《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第七章 参数估计 7.3 区间估计

7.3区间估计 2024年8月27日星期二 2 目录 上页>（下页○ 返回

2024年8月27日星期二 2 目录 上页 下页 返回 7.3 区间估计

定义4设X,X,.,Xn是总体X的一个样本，0∈⊙为 未知参数（⊙为0的可能取值范围），对于给定值 a(0<a<1),如果存在两个统计量0，(X,X2,.,X,)和 O2(X1,X2,.,Xn)满足 P{0(X1,X2,.,Xm)<0<02(X,X2,.,Xn)}=1-u, 则称随机区间(0，0，)是0的置信度为1-ax的置信区间 (confidence interval),O,g,分别称为置信度为l-a 的双侧置信区间的置信下限(confidence lower limit) 和置信上限(confidence upper limit),l-a称为置信 度或置信水平(confidence level). 2024年8月27日星期二 3 目录 上页」 下页 返回

2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回 定义 4 设 1 2 , , , X X Xn 是总体 X 的一个样本，   为 未知参数(  为  的可能取值范围)，对于给定值  ( 0 1    )，如果存在两个统计量 1 1 2 ( , , , )  X X X n 和 2 1 2 ( , , , )  X X X n 满足 P X X X X X X     1 1 2 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) 1 n n   = −  ， 则称随机区间 1 2 ( , )   是 的置信度为1− 的置信区间 (confidence interval)，1 ，2 分别称为置信度为1− 的双侧置信区间的置信下限(confidence lower limit) 和置信上限(confidence upper limit)，1− 称为置信 度或置信水平(confidence level)．

关于定义的说明 被估计的参数虽然未知但它是一个常数 没有随机性而区间(8，O,)是随机的 因此定义中下表达式 P{0(X1,X2,L,Xm) 下页 返回

2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回 关于定义的说明 , ( , ) . , , 没有随机性 而区间 1 2 是随机的 被估计的参数 虽然未知 但它是一个常数    : { ( , , , ) ( , , , )} 1 1 1 2 2 1 2 的本质是 因此定义中下表达式 P  X X L Xn     X X L Xn = − 1 ( , ). ( , ) 1 , 1 2 1 2         而不能说参数 以 的概率落入随机区间 随机区间 以 的概率包含着参数 的真值 − −

另外定义中的表达式 P{0(X1,X2,L,Xn)<0<02(X1,X2,L,Xn)}=1-a 还可以描述为： 若反复抽样多次（各次得到的样本容量相等，都是） 每个样本值确定一个间(0,0)， 每个这样的区间或包含0的真值或不包含O的真值， 在这样多的区间中， 包含真值的约占100(1-ax)%,不包含的约占100a%. 2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回 : { ( , , , ) ( , , , )} 1 1 1 2 2 1 2 还可以描述为 另外定义中的表达式 P  X X L Xn     X X L Xn = − 若反复抽样多次(各次得到的样本容量相等,都是n) ( , ), 每个样本值确定一个区间1 2 在这样多的区间中, 包含真值的约占100(1−)%,不包含的约占100%. 每个这样的区间或包含 的真值或不包含 的真值

【例14】 设X1,X2,.,Xn为来自正态总体 X~N(4,o2)的样本，其中o2已知，4未知，求μ的 置信度为1-α的置信区间. 解因为总体均值山可用样本均值来估计，且 ~N(u,a),从而有统计量 U= -'-N0,) o//n 由标准正态分布的对称性以及α分位数的定义可知 P{U<u2}=P{-42<U<4a2}=1-a 2024年8月27日星期二 6 目录○ 上页○ 下页 返回

2024年8月27日星期二 6 目录 上页 下页 返回 【 例 14 】 设 1 2 , , , X X Xn 为 来 自 正 态 总 体 2 X N~ ( , )   的样本，其中 2  已知，  未知，求  的 置信度为1− 的置信区间． 解 因为总体均值  可用样本均值 X 来估计，且 2 X N ~ ( , ) n   ，从而有统计量 ~ (0,1). / X U N n   − = 由标准正态分布的对称性以及 分位数的定义可知 P U u P u U u  / 2 / 2 / 2    1 .  = −   = −    

即 由置信区间的定义知μ的置信度为1-α的置信区间为 例如，取1-=0.95，即a=0.05,若o=1,n=25, 查表得u2=4s=1.96.于是得到一个置信度为0.95的 置信区间 √25 由x=3.6,得到估计区间为(3.208,3.992). 2024年8月27日星期二 7 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 7 目录 上页 下页 返回 即 / 2 / 2 / 2 / 2 1 / X P u u P X u X u n n n             −       −   = −   + = −     由置信区间的定义知 的置信度为1− 的置信区间为 / 2 / 2 X u X u , . n n       − +     例如，取 1 0.95 − =  ，即  = 0.05，若  =1，n = 25， 查表得 / 2 0.025 u u 1.96  = = ．于是得到一个置信度为 0.95 的 置信区间 1 1 ( 1.96, 1.96) 25 25 X X − + ． 由 x = 3.6，得到估计区间为(3.208,3.992)．

置信度为1-的置信区间可能有无穷多个，只要随 机区间包含参数的概率等于1-α，则该区间就可以作为 该参数的置信区间.例如例14中4的1-α的置信区间 也可由 给出，此时对应的置信区间为 宝-云 2024年8月27日星期二 8 目录 上页> 下页 返回

2024年8月27日星期二 8 目录 上页 下页 返回 置信度为 1− 的置信区间可能有无穷多个，只要随 机区间包含参数的概率等于 1− ，则该区间就可以作为 该参数的置信区间．例如例 14 中 的1− 的置信区间 也可由 / 4 3 / 4 1 / X P u u n        −   −   = −   ， 给出，此时对应的置信区间为 3 / 4 / 4 X u X u , n n       − +    ．

一般而言，这些区间的长度是不一样的，也就是说 精度各不相同.显然，区间长度越短越好.为此，我们 约定：当置信度1-固定时，参数0的置信区间可能有 无穷多个，我们取最优的那个作为它的置信区间.所谓 最优，就是区间长度最短的那个置信区间.对于像标准 正态分布，由于其概率密度关于y轴对称，因此，其最 优的置信区间即为关于y轴对称的区间.如果统计量的 分布不是对称分布，则一般取两端的尾概率都为。的临 界值来确定置信区间，即取对称的分位点（如分布中 取分位点2.12(n-1)与x22(n-1)来确定置信区间. 2024年8月27日星期二 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 9 目录 上页 下页 返回 一般而言，这些区间的长度是不一样的，也就是说 精度各不相同．显然，区间长度越短越好．为此，我们 约定：当置信度1− 固定时，参数 的置信区间可能有 无穷多个，我们取最优的那个作为它的置信区间．所谓 最优，就是区间长度最短的那个置信区间．对于像标准 正态分布，由于其概率密度关于 y 轴对称，因此，其最 优的置信区间即为关于 y 轴对称的区间．如果统计量的 分布不是对称分布，则一般取两端的尾概率都为 2  的临 界值来确定置信区间，即取对称的分位点(如 2  分布中 取分位点 2 1 / 2  − ( 1) n − 与 2 / 2   ( 1) n − )来确定置信区间．

求未知参数置信区间的具体步骤如下： (1)寻求样本X1,X2,.,Xn的一个函数 W=W(X1,X2,.,XnO) 它包含待估参数0，但不包含其它未知参数，并且要求W 的分布已知. (2)对于给定的置信度1-a,定出两个常数a<b,使得 P{a<W(X1,X2,.,Xm0)<b}≥1-， 通常取b为严的号分位点，a为刚的1-号分位点， 2024年8月27日星期二 10 、目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 10 目录 上页 下页 返回 求未知参数置信区间的具体步骤如下： (1)寻求样本 1 2 , , , X X Xn 的一个函数 1 2 ( , , , ; ) W W X X X = n  它包含待估参数 ，但不包含其它未知参数，并且要求W 的分布已知． (2)对于给定的置信度 1− ，定出两个常数a b  ，使得 P a W X X X b     − ( , , , ; ) 1 1 2 n    ， 通常取b 为W 的 2  分位点，a为W 的 1 2  − 分位点．

求未知参数置信区间的具体步骤如下： (3)将a<W(X,X2,.,Xn;0)<b变形得到等价不等式 0(X1,X2,.,Xn)<0<02(X1,X2,.,Xn) 其中日=9(X,X2,.,Xn)和02=日，(X1,X2,.,Xn)都是 统计量，则(0,0，)就是0的一个置信度为1-a的置信区 间. 函数W(X1,X2,.,Xm;0)通常可由未知参数O的点 估计量变化得到. 2024年8月27日星期二 11 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 11 目录 上页 下页 返回 求未知参数置信区间的具体步骤如下： (3)将 1 2 ( , , , ; ) a W X X X b   n  变形得到等价不等式 1 1 2 2 1 2 ( , , , ) ( , , , )    X X X X X X n n   其 中 1 1 1 2 ( , , , )   = X X X n 和 2 2 1 2 ( , , , )   = X X X n 都 是 统计量，则 1 2 ( , )   就是 的一个置信度为1− 的置信区 间． 函 数 1 2 ( , , , ; ) W X X Xn  通 常可由未知参数 的 点 估计量变化得到．