海南大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（教案讲义）ch3 多维随机变量及其分布 第四讲 两个随机变量函数的分布

第四讲两个随机变量函数的分布 I授课题目： §3.4两个随机变量的函数的分布 Ⅱ教学目的与要求：掌握两个随机变量和及取最大、最小的分布 Ⅲ教学重点与难点：X+Y、maxX,Y)、min(X,Y)等的分布 V讲授内容： 上一章中己讨论过一个随机变量的函数的分布，本节讨论两个随机变量的函数的分布。 (1)Z=X+Y的分布 设(X,Y)的概率密度为f(x,y),则Z-X+Y的分布函数为 F(Z=P收s=P+Y≤=∬fx,=Cfx, 固定：和y，对积分fx,y)迹作变量变换，令x=u-y，得 [f(x.y)ds=[f(u-y.y)du 于是F2e)=fu-ydh=广fu-yd 由概率密度的定义，即得Z的概率密度为 f(=)=[f(-y.y)dy 由X、Y的对称性，f2()又可写成 f(=)=[f(x,=-x)dx 特别当X、Y相互独立时，设(X,Y)关于X、Y的边缘概率密度分别为fx(x)、fy), 则又有 (=)=[fx(=-y)f()dv=[fx(x)f(=-x)dx 这两个公式称为卷积公式(convolution),记为fx*厂，即 f*天=rfx(e-yf0y=Cfx(x)f(e-xd达 例1设X和Y是两个相互独立的随机变量，它们都服从N(O,),其概率密度为

第四讲两个随机变量函数的分布 Ⅰ 授课题目： §3.4 两个随机变量的函数的分布 Ⅱ 教学目的与要求：掌握两个随机变量和及取最大、最小的分布 Ⅲ 教学重点与难点： X +Y 、 max( X ,Y)、 min( X ,Y) 等的分布 Ⅳ 讲授内容： 上一章中已讨论过一个随机变量的函数的分布，本节讨论两个随机变量的函数的分布。 （1） Z = X +Y 的分布 设 (X,Y) 的概率密度为 f (x, y) ，则 Z = X +Y 的分布函数为        +  + − − −     =  = +  = = X Y z z y FZ (Z) P Z z P X Y z f (x, y)dxdy f (x, y)dx dy 固 定 z 和 y ，对积分  − − z y f (x, y)dx 作变量变换，令 x = u − y ， 得  − − − = − z y z f (x, y)dx f (u y, y)du 于是   −  + − + − − = − = − z z FZ (z) f (u y, y)dudy [ f (u y, y)dy]du 由概率密度的定义，即得 Z 的概率密度为  + − f z = f z − y y dy Z ( ) ( , ) 由 X 、Y 的对称性， f (z) Z 又可写成  + − f z = f x z − x dx Z ( ) ( , ) 特别当 X 、Y 相互独立时，设 (X,Y) 关于 X 、Y 的边缘概率密度分别为 f (x) X 、f (y) Y ， 则又有   + − + − f z = f z − y f y dy = f x f z − x dx Z X Y X Y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 这两个公式称为卷积公式(convolution)，记为 X Y f * f ，即   + − + − f f = f z − y f y dy = f x f z − x dx X Y X Y X Y * ( ) ( ) ( ) ( ) 例 1 设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，它们都服从 N(0,1) ，其概率密度为

e. 国店，on应 求Z=X+Y的概率密度。 一般，设X、Y相互独立且X~N(4,σ)，Y~N(42,o),由计算可知Z=X+Y 仍服从正态分布，且有Z~N(4+4,o+o)。 这个结论还能推广到个独立正态随机变量之和的情况， 即若X,~N(4,σ)i=1,2,.,m,且它们相互独立，则它们的和 Z=X,+X2+.+Xn仍然服从正态分布，且 Z~N(4+42+.+4n,o2+o2+.+o) 更一般地，可以证明有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布。 注意：不独立的正态随机变量之和必是正态分布。 例2在一简单电路中，两电阻R和R串联联接，设R，R,相互独立，它们的概率密度 均为 ∫瑞0≤x≤10 f(x)= 其它 求总电阻R=R+R的概率密度。 例3设随机变量X与Y独立，X服从正态分布N(山，σ)，Y~O[-π，π]。 试求Z=X-Y的分布。 3x0<y<x,0<x<1 例4设(K,)的联合密度函当为任，)=0其它 求Z=X-Y的分布密度。 (二)M=maxX,Y)及N=mimX,Y)的分布 设X、Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为Fx(x)和F,(y)。 PM≤}=PK≤：，Y≤}=PX≤}P≤}

2 2 2 1 ( ) x X f x e − =  ， 2 2 2 1 ( ) y Y f y e − =  。 求 Z = X +Y 的概率密度。 一般，设 X 、Y 相互独立且 ~ ( , ), ~ ( , ) 2 2 2 2 X N 1 1 Y N   ，由计算可知 Z = X +Y 仍服从正态分布，且有 ~ ( , ) 2 2 2 Z N 1 + 2 1 + 。 这个结论还能推广到 n 个独立正态随机变量之和的情况， 即 若 ~ ( , ) ( 1,2, , ) 2 Xi N i  i i =  n ，且它们相互独立，则它们的和 Z = X1 + X2 ++ Xn 仍然服从正态分布，且 ~ ( , ) 2 2 2 2 Z N 1 + 2 ++ n  1 + ++ n 更一般地，可以证明有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布。 注意：不独立的正态随机变量之和必是正态分布。 例 2 在一简单电路中，两电阻 R1 和 R2 串联联接，设 R1，R2 相互独立，它们的概率密度 均为      = − 0 其它 0 10 ( ) 50 10 x f x x 求总电阻 R = R1 + R2 的概率密度。 例 3 设随机变量 X 与 Y 独立， X 服从正态分布 ( , ) 2 N   ，Y ~ O[− , ]。 试求 Z = X −Y 的分布。 例 4 设 (X,Y) 的联合密度函当为        = 0 其它 3 0 ,0 1 ( , ) x y x x f x y 求 Z = X −Y 的分布密度。 （二） M = max( X,Y) 及 N = min( X ,Y) 的分布 设 X 、Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为 F (x) X 和 F (y) Y 。 PM  z= PX  z,Y  z= PX  zPY  z

即F(a)=Fx(e)F,(e) 类似地，F(e)=PW≤}=1-PN>} =1-P{X>,Y>}=1-P{X>z}Py>z} =1-(1-Fx(e》(1-F,(e》 以上结果容易推广到个相互独立的随机变量的情况。 特别，当X,X2,X,相互独立且具有相同分布函数F(x)时有 F(e)=(F(e)” Fmm(e)=1-(1-F(e》 例4假设一电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障工作的时间服 从参数为。>0的指数分布。当三个元件都无故障工作时，电路正常工作，否则整个电 路不能正常工作。试求该电路正常工作的时间T的概率分布。 (三) 例5设随机变量X,、X2、X,、X4相互独立，且同分布： P{X=0}=0.6,P{X=1}=0.4,i=1,2,3,4 X:X2 求行列式X=X,X 的概率分布。 V.小结与提问： 小结：本次课主要介绍了： (1): (2): (3): (4)。 提问：1.？ 2.? I.课外作业：Pa28

即 ( ) ( ) ( ) max F z F z F z X Y =  类似地， Fmin (z) = PN  z=1−PN  z       1 (1 ( )) (1 ( )) 1 , 1 F z F z P X z Y z P X z P Y z X − Y = − −  = −   = −    以上结果容易推广到 n 个相互独立的随机变量的情况。 特别，当 X1， X2 ，.， Xn 相互独立且具有相同分布函数 F(x) 时有 n F (z) (F(z)) max = n F (z) 1 (1 F(z)) min = − − 例 4 假设一电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障工作的时间服 从参数为 0 1   的指数分布。当三个元件都无故障工作时，电路正常工作，否则整个电 路不能正常工作。试求该电路正常工作的时间 T 的概率分布。 （三） 例 5 设随机变量 X1、 X2、 X3 、 X4 相互独立，且同分布： PXi = 0= 0.6, PXi =1= 0.4, i =1,2,3,4 求行列式 3 4 1 2 X X X X X = 的概率分布。 Ⅴ.小结与提问： 小结：本次课主要介绍了： (1)； (2)； (3)； (4)。 提问：1.？ 2.？ Ⅵ. 课外作业：P108 28