《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第七章 参数估计 7.4 正态总体均值和方差的区间估计

7.4正态总体怕值和方差的 区间估计 一、单个正态总体N(山，o)的情形 二、两个正态总体N(4,o),N(42,o)的情形 2024年8月27日星期二 2 目录○ 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 2 目录 上页 下页 返回 7.4 正态总体均值和方差的 区间估计 一、单个正态总体 2 N( , )   的情形 二、两个正态总体 2 1 1 N( , )   ， 2 2 2 N( , )   的情形

1、均值的置信区间 (1)若o2已知，则由例14可知，u的置信度为1-α的 置信区间为 -+ (2)若σ2未知，此时不能使用上述给出的区间.考虑到 S2是o2的无偏估计，用S替代σ，此时 -华~n-),即改U统计量为T统计量. SIn 〔-.a-小+a- 2024年8月27日星期二 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回 (1)若 2  已知，则由例 14 可知，  的置信度为 1− 的 置信区间为 / 2 / 2 X u X u , n n       − +    ． 1、均值  的置信区间 (2)若 2  未知，此时不能使用上述给出的区间．考虑到 2 S 是 2  的 无 偏 估 计 ， 用 S 替 代  ， 此 时 ~ ( 1) / X T t n S n −  = − ，即改U 统计量为T 统计量． / 2 / 2 ( 1), ( 1) S S X t n X t n n n     − − + −    

【例15】设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以h计） 分别为 6.05.75.86.57.06.35.66.15.0 设干燥时间总体服从正态分布N(4,σ2).求4的置信度 为0.95的置信区间： (1)若由以往经验知o=0.6(h);(2)若o未知.（a=0.05) 解(1)由题可知，总体方差已知，采用统计量U,4的 置信度为1-α的置信区间为 将元=6.0,0=0.6，n=9,2025=1.96,代入上式得μ的 置信区间为(5.602,6.392). 2024年8月27日星期二 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回 【例 15】设某种清漆的 9 个样品，其干燥时间(以 h 计) 分别为 6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0 设干燥时间总体服从正态分布 2 N( , )   ．求  的置信度 为 0.95 的置信区间： (1)若由以往经验知  = 0.6 (h)；(2)若  未知．(  = 0.05 ) 解 (1) 由题可知，总体方差已知，采用统计量 U ， 的 置信度为1− 的置信区间为 / 2 / 2 x u x u , n n       − +     ． 将 x = = 6.0, 0.6  ， n = 9， z0.025 =1.96 ，代入上式得  的 置信区间为(5.602,6.392) ．

【例15】设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以h计） 分别为 6.05.75.86.57.06.35.66.15.0 设干燥时间总体服从正态分布N(4,σ).求μ的置信度 为0.95的置信区间： (1)若由以往经验知o=0.6(h)；(2)若o未知.（a=0.05) 解(2)由题可知，总体方差未知，采用统计量T，4的 置信区间为 〔a-a-l 将x=6.0,s=0.57,n=9,t25(8)=2.306,代入上式 得4的置信区间为(5.562,6.438). 2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回 【例 15】设某种清漆的 9 个样品，其干燥时间(以 h 计) 分别为 6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0 设干燥时间总体服从正态分布 2 N( , )   ．求  的置信度 为 0.95 的置信区间： (1)若由以往经验知  = 0.6 (h)；(2)若  未知．(  = 0.05 ) 解 (2)由题可知，总体方差未知，采用统计量 T ，  的 置信区间为 / 2 / 2 ( 1), ( 1) s s x t n x t n n n     − − + −    ． 将 x = 6.0， s = 0.57， n = 9 ， 0.025 t (8) 2.306 = ，代入上式 得  的置信区间为(5.562,6.438) ．

2、方差o2的置信区间 (1)若μ已知，则由x2分布的定义知 ∑(X,- ~X2(n). 对于置信度1-a,有 2024年8月27日星期二 6 目录> 、上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 6 目录 上页 下页 返回 (1) 若  已知，则由 2  分布的定义知 2 1 2 2 ( ) ~ ( ) n i i X n    =  − ． 2、方差 2  的置信区间 对于置信度 1− ，有 2 2 2 1 1 / 2 / 2 2 ( ) ( ) ( ) 1 n i i X P n n        = −   −       = −       

2、方差σ2的置信区间 即 2(x,- 2(x,- P 02 <i =1-0. zan(n) Xann） 因此，方差o2的置信度为1-α的置信区间为 ∑X,-0∑(X,-0 i= xa2n)） 2a12(n)） 2024年8月27日星期二 7 目录○ 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 7 目录 上页 下页 返回 即 2 2 1 1 2 2 2 / 2 1 / 2 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) n n i i i i X X P n n         = = −   − −       = −         ． 2、方差 2  的置信区间 因此，方差 2  的置信度为 1− 的置信区间为 2 2 1 1 2 2 / 2 1 / 2 ( ) ( ) , ( ) ( ) n n i i i i X X n n       = = −   − −             ．

2、方差o2的置信区间 (2)若4未知，则，因为σ2的无偏估计为S2,由第六 章定理3知 -s -D. 02 因此取 (-D)s 作为统计量，由 p以aa-o心无n1-a 即 a2csa-s1-a 2n-) zian2(n-1) 2024年8月27日星期二 8 目录○ 上页 下页 、返回

2024年8月27日星期二 8 目录 上页 下页 返回 (2) 若  未知，则，因为 2  的无偏估计为 2 S ，由第六 章定理 3 知 ( ) 2 2 2 1 ~ ( 1) n S  n  − − ， 2、方差 2  的置信区间 因此取 ( ) 2 2 n S 1  − 作为统计量，由 ( ) 2 2 2 1 / 2 / 2 2 1 ( 1) ( 1) 1 n S P n n       −     −   −   − = −     ， 即 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 / 2 1 / 2 1 1 1 ( 1) ( 1) n S n S P   n n     −     − −     = −   − −   ．

2、方差o2的置信区间 可得，方差o2的置信度为1-a的置信区间为 /(n-1)s2(n-1)s2 22n-1'元a20n-0 由此，还可得到标准差σ的置信度为1-a的置信区间为 n-1s√n-s Vxar(n-1)a(n-1) 2024年8月27日星期二 9 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 9 目录 上页 下页 返回 可得，方差 2  的置信度为1− 的置信区间为 ( ) ( ) 2 2 2 2 / 2 1 / 2 1 1 , ( 1) ( 1) n S n S n n    −   − −   − −   ． 2、方差 2  的置信区间 由此，还可得到标准差  的置信度为 1− 的置信区间为 ( ) ( ) 2 2 / 2 1 / 2 1 1 , ( 1) ( 1) n S n S     n n −   − −     − −   ．

【例16】例15中，假设总体方差o2未知，试求总体 方差σ2和标准差σ的置信度为0.95的置信区间. 解现在8=0.025,1-8=0.975，n-1=8,查表得 X62s(8)=17.534,6n8)=2.18,又s2=0.33,s=0.57. 因此，方差σ2的置信度为0.95的置信区间为 (0.151,1.211). 标准差σ的置信度为0.95的置信区间为 (0.388,1.100). 2024年8月27日星期二 10 目录○ 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 10 目录 上页 下页 返回 【例 16】 例 15 中，假设总体方差 2  未知，试求总体 方差 2  和标准差 的置信度为 0.95 的置信区间． 解 现 在 0.025,1 0.975, 1 8 2 2 n   = − = − = ， 查 表 得 2 0.025  (8) 17.534 = ， 2 0.975  (8) 2.18 = ，又 2 s = 0.33，s = 0.57 . 因 此 ， 方 差 2  的 置 信 度 为 0.95 的置信区间为 (0.151,1.211) ． 标准差  的 置 信 度 为 0 ． 95 的 置 信 区 间 为 (0.388,1.100) ．

1、两个总体均值差4一山，的置信区间 给定置信度为1-心，设样本X1,X2,.,Xn来自正态 总体N(4,o),样本Y,Y,.,Ym来自正态总体 N(山2，o),两个样本相互独立，X,S2,7,S分别表示两 个样本的样本均值和样本方差. (1)若o?,o均已知，因X,了分别为4,4的无 偏估计，故-了为4-4的无偏估计，由，7的独 立性及X~N4,),了~NMa)得 2024年8月27日星期二 11 目录 上页> 下页 返回

2024年8月27日星期二 11 目录 上页 下页 返回 给定置信度为 1− ，设样本 1 2 , , , X X Xn 来自正态 总 体 2 1 1 N( , )   ，样本 1 2 , , , Y Y Ym 来 自 正 态 总 体 2 2 2 N( , )   ，两个样本相互独立， 2 2 1 2 X S Y S , , , 分别表示两 个样本的样本均值和样本方差． 1、两个总体均值差   1 2 − 的置信区间 (1)若 2 1 ， 2  2 均已知，因 X ，Y 分别为 1 ， 2 的无 偏估计，故 X Y− 为   1 2 − 的无偏估计，由 X ，Y 的独 立性及 2 1 X N~ ( , ) 1 n   ， 2 2 Y N~ ( , ) 1 m   得