《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第五章 大数定律及中心极限定理 5.1 大数定律 5.2 中心极限定理

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2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回 §5.1 大数定律

有些随机事件无规律可循，但不少却是有规律的， 这些“有规律的随机事件”中在大量重复出现的条件 下，往往呈现几乎必然的统计特性，这个规律就是大 数定律。通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条 件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概 率。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面 朝上本来是偶然的，但当我们上抛硬币的次数足够多 后，达到上万次甚至几十万几百万次以后，我们就会 发现，硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一。 这种情况下，偶然中包含着必然。必然的规律与特性 在大量的样本中得以体现。 简单地说，大数定理就是“当试验次数足够多时， 事件发生的频率依概率收敛于事件的概率” 2024年8月27日星期二 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回 有些随机事件无规律可循，但不少却是有规律的， 这些“有规律的随机事件” 中在大量重复出现的条件 下，往往呈现几乎必然的统计特性，这个规律就是大 数定律。通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条 件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概 率。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面 朝上本来是偶然的，但当我们上抛硬币的次数足够多 后，达到上万次甚至几十万几百万次以后，我们就 会 发现，硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一。 这种情况下，偶然中包含着必然。必然的规律与特性 在大量的样本中得以体现。 简单地说，大数定理就是“当试验次数足够多时， 事件发生的频率依概率收敛于事件的概率

又如称量某一物体的重量，假如衡器不存在系统 偏差，由于衡器的精度等各种因素的影响，对同一物 体重复称量多次，可能得到多个不同的重量数值，但 它们的算术平均值一般来说将随称量次数的增加而逐 新接近于物体的真实重量。 2024年8月27日星期二 5 目录○ 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回 又如称量某一物体的重量，假如衡器不存在系统 偏差，由于衡器的精度等各种因素的影响，对同一物 体重复称量多次，可能得到多个不同的重量数值，但 它们的算术平均值一般来说将随称量次数的增加而逐 渐接近于物体的真实重量

定义1设X,X2,.,Xn,.是随机变量序列，4是一个常 数，若对于任意给定的正数ε，有 lim P{X -uka=1, n-→o∞ 则称随机变量序列{X}依概率收敛于4，记为 XnP→l. 定理1[切贝雪夫(Chebyshev)大数定律]设随机变量 X,X2,.相互独立，若存在常数c使得 DX,≤c,i=1,2,.,则对于任意给定的正数ε，有 四P2x2威<-1 2024年8月27日星期二 6 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 6 目录 上页 下页 返回 定义 1 设 1 2 , , , , X X X n 是随机变量序列，  是一个常 数，若对于任意给定的正数 ，有 lim | | 1  n  n P X   → −  = ， 则称随机变量序列 { } X n 依概率收敛于  ，记为 P X n ⎯⎯→ ． 定 理 1 [切贝雪夫(Chebyshev)大数定律] 设随机变量 1 2 X X, , 相 互 独 立 ， 若 存 在 常 数 c 使 得 , 1,2, DX c i i  = ，则对于任意给定的正数 ，有 1 1 1 1 lim 1 n n i i n i i P X EX n n  → = =     −  =     ．

证明 记y=12x,则 ,=2x]2x DX.-DXDx50 由切贝雪夫不等式，得 r2xze小1 故 mΣx2x< 2024年8月27日星期二 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 7 目录 上页 下页 返回 证明 记 1 1 n n i i Y X n = =  ，则 1 1 1 1 , n n n i i i i EY E X EX n n = =   = =      2 1 1 1 1 . n n n i i i i c DY D X DX n n n = =   = =        由切贝雪夫不等式，得 2 1 1 1 1 1 n n i i i i c P X EX n n n  = =      −   −     故 1 1 1 1 lim 1. n n i i n i i P X EX n n  → = =     −      

又因为任何事件的概率不大于1，所以有 皿芝x2x1 2024年8月27日星期二 8 目录 上页 下页 、返回

2024年8月27日星期二 8 目录 上页 下页 返回 又因为任何事件的概率不大于1，所以有 1 1 1 1 lim 1. n n i i n i i P X EX n n  → = =     −  =    

说明： 当n很大时，随机变量X1,X2,L,Xn的算术平 均∑X接近于数学期望 n k=1 (这个接近是概率意义下的接近) 即在定理条件下，n个随机变量的算术平均，当n 无限增加时，几乎变成一个常数. 切比雪夫大数定律给出了平均值稳定性的科学 描述 2024年8月27日星期二 9 目录○ 上页> 下页○ 返回

2024年8月27日星期二 9 目录 上页 下页 返回 说明: 均 接近于数学期望 当 很大时 随机变量 的算术平 = n k k n X n n X X X 1 1 2 1 , , ,L, （这个接近是概率意义下的接近） 即在定理条件下, n个随机变量的算术平均, 当n 无限增加时, 几乎变成一个常数. 切比雪夫大数定律给出了平均值稳定性的科学 描述

首先，我们来回答频率与概率的关系问题 在n重伯努利试验中，设事件A发生的次数为随机变 量X，p是事件A在每次试验中发生的概率，记 第i次试验中事件A发生， i=1,2,. 第i次试验中事件A不发生. 则X=∑X,·由于水，只依赖于第次试验，而各次试验 是相互独立的，因此X,X2,.,Y,.相互独立， 并且都服从0-1分布，故有 EX,=pDx-l-p≤i-L2 2024年8月27日星期二 10 目录○ 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 10 目录 上页 下页 返回 首先，我们来回答频率与概率的关系问题． 在n重伯努利试验中，设事件 A 发生的次数为随机变 量 X ， p 是事件 A 在每次试验中发生的概率，记 1, 0, Xi  =   第i次试验中事件A发生， 第i次试验中事件A不发生. i =1,2, 则 1 n i i X X = =  ．由于 Xi 只依赖于第i 次试验，而各次试验 是相互独立的，因此 X1 ， X2 ，.， Xi ，.相互独立， 并且都服从 0-1 分布，故有 1 , (1 ) , 1,2, . 4 EX p DX p p i i i = = −  =

由切贝雪夫大数定律，可知 xqej 即 妇小 2024年8月27日星期二 11 目录○ 上页>下页 返回

2024年8月27日星期二 11 目录 上页 下页 返回 由切贝雪夫大数定律，可知 1 1 lim 1 n i n i P X p n  → =     −  =    即 lim 1. n X P p n  →     −  =  