《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第四章 随机变量的数字特征（习题课）

第四章 随机变量的数字特征 一、离散型随机变量的数学期望 定义：设X是离散型随机变量，其分布律为 P{X=x}=p,i=1,2, 若级数∑xP,绝对收敛，则称级数∑xP,为X的数学期望， i记为EC).即E(X)=∑xP i=1 2024年8月27日星期二 2 目录○ 、上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 2 目录 上页 下页 返回 一、离散型随机变量的数学期望 定义：设X是离散型随机变量，其分布律为  = = =  , 1,2,. P X x p i i i 若级数 绝对收敛， 1 i i i x p  =  则称级数 为X的数学期望， 1 i i i x p  =  记为E(X). 即 1 ( ) i i i E X x p  = =  第四章 随机变量的数字特征

一维离散型随机变量函数的数学期望 定理：设X是离散型随机变量，其分布律为 P{X=x}=p,i=1,2,. 对任一实值函数g(),若级数∑8(x)p,绝对收敛， 则有 ELg(X】=∑gx)P 2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页今 、返回

2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回 一维离散型随机变量函数的数学期望 定理：设X是离散型随机变量，其分布律为  = = =  , 1,2,. P X x p i i i 若级数 绝对收敛， 1 ( )i i i g x p  =  则有 1 [ ( )] ( )i i i E g X g x p  = =  对任一实值函数g(·)

二维离散型随机变量函数的数学期望 定理：设X,)是二维离散型随机变量，其分布律为 P(X=x,Y=y)=P,ij=1,2,. 若级数∑∑gx,y,)P,绝对收敛，则有 Eg(X,】=∑∑3，y,P, i=1i=1 2024年8月27日星期二 4 目录○ 、上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回 定理：设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为 ( , ) , , 1,2, P X x Y y p i j = = = = i j ij 若级数 绝对收敛， 1 1 ( , ) i j ij i j g x y p   = =   则有 1 1 [ ( , )] ( , ) i j ij i j E g X Y g x y p   = = =  二维离散型随机变量函数的数学期望

二、连续型随机变量的数学期望 定义：设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x), 若积分」f(x)d绝对收敛，则称级数∫f(x)dx为X的 数学期望，记为E).即 E(X=∫fx)d 2024年8月27日星期二 5 目录○ 、上页下页 返回

2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回 二、连续型随机变量的数学期望 定义：设X是连续型随机变量，其概率密度为f (x). 若积分 xf x x ( )d 绝对收敛， + − 则称级数 xf x x ( )d 为X的 + − 数学期望，记为E(X). 即 E X xf x x ( ) ( )d + − = 

一维连续型随机变量函数的数学期望 定理：设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x) 若积分」g(x)f(x)dr绝对收敛，则有 E[g(X)]=g(x)f(x)dx 2024年8月27日星期二 6 目录上页下页 返回

2024年8月27日星期二 6 目录 上页 下页 返回 一维连续型随机变量函数的数学期望 定理：设X是连续型随机变量，其概率密度为f (x). 则有 E g X g x f x x  ( ) ( ) ( )d  + − =  若积分 g x f x x ( ) ( )d 绝对收敛， + −

二维连续型随机变量函数的数学期望 定理：设连续型随机变量(X,)的概率密度为f(x,y) 若积分∫gx,f(x,dd绝对收敛，则有 E[g(X,Y】=∫r"gx,)fx,y)dd 2024年8月27日星期二 7 目录○ 上页>（下页○ 返回

2024年8月27日星期二 7 目录 上页 下页 返回 定理：设连续型随机变量(X,Y) 的概率密度为f (x,y). 二维连续型随机变量函数的数学期望 若积分 g x y f x y x y ( , ) ( , )d d 绝对收敛， + +   − − 则有 E g X Y g x y f x y x y  ( , ) ( , ) ( , )d d  + + − − =  

三、数学期望的性质 1.E(C)=C,C为常数， 2.E(C)=CE(),C为常数： 3.设X和Y是两个随机变量，则有E(X+)=E()+E(Y) 4.设X和Y是两个相互独立的随机变量，则有 EXYEXE(Y) 2024年8月27日星期二 8 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 8 目录 上页 下页 返回 三、数学期望的性质 1. E(C)=C, C为常数; 2. E(CX)=CE(X), C为常数; 3. 设X和Y是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y). 4. 设X和Y是两个相互独立的随机变量，则有 E(XY)=E(X)E(Y)

四、方差的定义及计算公式 定义：设X是一个随机变量，若E[x-E(X}存在 则称E[x-(X}为X的方差。记为DC)或ar 即 D(X)=Var(X)=E[X-E(X) 称√D(X为X的均方差或标准差。记为σ() D(X)= x-E(X)PPX=x},离散型情形 k 广[x-E(X)]'f(x)dk,连续型情形 推论 D(X)=E(X-E(X) 2024年8月27日星期二 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 9 目录 上页 下页 返回 四、方差的定义及计算公式 定义：设X是一个随机变量，若    2 E X E X − ( ) 存在， 则称    为X的方差。 2 E X E X − ( ) 记为 D (X) 或 Var (X).    2 D X Var X E X E X ( ) ( ) ( ) = = − 即 称 D X( ) 为X的均方差或标准差。记为 σ (X).      − − = =    −  = 连续型情形 离散型情形 [ ( )] ( ) , [ ( )] { } , ( ) 2 1 2 x E X f x dx x E X P X x D X k k k 推论 D(X)=E(X2 )―[E(X)]2

五、常见分布及其期望和方差列表 分布名称 数学期望E 方差DX) 0-1分布 p pq 二项分布 np npq 泊松分布 均匀分布 2 12 1 1 指数分布 元 元2 正态分布 2024年8月27日星期二 10 目录○ 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 10 目录 上页 下页 返回 五、常见分布及其期望和方差列表 分布名称 数学期望 E(X) 方差 D(X) 0-1分布 二项分布 泊松分布 均匀分布 正态分布 指数分布 p pq np npq   2 a b + 2 ( ) 12 b a − 1  2   2 1 

六、方差的性质 1.D(C)=0,C为常数； 2.D(CX)=C2DX),DX+C)=D),C为常数； 3.设X和Y是两个随机变量，则有 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y]} 特别地，当X和Y是相互独立时，有 D(X+Y)=D(X)+D(Y) 推广到n个相互独立的随机变量时，有 D(X1+X2+.+Xn)=D(X)+D(X2)+.+D(Xn) 2024年8月27日星期二 11 目录今上页> 下页 返回

2024年8月27日星期二 11 目录 上页 下页 返回 六、方差的性质 1. D(C)=0, C为常数; 2. D(CX)=C2D(X), D(X+C)=D(X), C为常数; 3. 设X和Y是两个随机变量，则有 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}. 特别地，当X和Y是相互独立时，有 D(X+Y)=D(X)+D(Y) 推广到n个相互独立的随机变量时，有 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) D X X X D X D X D X + + + = + + + n n