《场论与复变函数》课程教学资源（知识扩展）复数域和实数域

复数域和实数域 在学习复变函数之前，我们接触到的数域最大到实数域，碰到的变量、函数、 极限、积分、导数等概念和运算都在实数域范围内。域是数学上的一个概念，简 单地说就是有一个数的集合，这个集合对加、减、乘、除（分母不为0）四则运 算封闭，即集合中的任意两个元素做四则运算，结果得到的元素仍然在这个集 合里。根据这一规则可知，全体自然数、全体整数不构成域，全体有理数构成有 理数域，全体实数构成实数域。在学习了复变函数论以后知道，全体复数也构成 复数域。那么，实数域和复数域是什么关系呢？ 也许可以认为，复数域是比实数域更大的数域，复数域包含了实数域。这样 一种观点不能算是正确的。的确，在复平面内，横轴表示复数的实部，这条轴看 起来就表示了全体实数。但是当复数：在这上面取值的时候，是不是表示：就是 一个实数呢？ 不是的。不管：在复平面内哪里取值，它都是一个复数，即：=x+y是由实 部和虚部的二元结构表示的数。只是当：在实轴上取值时，其虚部y=0,因此 对复数：进行运算时相当于只对其实部x做运算，而其虚部将不会对运算结果起 任何作用，这就使得此时对复数的运算完全相同于对实数的运算。虽然如此，请 记住：此时只是复数：的虚部等于0，并不等于说此时复数：变成了实数x,更 不能说复数：没有虚部。而这一结论能够成立的一个前提条件是：实数对四则运 算是封闭的，不会在运算过程中产生复数。这种关系还可以这样理解：实数轴上 的全部复数可以和实数域中的全体实数之间建立一个一一映射关系，x+0→x， 此时对复数的四则运算，包括求积分、求导数等运算，完全相同于对实数的运算。 在整个复平面内，只有实轴对四则侧运算是封闭的，虚轴对乘法和除法不封闭， 不能构成一个数域。而其它任意一条过原点的直线上的点对应的复数也对四则运 算不封闭，不能形成一个数域，因此它们看起来都是一条直线，但是却不能和实 轴一样，跟全体实数之间建立一个一一映射关系，让复数运算等同于实数运算。 留数定理在实变函数积分中的应用中，就是利用了这种关系。在实轴上的积 分，等价于在实轴上取值的复数的积分，从而把运算转化到复数域中。假如实数 域对积分（实际上就是乘法和加法）不封闭，那么就无法实现这种转化了

复数域和实数域 在学习复变函数之前，我们接触到的数域最大到实数域，碰到的变量、函数、 极限、积分、导数等概念和运算都在实数域范围内。域是数学上的一个概念，简 单地说就是有一个数的集合，这个集合对加、减、乘、除（分母不为 0）四则运 算封闭，即集合中的任意两个元素做四则运算，结果得到的元素仍然在这个集 合里。根据这一规则可知，全体自然数、全体整数不构成域，全体有理数构成有 理数域，全体实数构成实数域。在学习了复变函数论以后知道，全体复数也构成 复数域。那么，实数域和复数域是什么关系呢？ 也许可以认为，复数域是比实数域更大的数域，复数域包含了实数域。这样 一种观点不能算是正确的。的确，在复平面内，横轴表示复数的实部，这条轴看 起来就表示了全体实数。但是当复数 z 在这上面取值的时候，是不是表示 z 就是 一个实数呢？ 不是的。不管 z 在复平面内哪里取值，它都是一个复数，即 z x iy = + 是由实 部和虚部的二元结构表示的数。只是当 z 在实轴上取值时，其虚部 y ≡ 0，因此 对复数 z 进行运算时相当于只对其实部 x 做运算，而其虚部将不会对运算结果起 任何作用，这就使得此时对复数的运算完全相同于对实数的运算。虽然如此，请 记住：此时只是复数 z 的虚部等于 0，并不等于说此时复数 z 变成了实数 x ，更 不能说复数 z 没有虚部。而这一结论能够成立的一个前提条件是：实数对四则运 算是封闭的，不会在运算过程中产生复数。这种关系还可以这样理解：实数轴上 的全部复数可以和实数域中的全体实数之间建立一个一一映射关系，x + →i x 0 ， 此时对复数的四则运算，包括求积分、求导数等运算，完全相同于对实数的运算。 在整个复平面内，只有实轴对四则运算是封闭的，虚轴对乘法和除法不封闭， 不能构成一个数域。而其它任意一条过原点的直线上的点对应的复数也对四则运 算不封闭，不能形成一个数域，因此它们看起来都是一条直线，但是却不能和实 轴一样，跟全体实数之间建立一个一一映射关系，让复数运算等同于实数运算。 留数定理在实变函数积分中的应用中，就是利用了这种关系。在实轴上的积 分，等价于在实轴上取值的复数的积分，从而把运算转化到复数域中。假如实数 域对积分（实际上就是乘法和加法）不封闭，那么就无法实现这种转化了