《场论与复变函数》课程教学资源（知识扩展）留数的由来

留数的由来 若函数f()在孤立奇点的邻域：0<上-=<R内解析，则f(:)可以展开成洛朗级数： M()=c.(-z-c(=-zr+e-+c(-(1) 围绕的一条简单闭曲线C:-<6,其中0<6<R,则(1)式两边同时沿C积分 得到： ∮fet=2c.e-rt+ee-)广t+∑∮c.(e-t2) 下面来看(2)右端的积分∮c(e-0)止，n=0,士1，士2，.： 当n-1时手c-达4：片女=c2m(由的适积分公式可得 当n≥0时，∮c(仁-)广止中的被积函数c(仁-)”是幂函数，在点解析，即在C及 其内部解析，因此有∮c(-)》止=0（由柯西古萨基本定理可得）： 1 当n≤-2，季C仁-，广在=6一e-止=0（自商阶号数公式可利，成者令 z=。+6(0≤0≤2π)，代入积分式求解可得，见课本73页例2.) 因此，(2)式可推出： ∮f(et=∮c(-)t (3) 由于在f(:)沿C积分的过程中，(1)式中只有c1是有效的，或者说只有c1“保留”了 下来，因此规定c,是f()在孤立奇点。的留数，记作 Res[f(=),=o]=c (4)

留数的由来 若函数 f ( )z 在孤立奇点 0 z 的邻域： 0 0 < zz R − < 内解析，则 f ( )z 可以展开成洛朗级数： 2 1 0 0 10 0 0 () ( ) ( ) ( ) ( ) nn n nn n nn n f z cz z cz z c z z cz z +∞ − +∞ − − =−∞ =−∞ = = −= −+ − + − ∑∑ ∑ （1） 围绕 0 z 的一条简单闭曲线 0 Cz z : − < δ ，其中0 < δ < R ，则（1）式两边同时沿C 积分， 得到： 2 1 0 10 0 0 () ( ) ( ) ( ) n n n n CC C C n n f z dz c z z dz c z z dz c z z dz − +∞ − − =−∞ = vv v v ∫∫ ∫ ∫ = −+ − + − ∑ ∑ （2） 下面来看（2）右端的积分 0 ( )n n C c z z dz − v∫ ， n = 0, 1, 2, ± ± " ： 当 n = −1时， 1 10 1 1 0 1 ( )= 2 C C c z z dz c dz c i z z π − −−− − =⋅ − v v ∫ ∫ （由柯西积分公式可得）； 当 n ≥ 0 时， 0 ( )n n C c z z dz − v∫ 中的被积函数 0 ( )n n cz z − 是幂函数，在 0 z 点解析，即在C 及 其内部解析，因此有 0 ()0 n n C c z z dz − = v∫ （由柯西古萨基本定理可得）； 当 n ≤ −2 时， 0 0 1 () 0 ( ) k k k k C C c z z dz c dz z z − − − −= = − v v ∫ ∫ （由高阶导数公式可得，或者令 0 (0 2 ) i zz e θ = + ≤≤ δ θ π ，代入积分式求解可得，见课本 73 页例 2.） 因此，（2）式可推出： 1 1 0 () ( ) C C f z dz c z z dz − v v ∫ ∫ = − − （3） 由于在 f ( )z 沿C 积分的过程中，（1）式中只有 1 c− 是有效的，或者说只有 1 c− “保留”了 下来，因此规定 1 c− 是 f ( )z 在孤立奇点 0 z 的留数，记作 Re ( ), sfz z c [ 0 1 ] = − （4）