《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第三章 多维随机变量及其分布 3.4 相互独立的随机变量

第四节相五独立的随机变量 若P{X≤x,YSy}=PX≤x}P{YSy}.则称{X≤x},{Y} 这两个事件相互独立。 自然地，将这个等式推广到对所有的x和y都成立， 就得到了随机变量独立的概念. 定义：对于一个二维随机变量(X,),若对所有的x和y, 有 P{X≤x,YSy}=P{X≤x}P{Yy} 即F(x,y)=F(x)FOy),则称随机变量X和Y相互独立。 2024年8月27日星期二 1 目录○ 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 1 目录 上页 下页 返回 第四节 相互独立的随机变量 若P{X ≤ x,Y≤y}=P{X ≤ x}P{Y≤y}. 则称{X ≤ x},{Y≤y} 这两个事件相互独立。 自然地，将这个等式推广到对所有的x和y都成立， 就得到了随机变量独立的概念． 定义：对于一个二维随机变量(X, Y)，若对所有的x和y， 有 P{X ≤ x,Y≤y}=P{X ≤ x}P{Y≤y}. 即F(x,y)=FX (x) FY (y), 则称随机变量X 和Y相互独立

在实际应用中，我们判断两个随机变量的相互独立 性，更多的是使用下面的两个等价条件. (1)对于离散型随机变量(X,),X和Y相互独立等价于 p(X=x.Y=y)=P(X=x)P(Y=) 若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为 P(X=xi,Y=yi}=pi,i,j=1,2,L. X和Y相互独立←望=P。·P” 2024年8月27日星期二 2 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 2 目录 上页 下页 返回 X 和Y 相互独立 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为 P{X = x ,Y = y } = p , i, j = 1,2,L. i j i j  . pij pi• p• j =  在实际应用中，我们判断两个随机变量的相互独立 性，更多的是使用下面的两个等价条件． (1)对于离散型随机变量(X, Y)， X 和Y相互独立等价于 P X x Y y P X x P Y y  = = = =  = i j i j ,     

(2)设连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y),边缘概率密度分别为fx(x),f,(y),则有 X和Y相互独立一f(x,)=fx(x)fr(y), (3)X和Y相互独立，则 f(X)和g(Y)也相互独立， 2024年8月27日星期二 3 目录上页下页 返回

2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回  f (x, y) f (x) f ( y). = X Y (3) X 和Y 相互独立, 则 X 和Y 相互独立 边缘概率密度分别为 则有 设连续型随机变量 的联合概率密度为 ( , ), ( ), ( ), (2) ( , ) f x y f x f y X Y X Y f (X) 和 g(Y )也相互独立

例：己知随机变量X和Y相互独立，且分布律为 X 2 1 1 0 6 9 18 1 1 B 求a,B。 解：由于随机变量X和Y相互独立， 可知 P{X=1,Y=0}=P{X=1}P{Y=0} 即 s-(biaH(o-o-m) 得a- 2024年8月27日星期二 目录○ 上页 下页 、返回

2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回 例：已知随机变量 X 和Y 相互独立，且分布律为 X Y 1 1 1 6 9 18 1 3 0 1 2 0 1   求α，β。 解：由于随机变量 X 和Y 相互独立， 可知 P X Y P X P Y  = = = =  = 1, 0 1 0      即 1 1 1 1 1 9 9 6 9 18      = +  + +         得 2 9  =

类似地，P{X=2,Y=0}=P{X=2}P{Y=0} 即8+a6与)得a-时 2024年8月27日星期二 5 目录上页下页 返回

2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回 类似地， P X Y P X P Y  = = = =  = 2, 0 2 0      即 1 1 1 1 1 18 18 6 9 18      = +  + +         得 1 9  =

例：证明：当 (X,Y)~N(4,2,o1,o,p) 时，X和Y相互独立的充分必要条件为p=0 证明：当 (X,Y)~,有4,42,，o,p) X~N(4,o),Y~N(42,o2) 即 14 f)=26 e2,0<x<+0 _(0y-4)2 )= e2o,-00<y<+00 √202 故 fx (x)f(y)= 1 兰 05 2024年8月27日星期二 2元0182 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 6 目录 上页 下页 返回 例：证明：当 时,X 和Y 相互独立的充分必要条件为ρ=0. 2 2 1 2 1 2 ( , ) ( , , , , ) X Y N      证明：当 ，有 2 2 1 2 1 2 ( , ) ( , , , , ) X Y N      2 2 1 1 2 2 X N Y N ( , ) ( , )     ， 即 2 1 2 1 ( ) 2 1 1 ( ) e , 2π x X f x x    − − = −   + 2 2 2 2 ( ) 2 2 1 ( ) e , 2π y Y f y y    − − = −   + 故 2 2 1 2 2 2 1 2 1 ( ) ( ) [ ] 2 1 2 1 ( ) ( ) e 2π x y X Y f x f y       − − − + =

又 1-4-2p-4)0y)+0 f(x,0= e 21-p2 0102 2π002V1-p2 故当p=O时，fx(x)f,(y)=f(x,y)即X和Y相互独立。 反之，当X和Y相互独立时，对所有的x和y,有 fx(x)f(y)=f(x,y) 特别地，令x=4,y=4 1 1 得到 2πo102V1-p22π0，o2 从而p=0。 2024年8月27日星期二 7 目录 上页 下页 返回○

2024年8月27日星期二 7 目录 上页 下页 返回 又 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2(1 ) 2 1 2 1 ( , ) e 2π 1 x x y y f x y                − − − − − − +   −     = − 故当ρ=0时， ( ) ( ) ( , ) X Y f x f y f x y = 即X 和Y相互独立。 反之，当X 和Y相互独立时，对所有的x和y，有 ( ) ( ) ( , ) X Y f x f y f x y = 特别地，令 1 2 x y = =   , 得到 2 1 2 1 2 1 1 2π   1 2π  = − 从而ρ=0

例：己知随机变量X和Y的联合概率密度为 xe(x+”,x>0,y>0, fx,=0 其它. 问X和Y是否独立？ 解：当x≤0时，由于孔x,y)=0.故x(x)=0 当x>0时，fx(x)=∫f(x,y)y =fxe-rdy =xex 因此 x≤0. 2024年8月27日星期二 8 目录○ 上页 下页○ 返回

2024年8月27日星期二 8 目录 上页 下页 返回 例：已知随机变量 X 和Y 的联合概率密度为 ( ) e , 0, 0, ( , ) 0, x y x x y f x y − +    =   其它. 问X 和Y 是否独立？ 解： 当x≤0时，由于f(x,y)=0.故 ( ) 0 X f x = 当x>0时， ( ) ( , )d X f x f x y y + − =  ( ) 0 e d x y x y + − + =  e x x − = 因此 e , 0, ( ) 0, 0. x X x x f x x −   =   

同理 y≤0 从而fx(x)f(y)=f(x,y)即X和Y相互独立。 2024年8月27日星期二 9 目录 上页 下页 、返回

2024年8月27日星期二 9 目录 上页 下页 返回 同理 e , 0, ( ) 0, 0. y Y y f y y −   =    ( ) ( ) ( , ) X Y 从而 f x f y f x y = 即X 和Y相互独立

例一负责人到达办公室的时间均匀分布在8~12 时，他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时， 设他们两人到达的时间相互独立，求他们到达办 公室的时间相差不超过5分钟的概率。 解设X和Y分别是负责人和他的秘书到心 达办公室的时间，由假设X和Y的概率密度分别为 fx(x)= 20-2, 10,其它， 0,其它， 由于X,Y相互独立，得(X,)的概率密度为 2024年8月27日星期二 10 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 10 目录 上页 下页 返回 例 一负责人到达办公室的时间均匀分布在8~12 时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时, 设他们两人到达的时间相互独立, 求他们到达办 公室的时间相差不超过 5 分钟的概率. 解 达办公室的时间, 设 X 和Y 分别是负责人和他的秘书到 由假设X 和Y的概率密度分别为      = 0, , 1 4, 8 12, ( ) 其它 x fX x      = 0, , 1 2, 7 9, ( ) 其它 y f y Y 由于 X,Y 相互独立, 得 (X,Y)的概率密度为