 1 (1 2  s s e e = − = 而 2 21 2 21 2 21 2 21 r = x + y + z  2p (n=2, l=1)有三个状态，即 210 211 21 1 , ,    − (1)先计算 z 的矩阵元, z = r cos   =   z m R r R r r dr  m  Y00d * 1 0 3 10 * 21 ,100 21 ( ) ( ) ( ) cos  = f Y m Y00d * 1 3 1 0 3 1 m = f  , * 3 21 10 0 f R r R r r dr ( ) ( )  = （  ） z f 3 1 ( )  210,100 = ; (z) 211,100 = 0 ; (z) 21−1,100 = 0 . (2)计算 x 的矩阵元 sin ( ) 2 sin cos      i i e e r x r − = = +

(国um=RR0rh-n0e+e以n =图-Y+Xn =i+） 3 Y=-187 sn ce 3 Y=8 1 sin 6e Yo-JAr →()2100w=0 (aum=-石 1 (3)计算y的矩阵元 y=rsn0snp=rsne”-e） )(Ra(rr'dr risin ee N6/-da-dn） 1 →(y)）210100=0 6w-石/ 6*2x →if=2x 6+3/)=f (4计算f -. 歌公底白宁4 226-4-a得 114:×25 272 8

8 =    +  −  x R r R r r dr Y e e Y d i i m m 0 0 * 1 0 3 1 0 * 2 1 ,100 2 1 ( ) ( ) sin ( ) 2 1 ( )     − + − = f  Y m ( Y Y )d 3 2 2 1 11 1 1 * 1 ( ) 6 1 = − m1 + m−1 f      i Y sin e 8 3 11 = −    i Y e − − = sin 8 3 1 1 4 1 Y00 =  (x) 210,100 = 0 x f 6 1 ( ) 211,100 = − x f 6 1 ( ) 21−1,100 = (3)计算 y 的矩阵元 sin ( ) 2 1 sin sin      i i r e e i y r − = = − =    −  −  R r R r r dr Y e e Y d i y i i m m 0 0 * 1 0 3 1 0 * 2 1 ,100 2 1 ( ) ( ) sin ( ) 2 1 ( )    ( ) 3 2 2 1 − 1 − −1 =  m m f i   ( ) 6 1 = − m1 − m−1 f i    ( y) 210,100 = 0 f i y 6 ( ) 211,100 = f i y 6 ( ) 21−1,100 = 2 2 2 2 2 2 1 ) 3 1 6 2 6 (2 f f f f r  p→ s =  +  + =  (4)计算 f 0 0 3 10 * 21 81 6 256 f = R (r)R (r)r dr = a   0 3 3/ 2 3/ 2 4 2 0 0 0 0 1 2 1 ( ) ( ) 2 3 r a f r e dr a a a  − =  证明：  3 2 3 2 81 6 256 3 1 4 2 6 1 4 7 0 0 5 5 0 5 4 0 a a a a = =  =  ！

2=2s 30 4梁签y学乐：即r67狱 372=1.91x10 t= =523x10g=052×10g 1 5.7 5.7计算氢原子由2p态跃迁到1s态时所发出的光谱线强度。 解：由(5.8-19和(5.8-20)式以及56题的结果4p Ji=NipAnhom =号器 .2.u2e4 -N2n'35He (ho21=10.2ep) 25e° =N2n'35'ch'a =N2p×3.1×10-9W 若N2p=10°，则J21=3.1W 5.8 5.8求线性谐振子偶极跃迁的选择定则 解：由(5.8-16)式，得 Amk ocFn=m: k=∫px 会城原+牙 J=64=间 三m=k土1时，x贼≠0。 9

9 2 9 0 15 2 3 2 f = a 2 3 21 3 21 2 2 1 3 4 r c e A s p s    → = 2 9 0 15 3 3 4 3 2 3 2 ) 8 3 ( 3 4 a e c es s =      ; 即课本 P.166, (5.8-17)式 2 2 2 10 3 3 14 7 8 ( ) 3 2 s s c e e     =   9 1 6 3 10 7 8 1.91 10 3 2 − =  =  s c es   s s A 10 9 21 5.23 10 0.52 10 1 − −  = =  =  # 5.7 5.7 计算氢原子由 2p 态跃迁到 1s 态时所发出的光谱线强度。 解：由(5.8-19)和(5.8-20)式以及 5.6 题的结果 A2 1 p s → 2 1 2 2 1  21 → = →  p s N p A p s J 2 4 3 6 10 7 8 2 8 3 3 2   s s p e c e N   =    8 3 2 14 6 5 2 3 2 c e N s p   =   （ 21 =10.2eV ） 2 0 3 4 10 6 5 2 3 2 c a e N s p  =   N p W 9 2 3.1 10− =   若 9 2 10 N p = ，则 J 21 = 3.1W # 5.8 5.8 求线性谐振子偶极跃迁的选择定则 解：由(5.8-16)式，得 2 2 mk mk mk A  r = x  ；  x = x dx mk  m  k * 由课本 P.41 公式： ] 2 1 2 [ 1 −1 +1 + k = k + k k k x       m n dx =  mn * ； ] 2 1 2 [ 1 , −1 , +1 + mk = m k + m k k k x    m = k 1 时， xmk  0

即选择定则为△m=m一k=士1 补充1： 维无限深势阱(0a) “能量一级修正为 E"=∫r*H'y =子2aim2g+2上2a-点smg =”l-径e+.a-m7 .21 a2. a a a2 n2aG片-rn2os2 2πa a +云+号-gn a2 =224 补充2： 具有电荷为q的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁。 设入射光的能量为(@)。其波长较长，求： ①原来处于基态的离子，单位时间内跃迁到第一激发态的几率。 10

10 即选择定则为 m = m− k = 1 # 补充 1： 一维无限深势阱 (0  x  a) 中的粒子受到微扰        −      = ) 2 2 (1 ) ( ) 2 2 (0 ( ) x a a a x a x a x H x   作用，试求基态能级的一级修正。 解：基态波函数（零级近似）为 sin (0 ) (0) 2 1 x x a a a =     0 ( 0, ) (0)  1 = x  x  a ∴能量一级修正为  E = H dx (0) 1 (0) 1 (1) 1  *    = + − a a a xdx a a x a xdx a a x a / 2 2 / 2 0 2 2 (1 )sin 2 2 sin 2     ) ] 2 (1 cos ) 2 ) (1 cos 2 [ (1 cos 2 / 2 / 2 / 2 0 2    − − = − + − a a a a a x dx a x x dx a x dx a a x a     ) ] 2 cos 4 2 sin 2 2 1 ) ( 2 sin 2 ) ( 2 sin 4 2 sin 2 2 1 [( 2 2 / 2 2 2 / 2 / 3 2 0 2 2 2 a a a a a x a a x a x a x x a a x a x a a x a x a x a            − − − = − − + − )] 8 2 1 ( 8 2 2 1 [ 2 2 2 2 2 2 2 2 2    a a a a a a = + + − − ) 4 ( 2 2 2 2 2   a a a = + ) 2 2 1 ( 2  =  + 补充 2： 具有电荷为 q 的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁。 设入射光的能量为 I() 。其波长较长，求： ① 原来处于基态的离子，单位时间内跃迁到第一激发态的几率