《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第六章 样本及抽样分布 6.2 抽样分布

§6.2 抽样分市 一、分布 二、t分布 三、F分布 2024年8月27日星期二 2 目录上页下页 )返回

2024年8月27日星期二 2 目录 上页 下页 返回 §6.2 抽样分布 二、 t 分布 三、 F 分布 一、 分布 2 

统计量是随机变量，统计量的分布称为抽样分布 (sampling distribution). 定义3对总体X和给定的ax(0下页○ 返回

2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回 统计量是随机变量，统计量的分布称为抽样分布 (sampling distribution)． 定 义 3 对总体 X 和给定的  (0 1    ) ，若存在 x ，使得 P X x   =    ，则称 x 为 X 的分布的上侧 分 位 数(upper -quantile )或上侧临界值． 当 X 的分布 关于 y 轴对称时，若存在 /2 x ，使得 P X x   =  / 2  ， 则 称 /2 x 为 X 的 分 布 的 双 侧  分 位 数 (bilateral  -quantile)或双侧临界值．

一、x2分布 定义4设X,X2,·,X,相互独立且都服从标准正态分布 N(0,1),则称统计量 X2=X+X?+.+X 服从自由度为n的x2分布，记为x2~x2(n). x(n)分布含有一个称为自由度的参数n,所谓自由 度(degree of freedom))是指独立随机变量的个数，可简 记为df,此处df=n. 2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回 一、 2  分布 定义 4 设 1 2 , , , X X Xn 相互独立且都服从标准正态分布 N(0,1) ，则称统计量 2 2 2 2  = + + + X X X 1 2 n 服从自由度为n的 2  分布，记为 2 2   ~ ( ) n ． 2  ( ) n 分布含有一个称为自由度的参数 n ，所谓自由 度(degree of freedom)是指独立随机变量的个数，可简 记为df ，此处df n = ．

x2分布的概率密度函数为 ,y>0 f0)=2r9 0 y≤0. 其中r宁为伽玛函数r(a)=xedr在a=处 2 的值，厂函数具有如下性质： (1)T(a+1)=oT(a); (2)若n为正整数，则T(n+1)=nl,特别地， T1)=T(2)=1. (3)Tr(分=元. 2024年8月27日星期二 目录 上页> 下页 返回

2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回 2  分布的概率密度函数为 1 2 2 2 1 e , 0, ( ) 2 ( ) 2 0, 0. n y n y y n f y y  − −    =      其 中 ( ) 2 n  为伽玛函数 1 0 ( ) e dx x x   + − −  =  在 2 n  = 处 的值， 函数具有如下性质： (1)  + =  ( 1) ( )    ; (2) 若 n 为 正 整 数 ， 则  + = ( 1) ! n n ， 特 别 地 ，  =  = (1) (2) 1． (3) 1 ( ) π 2  = ．

密度函数的图形 fo) =2 0.4 2=1 0.3 2=4 0.2 n=6 为=10 0.1 0 10 15 2024年8月27日星期二 6 目录 、上页 下页 返回>

2024年8月27日星期二 6 目录 上页 下页 返回 密度函数的图形

由X,~N(0,1)知，X~x2(I)(i=1,2,.,n).不难证明， X分布具有下列性质： (1)x2分布的数学期望和方差：若x2~x2(n),则有 Ex2=n,Dx2=2n. (2)x2分布的可加性：设~X2(n),3~x2(n2),且 ,好相互独立，则有 +3~X2(n+h2). 推广若X,X2,.,X相互独立，且X,~X(n,), i=1,2,.,k,则 立x-x2n) 2024年8月27日星期二 目录 长上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 7 目录 上页 下页 返回 由 ~ (0,1) X N i 知， 2 2 ~ (1) Xi  ( 1, 2, , ) i n = ．不难证明， 2  分布具有下列性质： (1) 2  分布的数学期望和方差: 若 2 2   ~ ( ) n ，则有 2 E n  = ， 2 D n  = 2 ． (2) 2  分布的可加性：设 2 2   1 1 ~ ( ) n ， 2 2   2 2 ~ ( ) n ，且 2 1 ， 2 2 相互独立，则有 2 2 2    1 2 1 2 + + ~ ( ) n n ． 推广 若 1 2 , , , X X Xk 相互独立， 且 2 ~ ( ) X n i i  ， i k =1,2, , ，则 2 1 1 ~ ( ) k k i i i i X n  = =   ．

(3)x分布的分位数：对于给定的正数α(0x2(}=∫f(y)dy=a 的点(n)为x(n)分布的上侧a分位数 (upper a-quantile), f) a(n) 2024年8月27日星期二 8 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 8 目录 上页 下页 返回 (3) 2  分布的分位数： 对于给定的正数  (0 1    ) ， 称满足条件   2 2 2 ( ) ( ) ( )d n P n f y y         = =  的 点 2 ( ) n   为 2  ( ) n 分 布 的 上 侧  分 位 数 (upper  -quantile)

二、t分布 定义5设X~N(0,1),Y~x2(nm)且X与Y相互独立，则 称随机变量T= X 服从自由度为n的t分布，记为 √7 I~t(n). t分布又称为学生氏分布(student distribution).t(n) 分布的概率密度函数为 n+l 1(2 2 f(t)= ,-00<t<0. 2024年8月27日星期二 目录○ 上页 下页 返回」

2024年8月27日星期二 9 目录 上页 下页 返回 二、t分布 定义 5 设 X N~ (0,1)， 2 Y n ~ ( )  且 X 与 Y 相互独立，则 称随机变量 / X T Y n = 服从自由度为 n 的 t 分布，记为 T t n ~ ( ) ． t 分布又称为学生氏分布(student distribution)．t n( ) 分布的概率密度函数为 1 2 2 1 2 ( ) 1 π 2 n n t f t n n n + −   +       = +          ，−    t ．

其图形为 J() W(0,1) t10) t(2) f(t)的图形关于t=0对称，当n充分大时，t分布接近标 准正态分布，因此在应用中，当n>45时，有ta(n)≈2a· 2024年8月27日星期二 10 目录○ 上页 下页 返回>

2024年8月27日星期二 10 目录 上页 下页 返回 其图形为 f t( )的图形关于t = 0对称，当n充分大时，t 分布接近标 准正态分布，因此在应用中，当n  45时，有t n z ( )    ．

t分布的分位数：对于给定的正数a(0i(n)=f(dt=a 的点tn(n)为t(n)分布的上侧a分位数，见下图 f() t-a(n)=-t (n) 0 2024年8月27日星期二 11 目录○ 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 11 目录 上页 下页 返回 对于给定的正数  (0 1    )，称满足 条件   ( ) ( ) ( )d t n P T t n f t t      = =  的点 t n( )  为 t n( ) 分布的上侧 分位数，见下图 t 分布的分位数： 1 t n t n ( ) ( ) −  = −