《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第三章 多维随机变量及其分布 3.1 n维随机变量及其分布

随机变量的定义 定义：设随机试验的样本空间为2={o如果对于每 个样本点o∈，有唯一的实数X(o)与之相对应，则 称X=X(o)为样本空间2上的随机变量。 注：1.随机变量的取值随试验结果而定 2.随机变量所有可能取值是事先知道的 3集合到实数的映射 2024年8月27日星期二 2 目录○ 上页> 下页 返回

2024年8月27日星期二 2 目录 上页 下页 返回 定义：设随机试验的样本空间为  = ．如果对于每 个样本点  ，有唯一的实数 X () 与之相对应，则 称 X X = () 为样本空间  上的随机变量。 注：1.随机变量的取值随试验结果而定 2.随机变量所有可能取值是事先知道的 3.集合到实数的映射 随机变量的定义

定义：若随机变量X的所有可能取值为x(=1,2,)而X 取值为x对应的概率为p,即P{X=x}=p,i=1,2, 或 .X P P P2 .Pi 。 称为离散型随机变量X的分布律或分布列或概率分布。 分布律具有以下重要性质： (1)0≤p,≤1，i=1,2,3, (2)∑p=1 即不满足这两条性质，就不能称为随机变量的分布律。 2024年8月27日星期二 3 目录○ 、上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回 1 2 1 2 . . . . i i X x x x P p p p 定义：若随机变量X的所有可能取值为xi (i=1,2,.) 而X 取值为xi对应的概率为pi ，即  = = =  , 1,2,. P X x p i i i 或 称为离散型随机变量X的分布律或分布列或概率分布。 分布律具有以下重要性质： (1 0 1, 1,2,3,. ) i   = p i ( ) 1 2 1 i i p  =  = 即不满足这两条性质，就不能称为随机变量的分布律

分布函数的定义及性质 定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数 F(x)=P(X≤x) 称为随机变量X的分布函数。 从而 P(x,<X≤x,)=P(X≤x2)-P(X≤x)=F(x2)-F(x) 也就是说，可以通过分布函数，计算随机变量落在任意 一个区间的概率。 2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回」

2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回 定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数 F x P X x ( ) ( ) =  称为随机变量X的分布函数。 从而 1 2 2 1 P x X x P X x P X x ( ) ( ) ( )   =  −  2 1 = − F x F x ( ) ( ) 也就是说，可以通过分布函数，计算随机变量落在任意 一个区间的概率。 分布函数的定义及性质

分布函数的性质： (1)(单调性)对于任意实数x1,x2,(x1-00 X+00 F(-o)=P{X≤-o}不可能事件 F(+o)=P{X≤+o∞}必然事件 (3)(右连续性) 1 lim F(x)=F() x对 2024年8月27日星期二 5 目录○ 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回 分布函数的性质: (1)(单调性) 对于任意实数 x x x x 1 2 1 2 , ,( )  ，有 1 2 F x F x ( ) ( )  (2)(有界性) 0 ( ) 1, lim ( ) 0, lim ( ) 1 →− →+   = = x x F x F x F x (3)(右连续性) 0 0 lim ( ) ( ) x x F x F x → + = F P X ( ) { } − =  − 不可能事件 F P X ( ) { } + =  + 必然事件

连续型随机变量 定义：设Fx)是随机变量X的分布函数，若存在非负 可积函数x),使得对任意实数x,有 F(x)=广ft)dt 称X为连续型随机变量，称x)为X的概率密度函数，或 密度函数，也称概率密度。 2024年8月27日星期二 6 目录○ (上页下页 、返回

2024年8月27日星期二 6 目录 上页 下页 返回 连续型随机变量 定义：设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负 可积函数f(x),使得对任意实数x，有 ( ) ( )d x F x f t t − =  称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数，或 密度函数，也称概率密度

性质：1.f(x)≥0 2.∫f(x=1 f(x 从图形上来看，性质1表示X的概率密度fx)位于x轴上方， 性质2表示x)与x轴所围区域面积等于1 2024年8月27日星期二 7 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 7 目录 上页 下页 返回 性质：1. f x( ) 0  2. ( )d 1 + − =  f x x O x y 1 f x( ) 1 O x y 1 f x( ) 1 从图形上来看，性质1表示X的概率密度f(x)位于x轴上方， 性质2表示f(x)与x轴所围区域面积等于1

3.对于任意实数x,x2,(x<x2),有 Px<X≤x)=F(x)F(x)=∫fx)d 从图形上来看，性质3表示 f(x) 落在区域(x,x2]的概率 等于相应的曲边梯形的面 x积。 4.若x)在点x处连续，则F'(x)=f(x) 对于连续型随机变量X来说，通过Fx)求导得x), 通过x积分得F(x)。 2024年8月27日星期 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 8 目录 上页 下页 返回 3.对于任意实数 x x x x 1 2 1 2 , ,( )  ，有 2 1 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( )d   = − =  x x P x X x F x F x f x x O x y 1 f x( ) 1 x 2 O x x y 1 f x( ) 1 x 2 x 从图形上来看，性质3表示 X落在区域 的概率 等于相应的曲边梯形的面 积。 1 2 ( , ] x x 4.若f(x)在点x处连续，则 F x f x ( ) ( ) = 对于连续型随机变量X 来说，通过F(x)求导得f(x) ， 通过f(x)积分得F(x)

5.连续型随机变量取任一指定实数值的概率为零. 即 P{X=x}=0 由性质5，易得： P(x<X≤x2)=P(x≤X≤x2)=P(x1<X<x2) =Px≤X<x)=∫fx)dr 注：对离散型随机变量，上式不成立。 2024年8月27日星期二 目录 、上页 下页 、返回

2024年8月27日星期二 9 目录 上页 下页 返回 5.连续型随机变量取任一指定实数值的概率为零． 即 P X x  = = 0  0 由性质5，易得： 1 2 1 2 1 2 P x X x P x X x P x X x ( ) ( ) ( )   =   =   2 1 1 2 =   = ( ) ( )d  x x P x X x f x x 注：对离散型随机变量，上式不成立

几种常见的连续型随机变量的分布 均匀分布 定义：若连续型随机变量X的概率密度为 1 f(x)= b-a a≤x≤b, 0, 其它 则称x服从[a,b]上的均匀分布。记为X~U[a,b] 意义：X“等可能”地取区间，中的值，这里的“等可 能”理解为：X落在间 中任意等长度的子区间内的可能 性是相同的。即等长度，等概率。 2024年8月27日星期二 10 目录○ 上页> 下页 返回

2024年8月27日星期二 10 目录 上页 下页 返回 几种常见的连续型随机变量的分布 均匀分布 定义：若连续型随机变量X的概率密度为 1 , , ( ) 0, a x b f x b a     =  −   其它. 则称X服从 a b,  上的均匀分布。记为 X U a b  ,  意义：X“等可能”地取区间 中的值，这里的“等可 能”理解为：X落在区间 中任意等长度的子区间内的可能 性是相同的。即等长度，等概率。 a b,  a b, 

正态分布 定义：若连续型随机变量X的概率密度为 1 (x-)2 f(x)= e 2o2 ,-000)为常数，则称X服从参数为u和o2的正态分布 记为X~W(4,o) 正态分布的分布函数： 2024年8月27日星期二 11 目录○ 、上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 11 目录 上页 下页 返回 正态分布 定义：若连续型随机变量X的概率密度为 2 2 ( ) 2 1 ( ) e , , 2 x f x x     − − = −   +  其中μ， 为常数,则称X服从参数为μ和 的正态分布 2  ( 0)  2  记为 2 X N( , )   正态分布的分布函数： 2 2 ( ) 2 1 ( ) e d 2π t x F x t    − − − =  