《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第八章 假设检验 8.2 正态总体均值的假设检验

82正态总体怕值的 假设检验 一、单个正态总体N(4,σ)均值μ的检验 二、两个正态总体均值差的检验 2024年8月27日星期二 2 目录 、上页> 下页 、返回

2024年8月27日星期二 2 目录 上页 下页 返回 8.2 正态总体均值的 假设检验 一、单个正态总体 2 N( , )   均值 的检验 二、两个正态总体均值差的检验

一、单个正态总体N(山，o)均值u的检验 1.o2已知，关于u的检验(U检验) 在上一节中，我们已经讨论过正态总体W(山，o),当 o2已知时，关于4的检验问题.在这些问题中，当原假 设H,成立时，U=-华~NO,我们是利用统计量 o/√n 一凸来确定拒绝域的，这种检验法称为U检验。 σ/Wn 2024年8月27日星期二 3 目录○ 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回 1． 2  已知，关于  的检验(U 检验) 一、单个正态总体 2 N( , )   均值 的检验 在上一节中，我们已经讨论过正态总体 2 N( , )   ，当 2  已知时，关于  的检验问题．在这些问题中，当原假 设 H0 成立时， 0 ~ (0,1) / X U N n   − = ，我们是利用统计量 0 / X U n   − = 来确定拒绝域的，这种检验法称为U 检验．

一、单个正态总体N(4,σ2)均值μ的检验 2.o2未知，关于u的检验(T检验) 设总体X~N(4,o2),其中4，σ2都未知， X1,X2,.,Xn是来自总体X的样本，在显著性水平为 时，检验假设 H0:u=4;H1:u≠4： 当原假设H,成立时，T-凸m-). SIn 拒绝域为T= ≥ta2(n-l). 2024年8月27日星期二 目录 、上页 下页 返回」

2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回 2. 2  未知，关于  的检验(T 检验) 一、单个正态总体 2 N( , )   均值 的检验 设总体 2 X N~ ( , )   ，其中  ， 2  都 未知， 1 2 , , , X X Xn 是来自总体 X 的样本，在显著性水平为 时，检验假设 0 0 H :   = ； 1 0 H :    . 当原假设 H0 成立时， 0 ~ ( 1) / X T t n S n −  = − . 拒绝域为 0 / 2 ( 1) / X T t n S n  −  =  −

【例2】某切割机在正常工作时，切割每段金属棒的平 均长度为10.5cm,标准差是0.15cm.今从一批产品中 随机地抽取15段进行测量，其结果如下（单位：cm): 10.4,10.6,10.1,10.4,10.5,10.3,10.3,10.2, 10.9,10.6,10.8,10.5,10.7,10.2,10.7. 试问该切割机工作是否正常？（a=0.05) 解需检验假设：H。:u=4=10.5;H≠10.5 总体的标准差o=0.15已知，所以选择统计量 U= ，得拒绝域为d= ≥4x2.将n=15, o/√n a/2=1.96,o=0.15 x=10.48,代入上式得 4=0.5164<1.96,所以接受原假设H。,即可认为该切 割机工作正常. 2024年8月27日星期二 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回 【例 2】 某切割机在正常工作时，切割每段金属棒的平 均长度为 10.5cm，标准差是 0.15cm．今从一批产品中 随机地抽取 15 段进行测量，其结果如下(单位：cm)： 10.4，10.6，10.1，10.4，10.5，10.3，10.3，10.2， 10.9，10.6，10.8，10.5，10.7，10.2，10.7. 试问该切割机工作是否正常？(  = 0.05 ) 解 需检验假设： 0 0 H : 10.5   = = ； H1 10.5 总 体 的 标 准 差  = 0.15 已 知 ， 所 以 选 择 统 计 量 0 / X U n   − = ，得拒绝域为 0 / 2 / x u u n    − =  .将 n =15， / 2 u 1.96  = ，  = 0.15 ， x =10.48 ，代入上式 得 u =  0.5164 1.96 ，所以接受原假设 H0 ，即可认为该切 割机工作正常．

【例3】某批矿砂的5个样品中的镍含量(%)数据如下： 3.25,3.27,3.24,3.26,3.24 设测定值总体服从正态分布，问在α=0.01下能否接受 假设：这批矿砂的镍含量的均值为3.25. 解由题可知，需检验假设： H0:u=4=3.25;H1:4≠3.25 由于总体标准差未知，所以选择统计量T=一丛 ,得 SIn 拒绝域为T= ≥60s(4). 代入数据得t=0.3068<4.6041,所以接受原假设 H。,即可认为该批矿砂的镍含量的均值仍为3.25. 2024年8月27日星期二 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 6 目录 上页 下页 返回 【例 3】 某批矿砂的 5 个样品中的镍含量(%)数据如下： 3.25，3.27，3.24，3.26，3.24 设测定值总体服从正态分布，问在 = 0.01下能否接受 假设：这批矿砂的镍含量的均值为 3.25． 解 由题可知，需检验假设： 0 0 H : 3.25   = = ； 1 H : 3.25   由于总体标准差未知，所以选择统计量 0 / X T S n −  = ，得 拒绝域为 0 0.005 (4) / X T t S n −  =  . 代入数据得 t =  0.3068 4.6041，所以接受原假设 H0 ，即可认为该批矿砂的镍含量的均值仍为 3.25．

【例4】按规定，100g罐头番茄汁中的平均维生素C 含量不得少于21mg/g.现从工厂的产品中抽取17个罐 头，其100g番茄汁中，测得维生素C含量(mg/g)记录 如下： 16,25,21,20,23,21,19,15,13,23,17, 20,29,18,22,16,22 设维生素含量服从正态分布N(4,σ)，4，o2均未知， 问这批罐头是否符合要求（取显著性水平=0.05）. 解由题可知，需检验假设： H:4≥21；H,:u<21 2024年8月27日星期二 目录 、上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 7 目录 上页 下页 返回 【例 4】 按规定，100g 罐头番茄汁中的平均维生素 C 含量不得少于 21mg/g．现从工厂的产品中抽取 17 个罐 头，其 100g 番茄汁中，测得维生素Ｃ含量(mg/g)记录 如下： 16，25，21，20，23，21，19，15，13，23，17， 20，29，18，22，16，22 设维生素含量服从正态分布 2 N( , )   ， ， 2  均未知， 问这批罐头是否符合要求(取显著性水平  = 0.05 )． 解 由题可知，需检验假设： 0 H : 21   ； 1 H : 21  

由于总体方差未知，所以选择统计量T= 一，得拒 SIn 绝域为 T-X-%≤-m-). SIn 将n=17,40(16)=1.7459,s=3.98,x=20,代 入以上不等式得t=-1.004>-t5(16)=-1.7459,所以接 受原假设H。,即可认为这批罐头是符合要求的. 2024年8月27日星期二 8 目录○ 上页○ 下页 返回

2024年8月27日星期二 8 目录 上页 下页 返回 由于总体方差未知，所以选择统计量 0 / X T S n −  = ，得拒 绝域为 0 ( 1) / X T t n S n  −  =  − − . 将 n =17 ， 0.05 t (16) 1.7459 = ， s = 3.98， x = 20 ， 代 入以上不等式得 1.004 (16) 1.7459 0.05 t t = −  − = − ，所以接 受原假设 H0 ，即可认为这批罐头是符合要求的．

二、两个正态总体均值差的检验 设X1,X2,Xn是来自正态总体N(4,o)的样本， Y,Yy,.,Ym是来自正态总体N(山2，o)的样本，且两个样 本相互独立，灭，了分别表示两个样本的样本均值，S2,S号 表示它们的样本方差. 现在来求检验问题： H0:4-42=δ；H1:4-山≠δ (δ为已知常数，较常见的是8=0)的拒绝域.取显著性 水平为a. 2024年8月27日星期二 目录○ 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 9 目录 上页 下页 返回 二、两个正态总体均值差的检验 设 1 2 , , , X X Xn 是来自正态总体 2 1 1 N( , )   的样本， 1 2 , , , Y Y Ym 是来自正态总体 2 2 2 N( , )   的样本，且两个样 本相互独立，X Y, 分别表示两个样本的样本均值， 2 2 1 2 S S, 表示它们的样本方差． 现在来求检验问题： 0 1 2 H :    − = ； 1 1 2 H :    −  ( 为已知常数，较常见的是 = 0 )的拒绝域．取显著性 水平为  ．

1.当方差o,o2为已知时，对均值差的检验 当原假设H,为真时，T-了-N心，g+ n 即U-西-。、N0,).选择U-X-万-a 作为检 2 m m 验统计量，此时可以确定拒绝域为 4=任-可- o+ ≥ua2 n m 2024年8月27日星期二 10 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 10 目录 上页 下页 返回 1. 当方差 2 1 ， 2  2 为已知时，对均值差的检验 当原假设 H0 为真时， 2 2 1 2 X Y N~ ( , ) n m   − +  即 2 2 1 2 ( ) ~ (0,1) X Y U N n m    − − = + .选 择 2 2 1 2 ( ) X Y U n m    − − = + 作为检 验统计量，此时可以确定拒绝域为 / 2 2 2 1 2 ( ) x y u u n m     − − =  +

2.当σ=σ3=o2为未知时，对均值差的检验 由抽样分布理论，当H。为真时，统计量 T=-7-6 ~t(n+m-2),从而易知拒绝域为 + H区-月-d≥m+m-2). 1+1 m 其中s-0+m-1S,s.= n+m-2 2024年8月27日星期二 11 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 11 目录 上页 下页 返回 2. 当 222  1 2 = = 为未知时，对均值差的检验 由 抽 样 分 布 理 论 ， 当 H0 为 真 时 ， 统 计 量 ( ) ~ ( 2 1 1 ) X Y T S n t n m m   + − + − − = ，从而易知拒绝域为 / 2 ( ) ( 2) 1 1 x y t t n m S n m   − − =  + − + . 其中 2 2 2 1 2 ( 1) ( 1) 2 n S m S S n m  − + − = + − ， 2 S S   =