《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第七章 参数估计 7.5 0-1分布参数的区间估计

7.5 0-1分市参数的 区间估计 2024年8月27日星期二 目录上页 下页返回

2024年8月27日星期二 2 目录 上页 下页 返回 7.5 0－1分布参数的 区间估计

在实际应用中，我们不仅会遇到正态总体的区间估 计问题，有时还会遇到下面的问题：在已知总体服从0 一1分布B(1,p)的前提下，如何根据样本X1,X2,.,Xn所 提供的信息来估计未知参数p· 设总体X~B(1,p),其中p未知，X1,X2,.,Xn是来 自这个总体的一个样本，当样本容量较大时，由中心极 限定理知 x,-p i=1 nX-np np(1-p)np(1-p) 近似地服从N(0,1)分布， 2024年8月27日星期二 3 目录 上页> 下页 返回

2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回 在实际应用中，我们不仅会遇到正态总体的区间估 计问题，有时还会遇到下面的问题：在已知总体服从 0 －1 分布 B p (1, )的前提下，如何根据样本 1 2 , , , X X Xn 所 提供的信息来估计未知参数 p ． 设总体 X B p ~ (1, ) ，其中 p 未知， 1 2 , , , X X Xn 是来 自这个总体的一个样本，当样本容量较大时，由中心极 限定理知 1 (1 ) (1 ) n i i X np nX np np p np p = − − = − −  近似地服从 N(0,1) 分布

于是有 而 nX-np -a/2< <42等价于 np(1-p) (n+/2)p2-(2n+2)p+n2<0. 记p,= （-6-4a,n-六-+-a网， 2a 此处a=n+u2,b=-(2nx+G2),c=n2.于是可得 p的一个近似的置信水平为1-的置信区间为 (P1,p2)· 2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回 于是有 / 2 / 2 1 (1 ) nX np P u u np p        −   −    −   −   . 而 / 2 / 2 (1 ) nX np u u np p   − −   − 等价于 2 2 2 2 / 2 / 2 ( ) (2 ) 0 n u p nX u p nX + − + +    . 记 2 1 1 ( 4 ) 2 p b b ac a = − − − ， 2 2 1 ( 4 ) 2 p b b ac a = − + − ， 此处 2 / 2 a n u = +  ， 2 / 2 b nX u (2 ) = − +  ， 2 c nX = ．于是可得 p 的一个近似的置信水平为1− 的置信区间为 1 2 ( , ) p p ．

【例19】从一批手工艺中抽取100个样品中，得一级 品60个，求这批产品的一级品率p的置信水平为0.95 的置信区间. 解 一级品率p是(0一1)分布的参数。由n=100, 60 x= 100 =0.6,1-a=0.95,a/2=0.025,42=1.96, 得 a=n+u2=103.84,b=-(2m+u2)=-123.84, c=x2=36.于是 B= -b-6-4ac=050,-b+F-4am)-069 2a 2a 因此，p的一个置信度为0.95的置信区间为(0.50,0.69). 2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回 【例 19】 从一批手工艺中抽取 100 个样品中，得一级 品 60 个，求这批产品的一级品率 p 的置信水平为 0.95 的置信区间． 解 一级品率 p 是(0－1)分布的参数。由 n =100 ， 60 0.6 100 x = = ，1 0.95 − =  ， / 2 0.025 = ， / 2 u 1.96  = ， 得 2 / 2 a n u 103.84  = + = ， 2 / 2 b nx u (2 ) 123.84  = − + = − ， 2 c nx = = 36．于是 2 1 1 ( 4 ) 0.50 2 p b b ac a = − − − = ， 2 2 1 ( 4 ) 0.69 2 p b b ac a = − + − = 因此， p 的一个置信度为 0．95 的置信区间为 (0.50,0.69) ．

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作业 习题A 2024年8月27日星期二 7 目录 上页下页 返回

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