《场论与复变函数》课程教学资源（知识扩展）利用泰勒级数证明欧拉公式

欧拉公式 复数的指数表示式：=re,三角表示式：=r(cos日+isin)。这两种表示是由以下方程联 系在一起的 e=(cos+isin) 这是著名的欧拉公式。 在学习了泰勒级数以后，我们知道 e=1+i0+0+o+ 2131 2 41 =0-分g+0-g 0303 =cos0+isin 这就证明了欧拉公式。 当0=π时，得到 e+1=0 由于此公式将数学中的五朵金花e,π，L,i0完美地结合在一起，因此被称为“上帝创造的公 式

欧拉公式 复数的指数表示式 i z re θ = ，三角表示式 zr i = (cos sin ) θ + θ 。这两种表示是由以下方程联 系在一起的 (cos isin ) i e θ = + θ θ 这是著名的欧拉公式。 在学习了泰勒级数以后，我们知道 2 3 24 35 24 35 () () 1 2! 3! () () () () (1 ) ( ) 2! 4! 3! 5! (1 ) ( ) 2! 4! 3! 5! cos sin i i i e i ii ii i i i θ θ θ θ θθ θθ θ θθ θθ θ θ θ =+ + + + =+ + + + + + + =− + − + − + − = + " " " " 这就证明了欧拉公式。 当θ = π 时，得到 1 0 i e π + = 由于此公式将数学中的五朵金花e i , ,1, ,0 π 完美地结合在一起，因此被称为“上帝创造的公 式