《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第四章 随机变量的数字特征 4.4 矩和协方差矩阵

第四节 矩和依方差矩阵 由于 x)- E(X)=∫对xx (x9)-2n E(X2)=∫xf(x)d 自然地推广到 E(x)=xp E(X)=f()ds 借用物理学中的“矩”的名称，称上式为X的阶原点矩。 2024年8月27日星期二 1 目录今 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 1 目录 上页 下页 返回 第四节 矩和协方差矩阵 1 ( ) i i i E X x p  = =  E X xf x x ( ) ( )d + − =  由于 2 2 1 ( ) i i i E X x p  = =  2 2 E X x f x x ( ) ( )d + − =  自然地推广到 1 ( ) k k i i i E X x p  = =  ( ) ( )d k k E X x f x x + − =  借用物理学中的“矩”的名称，称上式为X的k阶原点矩

注意到 D(X)-E[X-E(X 自然地推广到 E[X-E(X 称上式为X的k阶中心矩。 E(xY).E[X-E(X [Y-E)]) 分别称为k+阶混合矩和k+阶混合中心矩。 特别地，当k=1,1=1时，二阶混合中心矩就是协方差。 2024年8月27日星期二 2 目录○ 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 2 目录 上页 下页 返回    2 D X E X E X ( ) ( ) = − 注意到 自然地推广到  ( )  k E X E X − 称上式为X的k阶中心矩。 ( ), ( ) ( )      k l k l E X Y E X E X Y E Y − − 分别称为k+l阶混合矩和k+l阶混合中心矩。 特别地，当k=1，l=1时，二阶混合中心矩就是协方差

它的转置为5'=(X,X2)这时的数学期望为 E() E(X E(X2) 类似于一维随机变量，可以对定义二阶中心矩： 5a353 (X1-E(X)X,-E(X,》 协方差矩阵 E(X2)] [X2-(A2小mAT [2-(42 E[X-E(X) E{[X1-E(X)[X2-E(X2} E[X2-E(X2-E(X) E[X:-E(X) 2024年8月27日星期二 3 目录 、上页> 下页 返回

2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回 1 2 X X    =     令 它的转置为  = ( X X1 2 , ) 这时ξ的数学期望为 1 2 ( ) ( ) ( ) E X E E X    =     类似于一维随机变量，可以对ξ定义二阶中心矩： E E E [ ( )][ ( )]     − −  1 1 1 1 2 2 2 2 ( ) ( ( ), ( )) ( ) X E X E X E X X E X X E X       − = − −         −             2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X E X X E X X E X E X E X X E X X E X     − − − =     − − −               2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E X E X E X E X X E X E X E X X E X E X E X   − − −   =     − − −   协方差矩阵

对n维随机变量来说，可作类似推广： C12 C= C22 其中 Cnl Cn2 Cnn G,=Co(X,X,)=E{X,-E(X,J[X,-EXy)]},1j=12,.,n 称C为n维随机变量(X,X2,Xn)的协方差矩阵。 2024年8月27日星期二 4 目录 、上页 下页 、返回

2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回 对n维随机变量来说，可作类似推广： 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn c c c c c c C c c c       =       其中 c Cov X X E X E X X E X i j n ij i j i i j j = = − − = ( , ) ( ) ( ) , , 1, 2, ,      称C为n维随机变量 ( , , , ) X X X 1 2 n 的协方差矩阵

内容小结 2024年8月27日星期二 5 目录今上页>下页 返回

2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回 内容小结

作业 习题A 2024年8月27日星期二 6 目录○ (上页 、下页 返回

2024年8月27日星期二 6 目录 上页 下页 返回 习题A